題組一 復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算
1.已知復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=3-4i,則z1+z2=( )
A.8iB.6C.6+8iD.6-8i
2.若復(fù)數(shù)z滿足z+i-3=3-i,則z等于( )
A.0B.2iC.6D.6-2i
3.設(shè)m∈R,復(fù)數(shù)z=(2m2+3i)+(m-m2i)+(-1+2mi),若z為純虛數(shù),則m等于( )
A.-1B.3C.12D.-1或3
4.若復(fù)數(shù)z1=1+3i,z2=-2+ai,且z1+z2=b+8i,z2-z1=-3+ci,則實(shí)數(shù)a= ,b= ,c= .
5.已知i為虛數(shù)單位,計(jì)算:
(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i);
(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)];
(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R).
題組二 復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算
6.若復(fù)數(shù)z1=1+i,z2=3-i,則z1·z2等于( )
A.4+2iB.2+iC.2+2iD.3+i
7.復(fù)數(shù)i2+i3+i2 020的值為( )
A.iB.-iC.1D.-1
8.(2020山東滕州一中高一檢測(cè))已知復(fù)數(shù)z=1-ii(i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z的虛部是( )
A.1B.-1C.iD.-i
9.(2020東北三省三校高三聯(lián)考)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z-ii=z-2i(i為虛數(shù)單位),則z=( )
A.12-32iB.12+32iC.-12-32iD.-12+32i
10.(2021遼寧名校聯(lián)盟高三模擬)已知i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)a+2i2-i為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為( )
A.1B.-1C.12D.2
11.復(fù)數(shù)z=1-i1+i,則ω=z2+z4+z6+z8+z10的值為( )
A.1B.-1C.iD.-i
12.已知a,b∈R,i是虛數(shù)單位,若(1+i)(1-bi)=a,則ab的值為 .
13.設(shè)z=12+32i(i是虛數(shù)單位),則z+2z2+3z3+4z4+5z5+6z6= .
題組三 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程
14.若1+2i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+bx+c=0的一個(gè)根,則( )
A.b=2,c=5B.b=-2,c=5
C.b=-2,c=-5D.b=2,c=-1
15.(多選)下列關(guān)于一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a,b,c∈R,a≠0)的說法正確的是( )
A.兩根x1,x2滿足x1+x2=-ba,x1x2=ca
B.兩根x1,x2滿足|x1-x2|=(x1-x2)2
C.若判別式Δ=b2-4ac≠0,則該方程有兩個(gè)相異的根
D.若判別式Δ=b2-4ac=0,則該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
16.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:-12x2+x-3= .
17.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解下列方程.
(1)x2+5=0;
(2)3x2+2x+1=0;
(3)x2+4x+6=0.
答案全解全析
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.B z1+z2=3+4i+3-4i=(3+3)+(4-4)i=6.
2.D z=3-i-(i-3)=6-2i.
3.C z=(2m2+m-1)+(3-m2+2m)i.
由題意,得2m2+m-1=0,3-m2+2m≠0,解得m=12.
4. 答案 5;-1;2
解析 z1+z2=(1-2)+(3+a)i=-1+(3+a)i=b+8i,z2-z1=(-2-1)+(a-3)i=-3+(a-3)i=-3+ci,所以b=-1,3+a=8,a-3=c,解得b=-1,a=5,c=2.
5.解析 (1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)=(4-2i)-(5+6i)=-1-8i.
(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]
=5i-(4+i)
=-4+4i.
(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+(4b-3)i.
6.A z1=1+i,z2=3-i,
所以z1·z2=(1+i)·(3-i)=3-i2+2i=4+2i.
7.B i2+i3+i2 020=(-1)+(-i)+1=-i.
8.B ∵z=1-ii=i+1-1=-1-i,
∴復(fù)數(shù)z的虛部是-1.
9.B 由z-ii=z-2i得zi+1-1=z-2i,∴z(1+i)=2i-1,∴z=2i-11+i=(2i-1)(1-i)2=-1+i+2i+22=12+32i.
10.A ∵a+2i2-i=(a+2i)(2+i)(2-i)(2+i)=2a-2+(a+4)i5=2a-25+a+45i為純虛數(shù),
∴2a-25=0,a+45≠0,解得a=1.
11.B z=1-i1+i=-i(1+i)1+i=-i,z2=(-i)2=-1,
所以ω=-1+1-1+1-1=-1.
12.答案 2
解析 因?yàn)?1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,a,b∈R,
所以1+b=a且1-b=0,解得a=2,b=1,所以ab=2.
13.答案 3-33i
解析 因?yàn)閦=12+32i,所以z2=12+32i2=-12+32i,
z3=-12+32i12+32i=-1,
z4=-12-32i,z5=12-32i,z6=1,
所以z+2z2+3z3+4z4+5z5+6z6=12+32i+(-1+3i)+(-3)+(-2-23i)+52-532i+6=3-33i.
14.B 由題意可知,關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+bx+c=0的兩個(gè)根分別為1+2i和1-2i,由根與系數(shù)的關(guān)系,得
(1+2i)+(1-2i)=-b,(1+2i)·(1-2i)=c,解得b=-2,c=5.
故選B.
15.ACD 由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,可得x1+x2=-ba,x1x2=ca,當(dāng)x1,x2是復(fù)數(shù)時(shí),此關(guān)系式仍然成立,故A正確;
當(dāng)x1,x2為虛根時(shí),|x1-x2|≠(x1-x2)2,故B錯(cuò)誤;
當(dāng)判別式Δ=b2-4ac>0時(shí),該方程有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,當(dāng)判別式Δ=b2-4ac

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3.2 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

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