1.運(yùn)用菱形的定義來判定菱形；（重點(diǎn)）2.利用菱形的性質(zhì)（四條邊相等）來判定菱形.（難點(diǎn)）
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形
兩條對角線互相垂直平分每一條對角線平分一組對角
問題 菱形的定義是什么？性質(zhì)有哪些？
根據(jù)菱形的定義,可得菱形的第一個(gè)判定的方法：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形ABCD是菱形.
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
思考 還有其他的判定方法嗎？
小剛：分別以A、C為圓心,以大于 AC的長為半徑作弧,兩條 弧分別相交于點(diǎn)B , D,依次連接A、B、C、D四點(diǎn).
已知線段AC,你能用尺規(guī)作圖的方法作一個(gè)菱形ABCD,使AC為菱形的一條對角線嗎？
想一想：根據(jù)小剛的作法你有什么猜想？你能驗(yàn)證小剛的作法對嗎？
猜想：四條邊相等的四邊形是菱形.
證明：∵AB=BC=CD=AD; ∴AB=CD , BC=AD. ∴四邊形ABCD是平行四邊形.又∵AB=BC,∴四邊形ABCD是菱形.
已知：如圖，四邊形ABCD中,AB=BC=CD=AD.求證：四邊形ABCD是菱形.
四條邊都相等的四邊形是菱形
AB=BC=CD=AD
幾何語言描述：∵在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四邊形 ABCD是菱形.
下列命題中正確的是 （ ）A.一組鄰邊相等的四邊形是菱形B.三條邊相等的四邊形是菱形C.四條邊相等的四邊形是菱形D.四個(gè)角相等的四邊形是菱形
證明： ∵ ∠1= ∠2, 又∵AE=AC,AD=AD, ∴ △ACD≌ △AED (SAS). 同理△ACF≌△AEF(SAS) . ∴CD=ED, CF=EF. 又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF, ∴四邊形CDEF是菱形.
例1 如圖,在△ABC中, AD是角平分線,點(diǎn)E、F分別在 AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED. 求證：四邊形CDEF是菱形.
例2 如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.將△ABC沿射線BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別是D，E，F(xiàn)，連接AD.求證：四邊形ACFD是菱形．
證明：由平移變換的性質(zhì)得CF＝AD＝10cm，DF＝AC.∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm，∴四邊形ACFD是菱形．
四邊形的條件中存在多個(gè)關(guān)于邊的等量關(guān)系時(shí)，運(yùn)用四條邊都相等來判定一個(gè)四邊形是菱形比較方便．
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠D=90°.
∵點(diǎn)F、E、H為AB、AD、CD的中點(diǎn)，
∴△AEF≌△DEH，∴EF=EH，
同理可得EF=EH=HG=FG.
例3 如圖，順次連接矩形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形EFGH，求證：四邊形EFGH是菱形.
∴四邊形EFGH是菱形.
拓展 如圖，順次連接平行四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形EFGH是什么四邊形？
解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，
∴四邊形EFGH是平行四邊形.
∵點(diǎn)E、F、G、H為各邊中點(diǎn)，
∴△AEF≌△CGH，
思考 在學(xué)平行四邊形的時(shí)候我們知道把兩張等寬的紙條交叉重疊在一起得到的四邊形是平行四邊形，你能進(jìn)一步判斷重疊部分ABCD的形狀嗎？
分析：易知四邊形ABCD是平行四邊形，只需證一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直即可.
由題意可知BC邊上的高和CD邊上的高相等，
然后通過證△ABE≌△ADF，即得AB=AD.
1.如圖，將△ABC沿BC方向平移得到△DCE，連接AD，下列條件能夠判定四邊形ACED為菱形的是（　?。? A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60°
解析：∵將△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AC∥DE，AC=DE，∴四邊形ACED為平行四邊形.當(dāng)AC=BC時(shí)，AC=CE，平行四邊形ACED是菱形．故選B．
2.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，延長BA到點(diǎn)E，使AE=AB，連接ED、EC、AC．添加一個(gè)條件，能使四邊形ACDE成為菱形的是（　　）A．AB=AD B．AB=EDC．CD=AE D．EC=AD
3.如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F．求證：四邊形AEDF是菱形．
證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.又∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°.∵在△AEO和△AFO中∠EAO＝∠FAO，AO＝AO，∠AOE＝∠AOF,∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO=FO，AE=AF.∵EF垂直平分AD，∴EF、AD相互平分，∴四邊形AEDF是平行四邊形.又∵AE=AF，∴平行四邊形AEDF為菱形．
（1）證明：由尺規(guī)作∠BAF的平分線的過程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=FA，∴四邊形ABEF為平行四邊形，∵AB=AF，∴四邊形ABEF為菱形；
4.如圖,在平行四邊形ABCD中，用直尺和圓規(guī)作∠BAD的 平分線交BC于點(diǎn)E，連接EF．（1）求證：四邊形ABEF為菱形；（2）AE，BF相交于點(diǎn)O，若BF=6，AB=5，求AE的長．
（2）AE，BF相交于點(diǎn)O，若BF=6，AB=5，求AE的長．
解：∵四邊形ABEF為菱形，∴AE⊥BF，BO= FB=3，AE=2AO，在Rt△AOB中，由勾股定理得AO =4，∴AE=2AO=8．

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初中數(shù)學(xué)華師大版八年級下冊電子課本 舊教材

1. 矩形的性質(zhì)

版本： 華師大版

年級： 八年級下冊

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