?專題9.2 中心對稱圖形-平行四邊形（提高篇）專項練習(xí)
一、單選題
1．如圖，在菱形ABCD中，E是AC的中點，EF∥CB，交AB于點F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周長為（　　）

A．24 B．18 C．12 D．9
2．如圖，在?ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于點F，CE平分∠BCD，交AD于點E，若AB＝6，EF＝2，則BC的長為(　　)

A．8 B．10 C．12 D．14
3．如圖，在平行四邊形中，、是上兩點，，連接、、、，添加一個條件，使四邊形是矩形，這個條件是( )

A． B． C． D．
4．如圖，邊長為6的大正方形中有兩個小正方形，若兩個小正方形的面積分別為S1，S2，則S1+S2的值為（ ）

A．16 B．17
C．18 D．19
5．如圖，將?ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在點E處，交BC于點F，若，，則為　　

A． B． C． D．
6．下列結(jié)論中，矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（ ）
A．內(nèi)角和為360° B．對角線互相平分 C．對角線相等 D．對角線互相垂直
7．如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標系中，O是原點，點A的坐標為(1，)，則點C的坐標為(　　)

A．(－，1) B．(－1，) C．(，1) D．(－，－1)
8．如圖，在矩形ABCD中，E是AB邊的中點，沿EC對折矩形ABCD，使B點落在點P處，折痕為EC，連結(jié)AP并延長AP交CD于F點，連結(jié)CP并延長CP交AD于Q點．給出以下結(jié)論：
①四邊形AECF為平行四邊形；
②∠PBA=∠APQ；
③△FPC為等腰三角形；
④△APB≌△EPC；
其中正確結(jié)論的個數(shù)為（　?。?br />
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如圖，△ABC的周長為19，點D，E在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為N，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為M，若BC=7，則MN的長度為（　?。?br />
A． B．2 C． D．3
10．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，將△ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°到△AB′C′的位置，連接C′B，則C′B的長為( )．

A．1 B． C．2 D．

二、填空題
11．如圖，四邊形ACDF是正方形，和都是直角，且點三點共線，，則陰影部分的面積是__________．

12．如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點E是BC邊上一點，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點B落在點處，當(dāng)為直角三角形時，BE的長為____

13．如圖，若菱形ABCD的頂點A，B的坐標分別為（3，0），（﹣2，0），點D在y軸上，則點C的坐標是_____．

14．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點A作AE⊥BD，垂足為點E，若∠EAC=2∠CAD，則∠BAE=__________度．

15．如圖，在矩形ABCD中，AD=3，將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形AEFG，點B的對應(yīng)點E落在CD上，且DE=EF，則AB的長為_____．

16．如圖，ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是線段AO，BO的中點，若AC+BD=24厘米，△OAB的周長是18厘米，則EF=___厘米．

17．如圖，已知菱形ABCD的周長為16，面積為，E為AB的中點，若P為對角線BD上一動點，則EP+AP的最小值為______．

18．如圖，△ABC三邊的中線AD，BE，CF的公共點G，若，則圖中陰影部分面積是 ____________.

19．如圖，∠MAN=90°，點C在邊AM上，AC=4，點B為邊AN上一動點，連接BC，△A′BC與△ABC關(guān)于BC所在直線對稱，點D，E分別為AC，BC的中點，連接DE并延長交A′B所在直線于點F，連接A′E．當(dāng)△A′EF為直角三角形時，AB的長為_____．

20．如圖，平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點E，且AB＝AE，延長AB與DE的延長線交于點F．下列結(jié)論中：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等邊三角形；③AD＝AF；④S△ABE＝S△CDE；⑤S△ABE＝S△CEF．其中正確的是_____．

21．如圖，正方形紙片ABCD的邊長為12，E，F(xiàn)分別是邊AD，BC上的點，將正方形紙片沿EF折疊，使得點A落在CD邊上的點A′處，此時點B落在點B′處．已知折痕EF=13，則AE的長等于_________．

22．如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形OABC的邊OC落在x軸的正半軸上，且點B (6,2)，C（4,0）直線y=2x+1以每秒1個單位長度的速度沿y軸向下平移，經(jīng)過______秒該直線可將平行四邊形OABC分成面積相等的兩部分.

23．如圖，四邊形是矩形，延長到點，使，連接，點是的中點，連接，，得到；點是的中點，連接，，得到；點是的中點，連接，，得到；…；按照此規(guī)律繼續(xù)進行下去，若矩形的面積等于2，則的面積為_________．（用含正整數(shù)的式子表示）


三、解答題
24．如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，且BE=DF
（1）求證：?ABCD是菱形；
（2）若AB=5，AC=6，求?ABCD的面積．




25．已知：如圖，平行四邊形ABCD，對角線AC與BD相交于點E，點G為AD的中點，連接CG，CG的延長線交BA的延長線于點F，連接FD．
（1）求證：AB=AF；
（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判斷四邊形ACDF的形狀，并證明你的結(jié)論．


26．已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是對角線BD上一點，且EA=EC．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求證：四邊形ABCD是正方形．






27．如圖，在口ABCD中，分別以邊BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC=BF，CD=DE，∠CBF＝∠CDE，連接AF，AE.
（1）求證：△ABF≌△EDA；
（2）延長AB與CF相交于G，若AF⊥AE，求證BF⊥BC．






28．如圖，把矩形OABC放入平面直角坐標系xO中，使OA、OC分別落在x、y軸的正半軸上，其中AB＝15，對角線AC所在直線解析式為y＝﹣x+b，將矩形OABC沿著BE折疊，使點A落在邊OC上的點D處．
（1）求點B的坐標；
（2）求EA的長度；
（3）點P是y軸上一動點，是否存在點P使得△PBE的周長最小，若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．


參考答案
1．A
【解析】
【分析】易得BC長為EF長的2倍，那么菱形ABCD的周長=4BC問題得解．
【詳解】∵E是AC中點，
∵EF∥BC，交AB于點F，
∴EF是△ABC的中位線，
∴BC=2EF=2×3=6，
∴菱形ABCD的周長是4×6=24，
故選A．
【點撥】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)及菱形的周長公式，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.
2．B
【詳解】
試題分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知AB=CD，AD∥BC，AD=BC，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可知AB=AF，DE=CD，因此可知AF+DE=AD+EF=2AB=12，解得AD=BC=12-2=10.
故選B.
點撥：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是把所求線段轉(zhuǎn)化為題目中已知的線段，根據(jù)等量代換可求解.
3．A
【分析】
由平行四邊形的性質(zhì)可知：，，再證明即可證明四邊形是平行四邊形．
【詳解】
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵對角線上的兩點、滿足，
∴，即，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴，
∴四邊形是矩形．
故選A．
【點撥】
本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．
4．B
【解析】
如圖

設(shè)正方形S2的邊長為x，
根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)知，AC=BC，BC=CE=CD，
∴AC=2CD，CD==2，
∴EC2=22+22，即EC=；
∴S2的面積為=8；
∵S1的邊長為3，S1的面積為3×3=9，
∴S1+S2=8+9=17．故選B．
5．B
【分析】
由平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，得出，由三角形的外角性質(zhì)求出，再由三角形內(nèi)角和定理求出，即可得到結(jié)果．
【詳解】
，
，
由折疊可得，
，
又，
，
又，
中，，
，
故選B．
【點撥】
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，求出的度數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．
6．C
【分析】
矩形與菱形相比，菱形的四條邊相等、對角線互相垂直；矩形四個角是直角，對角線相等，由此結(jié)合選項即可得出答案．
【詳解】
A、菱形、矩形的內(nèi)角和都為360°，故本選項錯誤；
B、對角互相平分，菱形、矩形都具有，故本選項錯誤；
C、對角線相等菱形不具有，而矩形具有，故本選項正確
D、對角線互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本選項錯誤，
故選C．
【點撥】
本題考查了菱形的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)與菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
7．A
【解析】
試題分析：作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．如圖：過點A作AD⊥x軸于D，過點C作CE⊥x軸于E，根據(jù)同角的余角相等求出∠OAD=∠COE，再利用“角角邊”證明△AOD和△OCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OE=AD，CE=OD，然后根據(jù)點C在第二象限寫出坐標即可．∴點C的坐標為
（-，1）故選A．
考點：1、全等三角形的判定和性質(zhì)；2、坐標和圖形性質(zhì)；3、正方形的性質(zhì)．

8．B
【解析】
分析：①根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°易證∠PAB+∠PBA=90°，易證四邊形AECF是平行四邊形，即可解題；
②根據(jù)平角定義得：∠APQ+∠BPC=90°，由正方形可知每個內(nèi)角都是直角，再由同角的余角相等，即可解題；
③根據(jù)平行線和翻折的性質(zhì)得：∠FPC=∠PCE=∠BCE，∠FPC≠∠FCP，且∠PFC是鈍角，△FPC不一定為等腰三角形；
④當(dāng)BP=AD或△BPC是等邊三角形時，△APB≌△FDA，即可解題．
詳解：①如圖，EC，BP交于點G；

∵點P是點B關(guān)于直線EC的對稱點，
∴EC垂直平分BP，
∴EP=EB，
∴∠EBP=∠EPB，
∵點E為AB中點，
∴AE=EB，
∴AE=EP，
∴∠PAB=∠PBA，
∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，
∴∠PAB+∠PBA=90°，
∴AP⊥BP，
∴AF∥EC；
∵AE∥CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
故①正確；
②∵∠APB=90°，
∴∠APQ+∠BPC=90°，
由折疊得：BC=PC，
∴∠BPC=∠PBC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°，
∴∠ABP=∠APQ，
故②正確；
③∵AF∥EC，
∴∠FPC=∠PCE=∠BCE，
∵∠PFC是鈍角，
當(dāng)△BPC是等邊三角形，即∠BCE=30°時，才有∠FPC=∠FCP，
如右圖，△PCF不一定是等腰三角形，
故③不正確；
④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90°，
∴Rt△EPC≌△FDA（HL），
∵∠ADF=∠APB=90°，∠FAD=∠ABP，
當(dāng)BP=AD或△BPC是等邊三角形時，△APB≌△FDA，
∴△APB≌△EPC，
故④不正確；
其中正確結(jié)論有①②，2個，
故選B．
點撥：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)，翻折變換，平行四邊形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
9．C
【分析】
證明△BNA≌△BNE，得到BA=BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根據(jù)題意求出DE，根據(jù)三角形中位線定理計算即可．
【詳解】
解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，
在△BNA和△BNE中，
，
∴△BNA≌△BNE，
∴BA=BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴點N是AE中點，點M是AD中點（三線合一），
∴MN是△ADE的中位線，
∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12，
∴DE=BE+CD-BC=5，
∴MN=DE=．
故選C．
【點撥】
本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
10．B
【解析】
分析：連接BB′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB=AB′，判斷出△ABB′是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得AB=BB′，然后利用“邊邊邊”證明△ABC′和△B′BC′全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ABC′=∠B′BC′，延長BC′交AB′于D，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)求出BD、C′D，然后根據(jù)BC′=BD-C′D計算即可得解.
詳解：如圖，連接BB′，

∵△ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△AB′C′，
∴AB=AB′，∠BAB′=60°，
∴△ABB′是等邊三角形，
∴AB=BB′，
在△ABC′和△B′BC′中，
，
∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），
∴∠ABC′=∠B′BC′，
延長BC′交AB′于D，
則BD⊥AB′，
∵∠C=90°，AC=BC=，
∴AB==2，
∴BD=2×=，
C′D=×2=1，
∴BC′=BD-C′D=-1．
故選：B.
點撥：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形并求出BC′在等邊三角形的高上是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點.
11．8
【解析】
【分析】證明△AEC≌△FBA，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EC=AB=4，然后再利用三角形面積公式進行求解即可.
【詳解】∵四邊形ACDF是正方形，
∴AC=FA，∠CAF=90°，
∴∠CAE+∠FAB=90°，
∵∠CEA=90°，∴∠CAE+∠ACE=90°，
∴∠ACE=∠FAB，
又∵∠AEC=∠FBA=90°，
∴△AEC≌△FBA，
∴CE=AB=4，
∴S陰影==8，
故答案為8.
【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積等，求出CE=AB是解題的關(guān)鍵.
12．3或．
【分析】
當(dāng)△CEB′為直角三角形時，有兩種情況：
①當(dāng)點B′落在矩形內(nèi)部時，如答圖1所示．
連結(jié)AC，先利用勾股定理計算出AC=5，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠AB′E=∠B=90°，而當(dāng)△CEB′為直角三角形時，只能得到∠EB′C=90°，所以點A、B′、C共線，即∠B沿AE折疊，使點B落在對角線AC上的點B′處，則EB=EB′，AB=AB′=3，可計算出CB′=2，設(shè)BE=x，則EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中運用勾股定理可計算出x．
②當(dāng)點B′落在AD邊上時，如答圖2所示．此時ABEB′為正方形．
【詳解】
當(dāng)△CEB′為直角三角形時，有兩種情況：

①當(dāng)點B′落在矩形內(nèi)部時，如答圖1所示．
連結(jié)AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵∠B沿AE折疊，使點B落在點B′處，
∴∠AB′E=∠B=90°，
當(dāng)△CEB′為直角三角形時，只能得到∠EB′C=90°，
∴點A、B′、C共線，即∠B沿AE折疊，使點B落在對角線AC上的點B′處，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5-3=2，
設(shè)BE=x，則EB′=x，CE=4-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=（4-x）2，解得，
∴BE=；
②當(dāng)點B′落在AD邊上時，如答圖2所示．
此時ABEB′為正方形，∴BE=AB=3．
綜上所述，BE的長為或3．
故答案為：或3．
13．（﹣5，4）．
【分析】
首先由A、B兩點坐標，求出AB的長，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AD=CD=AB，從而可得到點C的橫坐標；接下來在△AOD中，利用勾股定理求出DO的長，結(jié)合上面的結(jié)果，即可確定出C點的坐標.
【詳解】
由題知A（3,0），B（-2,0），D在y軸上，
∴AB=3-（-2）=5，OA=3，BO=2，
由菱形鄰邊相等可得AD=AB=5，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
OD==4，
由菱形對邊相等且平行得CD=BA=5，
所以C（-5,4）.
故答案為（﹣5，4）．
【點撥】
本題考查了菱形的性質(zhì)及坐標與圖形的性質(zhì)，運用勾股定理求出OD的長是解答本題的關(guān)鍵.
14．22.5°
【詳解】
四邊形ABCD是矩形，
AC=BD，OA=OC，OB=OD，
OA=OB═OC，
∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，
∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，
∠EAC=2∠CAD，
∠EAO=∠AOE，
AE⊥BD，
∠AEO=90°，
∠AOE=45°，
∠OAB=∠OBA=67.5°，
即∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．

考點：矩形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．
15．3
【解析】
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知AB=AE，在直角三角形ADE中根據(jù)勾股定理求得AE長即可得.
【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=90°，BC=AD=3，
∵將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AEFG，
∴EF=BC=3，AE=AB，
∵DE=EF，
∴AD=DE=3，
∴AE==3，
∴AB=3，
故答案為3.
【點撥】本題考查矩形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟知旋轉(zhuǎn)前后哪些線段是相等的是解題的關(guān)鍵.
16．3
【解析】
試題分析：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD．
又∵AC+BD=24厘米，∴OA+OB=12厘米．
∵△OAB的周長是18厘米，∴AB=6厘米．
∵點E，F(xiàn)分別是線段AO，BO的中點，∴EF是△OAB的中位線．
∴EF=AB=3厘米．
17．．
【詳解】
解：如圖作CE′⊥AB于E′，甲BD于P′，連接AC、AP′．首先證明E′與E重合，
∵A、C關(guān)于BD對稱，
∴當(dāng)P與P′重合時，PA′+P′E的值最小，
∵菱形ABCD的周長為16，面積為8，
∴AB=BC=4，AB·CE′=8，
∴CE′=2，由此求出CE的長=2．

故答案為2．
考點：1、軸對稱﹣最短問題，2、菱形的性質(zhì)
18．4
【解析】
試題分析：由中線性質(zhì)，可得AG=2GD，則，∴陰影部分的面積為4；其實圖中各個單獨小三角形面積都相等本題雖然超綱，但學(xué)生容易蒙對的.
考點：中線的性質(zhì).

19．或4
【解析】
分析：當(dāng)△A′EF為直角三角形時，存在兩種情況：
①當(dāng)∠A'EF=90°時，如圖1，根據(jù)對稱的性質(zhì)和平行線可得：A'C=A'E=4，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得：BC=2A'B=8，最后利用勾股定理可得AB的長；
②當(dāng)∠A'FE=90°時，如圖2，證明△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4．
詳解：當(dāng)△A′EF為直角三角形時，存在兩種情況：
①當(dāng)∠A'EF=90°時，如圖1，
.
∵△A′BC與△ABC關(guān)于BC所在直線對稱，
∴A'C=AC=4，∠ACB=∠A'CB，
∵點D，E分別為AC，BC的中點，
∴D、E是△ABC的中位線，
∴DE∥AB，
∴∠CDE=∠MAN=90°，
∴∠CDE=∠A'EF，
∴AC∥A'E，
∴∠ACB=∠A'EC，
∴∠A'CB=∠A'EC，
∴A'C=A'E=4，
Rt△A'CB中，∵E是斜邊BC的中點，
∴BC=2A'E=8，
由勾股定理得：AB2=BC2-AC2，
∴AB=；
②當(dāng)∠A'FE=90°時，如圖2，
.
∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，
∴∠ABF=90°，
∵△A′BC與△ABC關(guān)于BC所在直線對稱，
∴∠ABC=∠CBA'=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC=4；.
綜上所述，AB的長為4或4；
故答案為4或4.
點撥：本題考查了三角形的中位線定理、勾股定理、軸對稱的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，并利用分類討論的思想解決問題．
20．①②⑤
【分析】
由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AD=BC，由AE平分∠BAD，可得∠BAE=∠DAE，可得∠BAE=∠BEA，得AB=BE，由AB=AE，得到△ABE是等邊三角形，②正確；則∠ABE=∠EAD=60°，由SAS證明△ABC≌△EAD，①正確；由△FCD與△ABD等底（AB=CD）等高（AB與CD間的距離相等），得出S△FCD=S△ABD，由△AEC與△DEC同底等高，所以S△AEC=S△DEC，得出S△ABE=S△CEF．⑤正確．
【詳解】
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠EAD=∠AEB，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
∵AB=AE，
∴△ABE是等邊三角形；
②正確；
∴∠ABE=∠EAD=60°，
∵AB=AE，BC=AD，
∴△ABC≌△EAD（SAS）；
①正確；
∵△FCD與△ABC等底（AB=CD）等高（AB與CD間的距離相等），
∴S△FCD=S△ABC，
又∵△AEC與△DEC同底等高，
∴S△AEC=S△DEC，
∴S△ABE=S△CEF；
⑤正確．
若AD與AF相等，即∠AFD=∠ADF=∠DEC，
即EC=CD=BE，
即BC=2CD，
題中未限定這一條件，
∴③④不一定正確；
故答案為①②⑤．
【點撥】
此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)．此題比較復(fù)雜，注意將每個問題仔細分析．
21．
【解析】
過點F作FG⊥AD，垂足為G，連接AA′，在△GEF中，由勾股定理可求得EG=5，軸對稱的性質(zhì)可知AA′⊥EF，由同角的余角相等可證明∠EAH=∠GFE，從而可證明△ADA′≌△FGE，故此可知GE=DA′=5，最后在△EDA′利用勾股定理列方程求解即可．
解：過點F作FG⊥AD,垂足為G,連接AA′.

在Rt△EFG中,EG=,
∵軸對稱的性質(zhì)可知AA′⊥EF，
∴∠EAH+∠AEH=90°.
∵FG⊥AD，
∴∠GEF+∠EFG=90°.
∴∠DAA′=∠GFE.
在△GEF和△DA′A中，
，
∴△GEF≌△DA′A.
∴DA′=EG=5.
設(shè)AE=x,由翻折的性質(zhì)可知EA′=x，則DE=12?x.
在Rt△EDA′中,由勾股定理得：A′E2=DE2+A′D2,即x2=(12?x)2+52.
解得：x=.
故答案為：.
點撥：本題主要考查正方形、軸對稱、全等三角形的性質(zhì)及勾股定理等相關(guān)知識.利用輔助線構(gòu)全等形、利用勾股定理建立方程是解題的關(guān)鍵.
22．6
【詳解】
試題解析：連接AC、BO，交于點D，當(dāng)y=2x+1經(jīng)過D點時，該直線可將□OABC的面積平分；

∵四邊形AOCB是平行四邊形，
∴BD=OD，
∵B（6，2），點C（4，0），
∴D（3，1），
設(shè)DE的解析式為y=kx+b，
∵平行于y=2x+1，
∴k=2，
∵過D（3，1），
∴DE的解析式為y=2x-5，
∴直線y=2x+1要向下平移6個單位，
∴時間為6秒，
故答案為6．
23．
【分析】
先計算出、、的面積，然后再根據(jù)其面積的表達式找出其一般規(guī)律進而求解．
【詳解】
解：∵，
∴面積是矩形ABCD面積的一半，∴梯形BCDE的面積為，
∵點是的中點，∴
∴，
，
∴，
∵點是的中點，由中線平分所在三角形的面積可知，
∴，
且，
∴
∴，
同理可以計算出：
，
且，
∴，
∴，
故、、的面積分別為：，
觀察規(guī)律，其分母分別為2,4,8，符合，分子規(guī)律為，
∴的面積為．
故答案為：．
【點撥】
本題考查了三角形的中線的性質(zhì)，三角形面積公式，矩形的性質(zhì)等，本題的關(guān)鍵是能求出前面三個三角形的面積表達式，進而找出規(guī)律求解．
24．（1）證明見解析；（2）S平行四邊形ABCD =24
【分析】
（1）利用全等三角形的性質(zhì)證明AB=AD即可解決問題；
（2）連接BD交AC于O，利用勾股定理求出對角線的長即可解決問題；
【詳解】
（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B=∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵BE=DF，
∴△AEB≌△AFD，
∴AB=AD，
∴四邊形ABCD是菱形；
（2）連接BD交AC于O，
∵四邊形ABCD是菱形，AC=6，
∴AC⊥BD，
AO=OC=AC=×6=3，
∵AB=5，AO=3，
∴BO===4，
∴BD=2BO=8，
∴S平行四邊形ABCD=×AC×BD=24．

【點撥】
本題考查了菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定理、正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.
25．（1）證明見解析；（2）結(jié)論：四邊形ACDF是矩形．理由見解析.
【分析】
（1）只要證明AB=CD，AF=CD即可解決問題；
（2）結(jié)論：四邊形ACDF是矩形．根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形判斷即可；
【詳解】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠AFC=∠DCG，
∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，
∴△AGF≌△DGC，
∴AF=CD，
∴AB=AF．
（2）解：結(jié)論：四邊形ACDF是矩形．
理由：∵AF=CD，AF∥CD，
∴四邊形ACDF是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠FAG=60°，
∵AB=AG=AF，
∴△AFG是等邊三角形，
∴AG=GF，
∵△AGF≌△DGC，
∴FG=CG，∵AG=GD，
∴AD=CF，
∴四邊形ACDF是矩形．
【點撥】
本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題.
26．（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】
（1）首先證得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性質(zhì)可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，易得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，易得AD=BC，利用平行線的判定定理可得四邊形ABCD為平行四邊形，由AD=CD可得四邊形ABCD是菱形；
（2）由BE=BC可得△BEC為等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC，利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠CBE=180× =45°，易得∠ABE=45°，可得∠ABC=90°，由正方形的判定定理可得四邊形ABCD是正方形．
【詳解】
（1）在△ADE與△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠ADE=∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBD，
∴∠CDE=∠CBD，
∴BC=CD，
∵AD=CD，
∴BC=AD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∵AD=CD，
∴四邊形ABCD是菱形；
（2）∵BE=BC，
∴∠BCE=∠BEC，
∵∠CBE：∠BCE=2：3，
∴∠CBE=180× =45°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠ABE=45°，
∴∠ABC=90°，
∴四邊形ABCD是正方形．
27．（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【解析】
分析：（1）證明AB=DE，F(xiàn)B=AD，∠ABF=∠ADE即可解決問題；
（2）只要證明FB⊥AD即可解決問題.
詳（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD=BC，∠ABC=∠ADC，
∵BC=BF，CD=DE，
∴BF=AD，AB=DE，
∵∠ADE+∠ADC+∠EDC=360°，∠ABF+∠ABC+∠CBF=360°，∠EDC=∠CBF，
∴∠ADE=∠ABF，
在△ABF與△EDA中，
∵AB＝DE，∠ABF＝∠ADE，BF=AD
∴△ABF≌△EDA．
（2）證明：延長FB交AD于H．

∵AE⊥AF，
∴∠EAF=90°，
∵△ABF≌△EDA，
∴∠EAD=∠AFB，
∵∠EAD+∠FAH=90°，
∴∠FAH+∠AFB=90°，
∴∠AHF=90°，即FB⊥AD，
∵AD∥BC，
∴FB⊥BC．
點撥：本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形全等的條件，學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考常考題型．
28．（1）B（9，15）；（2）5；（3）存在，P（0，）
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)點C的坐標確定b的值，利用待定系數(shù)法求出點A坐標即可解決問題；
（2）在Rt△BCD中，BC＝9，BD＝AB＝15，CD＝＝12，OD＝15﹣12＝3，設(shè)DE＝AE＝x，在Rt△DEO中，根據(jù)DE2＝OD2+OE2，構(gòu)建方程即可解決問題；
（3）如圖作點E關(guān)于y軸的對稱點E′，連接BE′交y軸于P，此時△BPE的周長最小．利用待定系數(shù)法求出直線BE′的解析式即可解決問題；
【詳解】
解：（1）∵AB＝15，四邊形OABC是矩形，
∴OC＝AB＝15，
∴C（0，15），代入y＝y(tǒng)＝﹣x+b得到b＝15，
∴直線AC的解析式為y＝﹣x+15，
令y＝0，得到x＝9，
∴A（9，0），B（9，15）．
（2）在Rt△BCD中，BC＝9，BD＝AB＝15，
∴CD＝＝12，
∴OD＝15﹣12＝3，
設(shè)DE＝AE＝x，
在Rt△DEO中，∵DE2＝OD2+OE2，
∴x2＝32+（9﹣x）2，
∴x＝5，
∴AE＝5．
（3）如圖作點E關(guān)于y軸的對稱點E′，連接BE′交y軸于P，此時△BPE的周長最小．

∵E（4，0），
∴E′（﹣4，0），
設(shè)直線BE′的解析式為y＝kx+b，則有
解得，
∴直線BE′的解析式為y＝x+，
∴P（0，）．
故答案為（1）B（9，15）；（2）5；（3）存在，P（0，）.
【點撥】本題考查一次函數(shù)綜合題、矩形的性質(zhì)、翻折變換、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法解決問題，學(xué)會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考壓軸題．

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