1.雙曲線的定義(1)定義:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的差的_______等于非零常數(shù)(_____|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡.(2)符號(hào)表示:||MF1|-|MF2||=2a(常數(shù))(00),點(diǎn)A,B在雙曲線右支上,線段AB經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)F2,|AB|=m,F1為另一個(gè)焦點(diǎn),則△ABF1的周長(zhǎng)為(　　)A.2a+2m B.4a+2mC.a+m D.2a+4m
【解析】選B.設(shè)△ABF1的周長(zhǎng)為Z,則Z=|AF1|+|BF1|+|AB|=(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)+|AF2|+|BF2|+|AB|=(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)+2|AB|=2a+2a+2m=4a+2m.
類型二 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【典例2】(1)(2014·成都高二檢測(cè))與橢圓 有共同焦點(diǎn)且過點(diǎn) 的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.(2)求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.①a=4,c=5，焦點(diǎn)在x軸上;②a=4，經(jīng)過點(diǎn)
【解題探究】1.題(1)由橢圓的方程 可得橢圓的焦點(diǎn)位置及焦點(diǎn)坐標(biāo)是什么?2.題(2)①焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程可如何表示？②當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，求標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)應(yīng)如何考慮?【探究提示】1.由橢圓的方程可知焦點(diǎn)在x軸上，且焦點(diǎn)的坐標(biāo)為2.①雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為②可分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論.
【自主解答】(1)橢圓 的焦點(diǎn)為 設(shè)雙曲線的方程為 則a2+b2=20.又雙曲線過點(diǎn) 所以綜上可得故所求雙曲線的方程為答案：
(2)①設(shè)雙曲線方程為 (a＞0,b＞0).因?yàn)閍=4,c=5,所以b2=c2-a2=25-16=9.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為②若所求的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為 (a＞0,b＞0),則將a=4代入得
因?yàn)辄c(diǎn) 在雙曲線上,所以由此得b2＜0,不合題意舍去.若所求的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為 (a＞0,b＞0),同理解得b2=9.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
【方法技巧】求雙曲線方程的兩個(gè)步驟(1)定位:確定雙曲線焦點(diǎn)的位置,以判斷方程的形式.(2)定量:確定方程中參數(shù)a,b的具體的值,常根據(jù)條件列方程(組)求解.
【變式訓(xùn)練】(2014·北京高考)設(shè)雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為(- ,0),( ,0),一個(gè)頂點(diǎn)是(1,0),則C的方程為　 .【解題指南】利用雙曲線的幾何性質(zhì)求出a,b,c,進(jìn)而求出C的方程.【解析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得c= 且焦點(diǎn)在x軸上,由頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,0)知a=1,所以b2=c2-a2=2-1=1,所以C的方程為x2-y2=1.答案:x2-y2=1
【補(bǔ)償訓(xùn)練】雙曲線的焦點(diǎn)為(-4,0)和(4,0),且b=2,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________.【解析】由條件知雙曲線焦點(diǎn)在x軸上,且c=4,b=2,所以a2=c2-b2=42-22=12,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為答案：
類型三 由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求參數(shù)【典例3】(1)“3＜m＜5”是“方程 表示雙曲線”的 ( )A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件(2)已知雙曲線8kx2-ky2=8的一個(gè)焦點(diǎn)為(0,3),求k的值.
【解題探究】1.題(1)方程 表示雙曲線的充要條件是什么?2.題(2)雙曲線8kx2-ky2=8化為標(biāo)準(zhǔn)方程的形式是什么?【探究提示】1.方程 表示雙曲線的充要條件是(m-5)(m2-m-6)＜0.2.由8kx2-ky2=8,得標(biāo)準(zhǔn)形式為
【自主解答】(1)選A.方程 表示雙曲線的充要條件是(m-5)(m2-m-6)＜0,即 或可解得m＜-2或3＜m＜5，故“3＜m＜5”是“方程 表示雙曲線”的充分不必要條件.故選A.
(2)由8kx2-ky2=8,得由于一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),故方程可化為k＜0,且 得k=-1.
【延伸探究】題(2)若將條件“一個(gè)焦點(diǎn)為(0,3)”改為“焦距為6”，求k的值.【解析】由8kx2-ky2=8,得當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),得 解得k=1.
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),方程可化為所以 解得k=-1,所以k的值為±1.
【誤區(qū)警示】本題易忽略焦點(diǎn)的位置，直接由 得k=1,而遺漏另一情況致錯(cuò).
【方法技巧】方程表示雙曲線的條件及參數(shù)范圍求法(1)對(duì)于方程 當(dāng)mn0,n0時(shí)表示雙曲線.且當(dāng)m>0,n>0時(shí)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線;當(dāng)m

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高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A選修2-1電子課本

2.3 雙曲線

版本： 人教版新課標(biāo)A

年級(jí)： 選修2-1

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