?2019-2020學(xué)年陜西省西安市碑林區(qū)鐵一中學(xué)八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1．在x＞0，＜﹣1，2x＜﹣2+x，x+y≥﹣3，x+1＝0，x2＞3中，是一元一次不等式的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．下列圖形中，不能通過其中一個四邊形平移得到的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
3．下列分式是最簡分式的是（　?。?br /> A．﹣ B．
C． D．
4．下列各式中，一定成立的是（　?。?br /> A． B． C． D．
5．不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（　?。?br /> A．
B．
C．
D．
6．如圖，A，B的坐標分別為（2，0），（0，1），若將線段AB平移至A1B1，則a﹣b的值為（　?。?br />
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知a2﹣3a+1＝0，則的值為（　?。?br /> A．5 B．7 C．9 D．11
8．若關(guān)于x的方程﹣1＝的解為正數(shù)，則負整數(shù)m的值為（　?。?br /> A．﹣3，﹣2，﹣1 B．﹣3，﹣2 C．﹣3，﹣2，﹣1，0 D．﹣3，﹣2，0
9．如圖，設(shè)（a＞b＞0），則有（　?。?br />
A． B． C．1＜k＜2 D．k＞2
10．一次數(shù)學(xué)活動，小明利用以下思路推導(dǎo)出“式子（x＞0）的最小值是2”：
∵x＞0，
∴，
∴當(dāng)，即x＝1時，的最小值為2．
據(jù)此方法，可以推出（x＞0）的最小值為（　?。?br /> A．12 B．8 C．4 D．2
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
11．若分式的值為0，則m的值為　 ?。?br /> 12．在直角坐標系中，點P（a，b）向左平移2個單位，向下平移3個單位后，得到的點的坐標為　 ?。?br /> 13．已知，則3A﹣B＝　 ?。?br /> 14．若關(guān)于x的不等式組有3個整數(shù)解，則a的取值范圍為　 ?。?br /> 15．如圖，已知經(jīng)過點（1，0）的直線y1＝2x+b與y2＝kx+4相交于點P，點P的橫坐標為2，則關(guān)于x的不等式組﹣4＜2x+b﹣4≤kx的解集為　 　．

16．用錘子以相同的力將鐵釘垂直釘入木塊，隨著鐵釘?shù)纳钊?，鐵釘所受的阻力也越來越大．當(dāng)未進入木塊的釘子長度足夠時，每次釘入木塊的釘子長度是前一次的．已知這個鐵釘被敲擊3次后全部進入木塊（木塊足夠厚），且第一次敲擊后鐵釘進入木塊的長度是2cm，若鐵釘總長度為acm，則a的取值范圍是　 ?。?br />
三、解答題（本大題共8小題，共72分）
17．解不等式（組）
（1）x﹣＜3．
（2）．
18．解下列分式方程．
（1）＝1．
（2）＝2﹣．
19．先化簡，再求值．
（1）1﹣+，其中a＝﹣1．
（2）（1+）÷，從1，2，3中選一個合適的數(shù)作為x的值，代入求值．
20．市政部打算翻新斑馬線，相鄰兩條斑馬線可通過平移得到．如圖，AB已完工，請用尺規(guī)作圖法，作出由AB平移得到的A'B'，其中點A的對應(yīng)點為點A'．（不寫作法，保留作圖痕跡．）

21．已知關(guān)于x的方程組的解都為正數(shù)，求m的取值范圍．
22．如圖是一張土地規(guī)劃圖，管理人員把它分割成①號區(qū)（空白部分），2號區(qū)（陰影部分），③號區(qū)（下方的空白部分）三塊，擬在①號區(qū)種花，②號區(qū)建房，③號區(qū)植樹，四邊形EFGH可以看作由四邊形ABCD沿著AB平移得到，在四邊形ABCD中，∠A＝45°，∠C＝∠D＝90°，EH與CD交于點O．已知AD＝200m，BF＝10m．請回答以下問題．
（1）平移距離為　 　m，∠F＝　 　，EO＝　 　m．
（2）求①號區(qū)的面積．

23．疫情期間，為滿足市民的防護需求，某醫(yī)藥公司想要購買A、B兩種口罩，在進行市場調(diào)研時發(fā)現(xiàn)：A型口罩比B型口罩每件進價多了10元，用68000元購買A型口罩的件數(shù)是用32000元購買B型口罩件數(shù)的2倍．
（1）A、B型口罩進價分別為每件多少元？
（2）若該公司計劃購買A、B型口罩共200件，其中A型口罩的件數(shù)不大于B型口罩的件數(shù)，且用于購買A型口罩的錢數(shù)多于購買B型口罩的錢數(shù)．設(shè)購買A型口罩x件，則符合條件的進貨方案共多少種？（件數(shù)均為整數(shù)，不用列出方案）
（3）在（2）的條件下，該公司決定每售出一件A型口罩，就捐獻抗疫基金20元．已知A型口罩的售價為240元/件，B型口罩的售價為220元/件．假設(shè)所有口罩均能全部售出，請求出采用哪種方案時，該公司捐獻后獲得的收益最大？最大收益為多少？
24．[探索發(fā)現(xiàn)]如圖，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC上，∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝5+，BD＝2，EC＝2．
（1）如圖①，在BC邊上找一點P，使得EP+DP最?。堊鞒鳇cP，EP+DP的最小值為　 ?。?br /> （2）如圖②，P、Q是BC邊上兩動點，且PQ＝2，求DP+PQ+EQ的最小值．
經(jīng)過討論，某小組得出一個解決方法：將點D沿著PQ方向平移到D'，使DD′＝PQ＝2，連接DD'和D'Q，則DP＝D'Q．所以DP+PQ+EQ＝D'Q+EQ+2，只需使D'Q+EQ最小即可，請你根據(jù)以上信息，作出使DP+PQ+EQ最小的P、Q（記為P1、Q1），并直接寫出DP+PQ+EQ的最小值．DP+PQ+EQ的最小值為　 ?。?br /> （3）[拓展應(yīng)用]
如圖③，供電公司準備架設(shè)一條經(jīng)過農(nóng)田區(qū)的輸電線路，為M、N兩個村同時輸電．農(nóng)田區(qū)兩側(cè)AB與CD平行，且AB與CD的距離為千米．M村到AB的距離為2干米，N村到CD的距離為1千米，M、N所在的直線與AB所夾銳角恰好為45°．根據(jù)架線要求，在農(nóng)田區(qū)內(nèi)的線路與AB所夾銳角為30°．請計算出最短線路的長度．（要求：寫出計算過程，結(jié)果保留根號）


2019-2020學(xué)年陜西省西安市碑林區(qū)鐵一中學(xué)八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1．在x＞0，＜﹣1，2x＜﹣2+x，x+y≥﹣3，x+1＝0，x2＞3中，是一元一次不等式的有（　?。?br /> A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義，只要含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式就可以．
【解答】解：是一元一次不等式的有：x＞0，2x＜﹣2+x共有2個．
故選：B．
2．下列圖形中，不能通過其中一個四邊形平移得到的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)平移與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出．
【解答】解：A、能通過其中一個四邊形平移得到，不符合題意；
B、能通過其中一個四邊形平移得到，不符合題意；
C、能通過其中一個四邊形平移得到，不符合題意；
D、不能通過其中一個四邊形平移得到，需要一個四邊形旋轉(zhuǎn)得到，符合題意．
故選：D．
3．下列分式是最簡分式的是（　　）
A．﹣ B．
C． D．
【分析】根據(jù)最簡分式的概念：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫最簡分式，逐一判斷即可．
【解答】解：A．﹣＝﹣，此選項不符合題意；
B．＝＝，此選項不符合題意；
C．不能約分，是最簡分式，此選項符合題意；
D．＝＝，此選項不符合題意；
故選：C．
4．下列各式中，一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求出答案成立．
【解答】解：A．，不成立；
B．，不成立；
C．，當(dāng)a＝0時不成立；
D．，成立．
故選：D．
5．不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（　?。?br /> A．
B．
C．
D．
【分析】分別求出每一個不等式的解集，再結(jié)合各選項的解集在數(shù)軸上的表示可得答案．
【解答】解：解不等式x+2＞0，得：x＞﹣2，
解不等式4﹣2x≤0，得：x≥2，
故選：A．
6．如圖，A，B的坐標分別為（2，0），（0，1），若將線段AB平移至A1B1，則a﹣b的值為（　?。?br />
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】先根據(jù)點A、B及其對應(yīng)點的坐標得出平移方向和距離，據(jù)此求出a、b的值，繼而可得答案．
【解答】解：由點A（2，0）的對應(yīng)點A1（3，b）知向右平移1個單位，
由點B（0，1）的對應(yīng)點B1（a，2）知向上平移1個單位，
∴a＝0+1＝1，b＝0+1＝1，
∴a﹣b＝0，
故選：A．
7．已知a2﹣3a+1＝0，則的值為（　?。?br /> A．5 B．7 C．9 D．11
【分析】由a2﹣3a+1＝0得到：a+＝3，將其整體代入整理后的代數(shù)式并求值即可．
【解答】解：由a2﹣3a+1＝0得到：a+﹣3＝0，
所以a+＝3，
所以＝a2+＝（a+）2﹣2＝32﹣2＝7．
故選：B．
8．若關(guān)于x的方程﹣1＝的解為正數(shù)，則負整數(shù)m的值為（　?。?br /> A．﹣3，﹣2，﹣1 B．﹣3，﹣2 C．﹣3，﹣2，﹣1，0 D．﹣3，﹣2，0
【分析】先解分式方程，根據(jù)分式方程的解為正數(shù)和分式方程無意義的情況，即可得出m的取值范圍，進而得出負整數(shù)m的值．
【解答】解：﹣1＝，
去分母得，1﹣（x﹣3）＝﹣m，
整理得，4﹣x＝﹣m，
解得，x＝4+m，
∵分式方程的解為正數(shù)，
∴4+m＞0，
∴m＞﹣4，
當(dāng)分式方程無意義時，4+m≠3，
∴m≠﹣1，
∴m＞﹣4且m≠﹣1，
則負整數(shù)m的值為：﹣3，﹣2．
故選：B．
9．如圖，設(shè)（a＞b＞0），則有（　?。?br />
A． B． C．1＜k＜2 D．k＞2
【分析】先分別表示出甲乙圖中陰影部分的面積，再利用因式分解進行化簡即可．
【解答】解：甲圖中陰影部分的面積＝a2﹣b2，乙圖中陰影部分的面積＝a（a﹣b），
＝，
∵a＞b＞0，
∴，
∴1＜k＜2．
故選：C．
10．一次數(shù)學(xué)活動，小明利用以下思路推導(dǎo)出“式子（x＞0）的最小值是2”：
∵x＞0，
∴，
∴當(dāng)，即x＝1時，的最小值為2．
據(jù)此方法，可以推出（x＞0）的最小值為（　?。?br /> A．12 B．8 C．4 D．2
【分析】根據(jù)（x+2）+＝（+）2﹣8進行解答．
【解答】解：∵x＞0，
∴x+2＞0．
∴＝（x+2）+＝（﹣）2+8≥8．
當(dāng)﹣＝0，即x＝2時，的最小值是8．
故選：B．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
11．若分式的值為0，則m的值為　﹣3?。?br /> 【分析】分式的值為0的條件是：（1）分子為0；（2）分母不為0．兩個條件需同時具備，缺一不可．
【解答】解：若分式的值為0，則
（m﹣1）（m+3）＝0，
解得m＝1或﹣3，
又∵當(dāng)m＝1時，分母m2﹣3m+2＝0，
∴m≠1，
∴m的值為﹣3，
故答案為：﹣3．
12．在直角坐標系中，點P（a，b）向左平移2個單位，向下平移3個單位后，得到的點的坐標為?。╝﹣2，b﹣3）　．
【分析】讓點P的橫坐標減2，縱坐標減3即可得到平移后點的坐標．
【解答】解：點P（a，b）先向左平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的點坐標是（a﹣2，b﹣3），
故答案為：（a﹣2，b﹣3）．
13．已知，則3A﹣B＝　3?。?br /> 【分析】將等式右邊合并后，根據(jù)分子中對應(yīng)的部分的系數(shù)相等，求出A，B，即可求式子的值．
【解答】解：∵右邊＝＝，
左邊＝，
∴A+B＝5，2A﹣B＝1．
∴A＝2，B＝3．
∴3A﹣B＝3×2﹣3＝3．
故答案為：3．
14．若關(guān)于x的不等式組有3個整數(shù)解，則a的取值范圍為　≤a＜　．
【分析】解兩個不等式求出其解集，再根據(jù)不等式組整數(shù)解的個數(shù)得出關(guān)于a的不等式組，解之可得答案．
【解答】解：解不等式2x＜3（x﹣1）+1，得：x＞2，
解不等式≥x﹣a，得：x≤4a，
∵不等式組有3個整數(shù)解，
∴5≤4a＜6，
解得≤a＜，
故答案為：≤a＜．
15．如圖，已知經(jīng)過點（1，0）的直線y1＝2x+b與y2＝kx+4相交于點P，點P的橫坐標為2，則關(guān)于x的不等式組﹣4＜2x+b﹣4≤kx的解集為　1＜x≤2?。?br />
【分析】觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)x＞1時，直線y1＝2x+b在x軸的上方，x≤2時在直線y2＝kx+4的下方，所以不等式組﹣4＜2x+b﹣4≤kx的解集為1＜x≤2．
【解答】解：∵直線y1＝2x+b經(jīng)過點（1，0），
∴關(guān)于x的不等式2x+b＞0的解集為x＞1；
∵直線y1＝2x+b與y2＝kx+4相交于點P，點P的橫坐標為2，
∴由圖象可知，2x+b≤kx+4的解集是x≤2，
∴關(guān)于x的不等式組﹣4＜2x+b﹣4≤kx的解集為1＜x≤2．
故答案為1＜x≤2．
16．用錘子以相同的力將鐵釘垂直釘入木塊，隨著鐵釘?shù)纳钊?，鐵釘所受的阻力也越來越大．當(dāng)未進入木塊的釘子長度足夠時，每次釘入木塊的釘子長度是前一次的．已知這個鐵釘被敲擊3次后全部進入木塊（木塊足夠厚），且第一次敲擊后鐵釘進入木塊的長度是2cm，若鐵釘總長度為acm，則a的取值范圍是　3＜a≤3.5?。?br />
【分析】求釘子的總長度，應(yīng)求出每次釘入木板的長度范圍，然后相加即可求出．
【解答】解：第一次為2cm，第二次為1cm，第三次不會超過0.5cm．
故釘子的總長度為3＜a≤3.5．
三、解答題（本大題共8小題，共72分）
17．解不等式（組）
（1）x﹣＜3．
（2）．
【分析】（1）根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1可得；
（2）分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．
【解答】解：（1）去分母，得：2x﹣3（x+1）＜6，
去括號，得：2x﹣3x﹣3＜6，
移項、合并，得：﹣x＜3，
系數(shù)化為1，得：x＞﹣3；

（2）解不等式≤，得：x≥﹣1，
解不等式5x﹣1＜3（x+1），得：x＜2，
則不等式組的解集為﹣1≤x＜2．
18．解下列分式方程．
（1）＝1．
（2）＝2﹣．
【分析】兩分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：x2﹣2（x﹣1）＝x（x﹣1），
整理得：x2﹣2x+2＝x2﹣x，
解得：x＝2，
檢驗：把x＝2代入得：x（x﹣1）＝2≠0，
則分式方程的解為x＝2；
（2）去分母得：x﹣2＝2（x﹣3）+1，
去括號得：x﹣2＝2x﹣6+1，
移項得：x﹣2x＝﹣6+1+2，
合并得：﹣x＝﹣3，
解得：x＝3，
檢驗：把x＝3代入得：x﹣3＝0，
則x＝3是增根，分式方程無解．
19．先化簡，再求值．
（1）1﹣+，其中a＝﹣1．
（2）（1+）÷，從1，2，3中選一個合適的數(shù)作為x的值，代入求值．
【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的加減法則計算，約分得到最簡結(jié)果，把a的值代入計算即可求出值；
（2）原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，把x的值代入計算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝﹣+
＝
＝﹣
＝﹣，
當(dāng)a＝﹣1時，原式＝﹣1；
（2）原式＝?
＝x﹣2，
當(dāng)x＝1，2時，原式?jīng)]有意義；
當(dāng)x＝3時，原式＝1．
20．市政部打算翻新斑馬線，相鄰兩條斑馬線可通過平移得到．如圖，AB已完工，請用尺規(guī)作圖法，作出由AB平移得到的A'B'，其中點A的對應(yīng)點為點A'．（不寫作法，保留作圖痕跡．）

【分析】連接BA′，作∠BA′B′＝∠ABA′，且A′B′＝AB即可．
【解答】解：如圖，線段A′B′即為所求作．

21．已知關(guān)于x的方程組的解都為正數(shù)，求m的取值范圍．
【分析】解方程組得出，再由方程組的解都是正數(shù)知，進一步求解即可．
【解答】解：解方程組得，
∵方程組的解都是正數(shù)，
∴，
解不等式①，得：m＞2，
解不等式②，得：m＜5，
∴2＜m＜5．
22．如圖是一張土地規(guī)劃圖，管理人員把它分割成①號區(qū)（空白部分），2號區(qū)（陰影部分），③號區(qū)（下方的空白部分）三塊，擬在①號區(qū)種花，②號區(qū)建房，③號區(qū)植樹，四邊形EFGH可以看作由四邊形ABCD沿著AB平移得到，在四邊形ABCD中，∠A＝45°，∠C＝∠D＝90°，EH與CD交于點O．已知AD＝200m，BF＝10m．請回答以下問題．
（1）平移距離為　10　m，∠F＝　135°　，EO＝　190　m．
（2）求①號區(qū)的面積．

【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）由題意得四邊形ABCD與四邊形EFGH是兩個相同的直角梯形，所以①和③號區(qū)面積相等，延長BC，HG交于點M，則③區(qū)的面積等于梯形FGMB的面積減去三角形GMC的面積，求出③的面積，就得到了①的面積．
【解答】解：（1）∵四邊形EFGH可以看作由四邊形ABCD沿著AB平移得到，
∴平移距離為10m，∠F＝∠ABC，AE＝BF＝10（m），
∵∠A＝45°，∠C＝∠D＝90°，
∴∠ABC＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，
∴∠F＝135°，
過E作EM⊥AD于M，
則△AME是等腰直角三角形，四邊形EMDO是矩形，
∴AM＝EM＝AE＝×10＝10（m），EO＝DM，
∴EO＝DM＝AD﹣AM＝200﹣10＝190（m）；
故答案為：10，135°，190；
（2）根據(jù)題意，因為四邊形ABCD與四邊形EFGH是兩個相同的直角梯形，可得①號區(qū)的面積等于③號區(qū)的面積．
則③號區(qū)的面積＝（200+200﹣10）×10＝1950（m2），
∴①號區(qū)的面積為1950m2．

23．疫情期間，為滿足市民的防護需求，某醫(yī)藥公司想要購買A、B兩種口罩，在進行市場調(diào)研時發(fā)現(xiàn)：A型口罩比B型口罩每件進價多了10元，用68000元購買A型口罩的件數(shù)是用32000元購買B型口罩件數(shù)的2倍．
（1）A、B型口罩進價分別為每件多少元？
（2）若該公司計劃購買A、B型口罩共200件，其中A型口罩的件數(shù)不大于B型口罩的件數(shù)，且用于購買A型口罩的錢數(shù)多于購買B型口罩的錢數(shù)．設(shè)購買A型口罩x件，則符合條件的進貨方案共多少種？（件數(shù)均為整數(shù)，不用列出方案）
（3）在（2）的條件下，該公司決定每售出一件A型口罩，就捐獻抗疫基金20元．已知A型口罩的售價為240元/件，B型口罩的售價為220元/件．假設(shè)所有口罩均能全部售出，請求出采用哪種方案時，該公司捐獻后獲得的收益最大？最大收益為多少？
【分析】（1）設(shè)B型口罩每件的進價為y元，則A型口罩每件的進價為（y+10）元，根據(jù)用68000元購買A型口罩的件數(shù)是用32000元購買B型口罩件數(shù)的2倍，即可得出關(guān)于y的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)購買A型口罩x件，則購買B型口罩（200﹣x）件，根據(jù)“A型口罩的件數(shù)不大于B型口罩的件數(shù)，且用于購買A型口罩的錢數(shù)多于購買B型口罩的錢數(shù)”，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式組，解之即可得出x的取值范圍，再結(jié)合x為正整數(shù)即可得出符合條件的進貨方案的數(shù)量；
（3）設(shè)該公司捐獻后獲得的收益為w元，根據(jù)獲得的收益＝銷售每件的收益×銷售數(shù)量，即可得出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．
【解答】解：（1）設(shè)B型口罩每件的進價為y元，則A型口罩每件的進價為（y+10）元，
依題意得：＝2×，
解得：y＝160，
經(jīng)檢驗，y＝160是原方程的解，且符合題意，
∴y+10＝170．
答：A型口罩每件的進價為170元，B型口罩每件的進價為160元．
（2）設(shè)購買A型口罩x件，則購買B型口罩（200﹣x）件，
依題意得：，
解得：96＜x≤100，
又∵x為正整數(shù)，
∴x可以取97，98，99，100，
∴符合條件的進貨方案共4種．
（3）設(shè)該公司捐獻后獲得的收益為w元，則w＝（240﹣170﹣20）x+（220﹣160）（200﹣x）＝﹣10x+12000．
∵k＝﹣10＜0，
∴w隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x＝97時，w取得最大值，最大值＝﹣10×97+12000＝11030．
答：當(dāng)購買A型口罩97件，B型口罩103件時，該公司捐獻后獲得的收益最大，最大收益為11030元．
24．[探索發(fā)現(xiàn)]如圖，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC上，∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝5+，BD＝2，EC＝2．
（1）如圖①，在BC邊上找一點P，使得EP+DP最?。堊鞒鳇cP，EP+DP的最小值為　3?。?br /> （2）如圖②，P、Q是BC邊上兩動點，且PQ＝2，求DP+PQ+EQ的最小值．
經(jīng)過討論，某小組得出一個解決方法：將點D沿著PQ方向平移到D'，使DD′＝PQ＝2，連接DD'和D'Q，則DP＝D'Q．所以DP+PQ+EQ＝D'Q+EQ+2，只需使D'Q+EQ最小即可，請你根據(jù)以上信息，作出使DP+PQ+EQ最小的P、Q（記為P1、Q1），并直接寫出DP+PQ+EQ的最小值．DP+PQ+EQ的最小值為　2+?。?br /> （3）[拓展應(yīng)用]
如圖③，供電公司準備架設(shè)一條經(jīng)過農(nóng)田區(qū)的輸電線路，為M、N兩個村同時輸電．農(nóng)田區(qū)兩側(cè)AB與CD平行，且AB與CD的距離為千米．M村到AB的距離為2干米，N村到CD的距離為1千米，M、N所在的直線與AB所夾銳角恰好為45°．根據(jù)架線要求，在農(nóng)田區(qū)內(nèi)的線路與AB所夾銳角為30°．請計算出最短線路的長度．（要求：寫出計算過程，結(jié)果保留根號）

【分析】（1）作點E關(guān)于BC的對稱點E′，連接DE′交BC于P，此時PD+PE的值最小，連接PE，EE′，EE′交BC于Q，過點D作DT⊥BC于T，過點E′作E′H⊥DT于H．想辦法求出DE′即可解決問題．
（2）將點D沿著PQ方向平移到D'，使DD′＝PQ＝2，連接DD'和D'Q，則DP＝D'Q．所以DP+PQ+EQ＝D'Q+EQ+2，利用（1）中方法求出D'Q+EQ最小值即可．
（3）如圖，過點M作MF⊥CD于F，交AB于E，過點N作NG⊥MF于G，作線段MR，使得MR＝+1，線段MR與AB的夾角為30°，連接MN，RN，RN交CD于W，作WH∥RM，交AB于H，過點H作HI⊥CD于I，過點R作RJ⊥ME于J．則最短線路的長＝MH+HW+WN＝MR+RW+WN＝MR+RN，
【解答】解：（1）如圖①中，作點E關(guān)于BC的對稱點E′，連接DE′交BC于P，此時PD+PE的值最小，連接PE，EE′，EE′交BC于Q，過點D作DT⊥BC于T，過點E′作E′H⊥DT于H．

在Rt△BDT中，BD＝2，∠B＝45°，∠BTD＝90°，
∴BT＝DT＝2，
在Rt△CEQ中，EC＝2，∠EQC＝90°，∠C＝30°，
∴EQ＝EC＝1．CQ＝，
∴QT＝BC﹣BT﹣CQ＝3，
∴QE′＝QE＝1，
∵∠H＝∠HTQ＝∠TQE′＝90°，
∴四邊形TQE′H是矩形，
∴E′H＝TQ＝3，TH＝E′Q＝1，
∴DT＝3，
∴DE′＝＝＝3，
∴PD+PE的最小值為3．
故答案為：3．

（2）由（1）可知，D'Q+EQ＝＝，
∴DP+PQ+EQ的最小值＝D'Q+EQ+2＝2+，
故答案為：2+．

（3）如圖③中，過點M作MF⊥CD于F，交AB于E，過點N作NG⊥MF于G，作線段MR，使得MR＝+1，線段MR與AB的夾角為30°，連接MN，RN，RN交CD于W，作WH∥RM，交AB于H，過點H作HI⊥CD于I，過點R作RJ⊥ME于J．

則最短線路的長＝MH+HW+WN＝MR+RW+WN＝MR+RN，
在Rt△WHI中，∠HIW＝90°，∠HWI＝30°，HI＝，
∴HW＝2HI＝+1，WI＝HI＝，
在Rt△MNG中，∠G＝90°，∠MNG＝45°，MG＝ME+EF+FG＝2++1＝，
∴GN＝MG＝，
∵ME＝HI＝，ER＝WI＝，
∴NT＝GN﹣GT＝GN﹣ER＝﹣＝2，RT＝EG＝MG﹣ME＝3，
在Rt△RTN中，RN＝＝＝，
∴最短線路的長度＝+1+．


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