第26講解直角三角形及其應(yīng)用-講義（學(xué)生版+教師版）2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

第26講解直角三角形及其應(yīng)用知識(shí)導(dǎo)航1．在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求其他所有未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形．2．直角三角形邊角之間的關(guān)系：Rt△ABC中，∠C＝90°，則有：(1)a2＋b2＝c2；(2)∠A＋∠B＝90°；(3)sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝，tanB＝．3．解直角三角形實(shí)際應(yīng)用時(shí)常用的概念：(1)仰角、俯角；(2)方向角；(3)坡角、坡度．【板塊一】解直角三角形及實(shí)際應(yīng)用方法技巧1．靈活運(yùn)用邊角關(guān)系求邊與角；2．若所求解的直角三角形“不可直接解”，應(yīng)注意設(shè)元，借助方程來(lái)解決；3．如果圖形中沒(méi)有直角時(shí)，要添加垂線將其轉(zhuǎn)化為直角三角形求解． ?題型一　可直接解直角三角形【例1】在△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)下列條件解直角三角形：(1)c＝2，∠A＝30°；(2)a＝3，b＝9；(3)∠A＝2∠B，c－b＝4． ?題型二 “不可直接解直角三角形”——設(shè)元、借助方程求解【例 2】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝，AB＝6，點(diǎn)E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，且∠DEC＝120°，求AE的長(zhǎng)． ?題型三　“化斜為直“解斜三角形【例3】在△ABC中，AB＝8，∠ABC＝30°，AC＝5，求BC的長(zhǎng)． ?題型四　方位角、俯角、仰角、坡角等的應(yīng)用【例4】如圖，一般漁船正以60海里/小時(shí)的速度向正東方向航行，在A處測(cè)得島礁P在東北方向上，島礁P正東方向上的避風(fēng)港繼續(xù)航行1．5小時(shí)后到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得島礁P在北偏東30°方向，同時(shí)測(cè)得島礁Ｐ正東方向上的避風(fēng)港Ｍ在北偏東60°方向，為了在合風(fēng)到來(lái)之前用最短時(shí)間到達(dá)M處，漁船立刻加速以75海里/小時(shí)的速度繼續(xù)航行多少小時(shí)即可到達(dá)？(結(jié)果保留根號(hào)) 2．當(dāng)圖中無(wú)直角三角形時(shí)，通過(guò)作垂線，可把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形．【例5】某數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)進(jìn)行測(cè)量大樹(shù)CD高度的綜合實(shí)踐活動(dòng)，如圖，在點(diǎn)A處調(diào)得真立于地面的大樹(shù)頂端C的仰角為36°，然后沿同一副面的斜坡AB行走13米至放頂B處，然后兩沿水平方向行走6米至大樹(shù)腳底店D處，涂料面AB的城度(或坡比)＝1：2：4，那么大樹(shù)CD的高度約為多少？(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：sin36°≈0．59，cos36°≈0．81，tan36°≈0．73) 針對(duì)練習(xí)11．如圖，一般海輪位于燈塔P的北偏東30°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，這時(shí)，海輪所在的B處與燈塔P的距離為海里． 2．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分線AD＝4，∠DAC＝30°，解Rt△ABC． 3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，tan∠ACB＝2，點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部，且AD＝CD，∠ADC＝90°，連接BD，若△BCD的面積為10，求AD的長(zhǎng)． 4．如圖，甲、乙兩座建筑物的水平距離BC為78m，從甲的頂部A處測(cè)得乙的頂部D處的俯角為48°，測(cè)得底部C處的俯角為58°，求甲、乙兩座建筑物的高度AB和DC．(結(jié)果取整數(shù))(參考數(shù)據(jù)：tan48°≈1．11，tan58≈1．60) 5．為了測(cè)量豎直旗桿的高度，某綜合實(shí)踐小組在地面D處豎直放置標(biāo)桿CD，并在地面上水平放置一個(gè)平面鏡E，使得點(diǎn)B，E，D在同一水平線上，如圖所示。該小組在標(biāo)桿的F處，通過(guò)平面鏡E恰好觀測(cè)到旗相頂點(diǎn)A(此時(shí)∠AEB＝∠FED)，在F處測(cè)得旗桿頂A的仰角為39．3°，平面鏡E的俯角為45°，FD＝1．8米．問(wèn)旗桿的高度約為多少米？(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù)：tan39．3°≈0．82，tan84．3°≈10．02) 方法技巧與銳角三角函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題，一般將銳角轉(zhuǎn)化到直角三角形中，根據(jù)定義用線段比表示銳角三角函數(shù)，再運(yùn)用相似比進(jìn)行轉(zhuǎn)換。題型一與三角函數(shù)、相似等相關(guān)的計(jì)算【例1】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠ABC＝，BN是△ABC的中線，CH⊥BN于點(diǎn)I，交AB于點(diǎn)H，求的值【例2】如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，且AE⊥BD于點(diǎn)F，則sin∠EFC的值為．題型二與三角函數(shù)，相似等相關(guān)的證明【例3】如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，EF⊥AC，垂足為點(diǎn)F，EF與CD交于點(diǎn)G，tan∠ABC＝2，求證：AC＝4EG．【例4】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G在邊BC上(不與點(diǎn)B，C重合)，連接AG，作DE⊥AG于點(diǎn)E，BF⊥AG于點(diǎn)F，設(shè)＝k．(1)求證：△BFG∽△DEA；(2)連接BE，DF，設(shè)∠EDF＝，∠EBF＝，求證：tan＝ktan．針對(duì)練習(xí)21．如圖，在△ABC中．＝，cos∠BAC＝，求證：AB＝BC． 2．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC邊上的一點(diǎn)，且tan∠BAD＝，若AC＝6，BD＝，求CD的長(zhǎng)． 3．如圖，在口ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F是CD上一點(diǎn)，∠AFE＝∠ADC，∠AEF＝90°．求證：cos∠AFE＝． 4．如圖，在△ABC中，∠ABC＝135°，點(diǎn)P為邊AC上一點(diǎn)，且∠PBA＝90°，＝，(1)求tan∠APB的值；(2)若PB＝2，求AC的長(zhǎng)． 5．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝BA，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，線段CE的垂直平分線交BD于點(diǎn)F，連接AF，EF，且EF＝BE，FD＝14，tan∠ABD＝2，求AF的長(zhǎng)．

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