?2017-2018學年山東省濰坊市九年級（上）期末數學試卷
一、選擇題（本題共30分，每小題3分）下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的．請將正確選項填涂在答題卡相應的位置．
1．（3分）拋物線的頂點坐標是　　
A． B． C． D．
2．（3分）如圖，在中，為中點，交于點，則與的面積比為　　

A． B． C． D．
3．（3分）方程的解是　　
A． B． C．， D．，
4．（3分）如圖，在中，，若，，則的值為　　

A． B． C． D．
5．（3分）下列各點中，拋物線經過的點是　　
A． B． C． D．
6．（3分）如圖，是的外接圓，，則的大小為　　

A． B． C． D．
7．（3分）一個扇形的圓心角是，面積為，那么這個扇形的半徑是　　
A． B． C． D．
8．（3分）反比例函數的圖象經過點，，則下列關系正確的是　　
A． B． C． D．不能確定
9．（3分）拋物線與軸的兩個交點之間的距離為 4 ，則的值是　　
A ． B ． C ． D ．
10．（3分）當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓（單位：是氣體體積（單位：的函數，下表記錄了一組實驗數據：與的函數關系式可能是　　
（單位：
1
1.5
2
2.5
3
（單位：
96
64
48
38.4
32
A． B．
C． D．
二、填空題（本題共18分，每小題3分）
11．（3分）已知為銳角，若，則　 　度．
12．（3分）請你寫出一個圖象經過二、四象限的反比例函數的解析式 　 　．
13．（3分）如圖，比例規(guī)是一種畫圖工具，它由長度相等的兩腳和交叉構成，利用它可以把線段按一定的比例伸長或縮短，如果把比例規(guī)的兩腳合上，使螺絲釘固定在刻度3的地方（即同時使，，然后張開兩腳，使、兩個尖端分別在線段的兩個端點上，若，則的長為　 　．

14．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，以原點為位似中心，線段與線段是位似圖形，若，，，則的坐標為　 ?。?br />
15．（3分）若關于的方程有兩個相等實數根，則代數式的值為　　．
16．（3分）下面是“用三角板畫圓的切線”的畫圖過程．
如圖1，已知圓上一點，畫過點的圓的切線．
畫法：（1）如圖2，將三角板的直角頂點放在圓上任一點（與點不重合）處，使其一直角邊經過點，另一條直角邊與圓交于點，連接；
（2）如圖3，將三角板的直角頂點與點重合，使一條直角邊經過點，畫出另一條直角邊所在的直線．
所以直線就是過點的圓的切線．
請回答：該畫圖的依據是　 ?。?br />
三、解答題（本題共72分，第17～26題，每小題5分，第27題7分，第28題7分，第29題8分）
17．（5分）計算：．
18．（5分）如圖，在中，，是上一點，，垂足為．
求證：．

19．（5分）若二次函數的圖象經過點和兩點，求此二次函數的表達式．
20．（5分）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流（單位：與電阻（單位：是反比例函數關系，它的圖象如圖所示．
（1）求這個反比例函數的表達式；
（2）如果以此蓄電池為電源的用電器的限制電流不能超過，那么用電器的可變電阻應控制在什么范圍？請根據圖象，直接寫出結果　 　．

21．（5分）已知矩形的一邊長為，且相鄰兩邊長的和為10．
（1）求矩形面積與邊長的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）求矩形面積的最大值．
22．（5分）如圖，熱氣球探測器顯示，從熱氣球處看一棟樓頂部處的仰角為，看這棟樓底部處的俯角為，熱氣球與樓的水平距離為100米，試求這棟樓的高度．

23．（5分）在矩形中，，，為邊上一點，為等腰三角形．
（1）小明畫出了一個滿足條件的，其中，如圖1所示，則的值為　 　；
（2）請你在圖2中再畫出一個滿足條件的（與小明的不同），并求此時的值．

24．（5分）如圖，直線與雙曲線只有一個公共點．
（1）求與的值；
（2）若直線與雙曲線有兩個公共點，請直接寫出的取值范圍．

25．（5分）如圖，是的直徑，弦于點．，是的外角的平分線．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，射線與交于點，請寫出求長的思路．

26．（5分）有這樣一個問題：探究函數的性質．
（1）先從簡單情況開始探究：
①當函數時，隨增大而　 ?。ㄌ睢霸龃蟆被颉皽p小” ；
②當函數時，它的圖象與直線的交點坐標為　 ??；
（2）當函數時，
下表為其與的幾組對應值．
　


0
1

2

3
4
　

　



1

2

3
7
　

①如圖，在平面直角坐標系中，描出了上表中各對對應值為坐標的點，請根據描出的點，畫出該函數的圖象；
②根據畫出的函數圖象，寫出該函數的一條性質：　 　．

27．（7分）在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為．
（1）求點的坐標；
（2）將線段沿軸向右平移2個單位長度得到線段．
①直接寫出點和的坐標；
②若拋物線與四邊形有且只有兩個公共點，結合函數的圖象，求的取值范圍．

28．（7分）在中，，，點是內一點，且，連接，試探究、、滿足的等量關系．
（1）當時，將繞點逆時針旋轉得到，連接，如圖1所示．由可以證得是等邊三角形，再由可得的大小為　　度，進而得到是直角三角形，這樣可以得到、、滿足的等量關系為　　；
（2）如圖2，當時，參考（1）中的方法，探究、、滿足的等量關系，并給出證明；
（3）、、滿足的等量關系為　?。?br />
29．（8分）定義：點為內部或邊上的點，若滿足、、至少有一個三角形與相似（點不與頂點重合），則稱點為的自相似點．
例如：如圖1，點在的內部，，，則，故點為的自相似點．
在平面直角坐標系中，
（1）點坐標為，，軸于點，在，，，，這三個點中，其中是自相似點的是　?。ㄌ钭帜福?br /> （2）若點是曲線上的一個動點，為軸正半軸上一個動點；
①如圖2，，點橫坐標為3，且，若點是的自相似點，求點的坐標；
②若，點為，且的自相似點有2個，則曲線上滿足這樣條件的點共有　　個，請在圖3中畫出這些點（保留必要的畫圖痕跡）．


2017-2018學年山東省濰坊市九年級（上）期末數學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共30分，每小題3分）下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的．請將正確選項填涂在答題卡相應的位置．
1．（3分）拋物線的頂點坐標是　　
A． B． C． D．
【解答】解：
，
頂點坐標為，
故選：．
2．（3分）如圖，在中，為中點，交于點，則與的面積比為　　

A． B． C． D．
【解答】解：，
，
是邊的中點，
，
．
故選：．
3．（3分）方程的解是　　
A． B． C．， D．，
【解答】解：，
，
，，
，，
故選：．
4．（3分）如圖，在中，，若，，則的值為　　

A． B． C． D．
【解答】解：，，，
，
，
故選：．
5．（3分）下列各點中，拋物線經過的點是　　
A． B． C． D．
【解答】解：當時，；當時，；當時，；當時，，
所以點在拋物線上．
故選：．
6．（3分）如圖，是的外接圓，，則的大小為　　

A． B． C． D．
【解答】解：
，
由圓周角定理可知：
故選：．
7．（3分）一個扇形的圓心角是，面積為，那么這個扇形的半徑是　　
A． B． C． D．
【解答】解：設扇形的半徑為，
由題意：，解得，
，
，
這個扇形的半徑為．
故選：．
8．（3分）反比例函數的圖象經過點，，則下列關系正確的是　　
A． B． C． D．不能確定
【解答】解：反比例函數的圖象經過點，，
，，
，
．
故選：．
9．（3分）拋物線與軸的兩個交點之間的距離為 4 ，則的值是　　
A ． B ． C ． D ．
【解答】解： 設拋物線與軸的兩個交點為，，，，
則，，
，
，
，
檢驗 ．是原方程的解 ．
故選：．
10．（3分）當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓（單位：是氣體體積（單位：的函數，下表記錄了一組實驗數據：與的函數關系式可能是　　
（單位：
1
1.5
2
2.5
3
（單位：
96
64
48
38.4
32
A． B．
C． D．
【解答】解：觀察發(fā)現：，
故與的函數關系式為，
故選：．
二、填空題（本題共18分，每小題3分）
11．（3分）已知為銳角，若，則　45　度．
【解答】解：為銳角，，
．
12．（3分）請你寫出一個圖象經過二、四象限的反比例函數的解析式 　，答案不唯一?。?br /> 【解答】解：由于反比例函數圖象經過二、四象限，
所以比例系數為負數，
故解析式可以為．答案不唯一．
故答案為：，答案不唯一．
13．（3分）如圖，比例規(guī)是一種畫圖工具，它由長度相等的兩腳和交叉構成，利用它可以把線段按一定的比例伸長或縮短，如果把比例規(guī)的兩腳合上，使螺絲釘固定在刻度3的地方（即同時使，，然后張開兩腳，使、兩個尖端分別在線段的兩個端點上，若，則的長為　9.6?。?br />
【解答】解：，，
，，
，
，
，
，
，
故答案為9.6．

14．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，以原點為位似中心，線段與線段是位似圖形，若，，，則的坐標為　?。?br />
【解答】解：的對應點的坐標為，
點的對應點的坐標為．
故答案為．
15．（3分）若關于的方程有兩個相等實數根，則代數式的值為　1?。?br /> 【解答】解：關于的方程有兩個相等實數根，
△，
．
故答案為：1．
16．（3分）下面是“用三角板畫圓的切線”的畫圖過程．
如圖1，已知圓上一點，畫過點的圓的切線．
畫法：（1）如圖2，將三角板的直角頂點放在圓上任一點（與點不重合）處，使其一直角邊經過點，另一條直角邊與圓交于點，連接；
（2）如圖3，將三角板的直角頂點與點重合，使一條直角邊經過點，畫出另一條直角邊所在的直線．
所以直線就是過點的圓的切線．
請回答：該畫圖的依據是　的圓周角所對的弦是直徑，經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線?。?br />
【解答】解：利用的圓周角所對的弦是直徑可得到為直徑，根據經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線可判斷直線就是過點的圓的切線．
故答案為的圓周角所對的弦是直徑，經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．
三、解答題（本題共72分，第17～26題，每小題5分，第27題7分，第28題7分，第29題8分）
17．（5分）計算：．
【解答】解：原式．
18．（5分）如圖，在中，，是上一點，，垂足為．
求證：．

【解答】證明：，
，
，
，
，
．
19．（5分）若二次函數的圖象經過點和兩點，求此二次函數的表達式．
【解答】解：二次函數的圖象經過和兩點，
，
解得：，
二次函數的表達式為．
20．（5分）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流（單位：與電阻（單位：是反比例函數關系，它的圖象如圖所示．
（1）求這個反比例函數的表達式；
（2）如果以此蓄電池為電源的用電器的限制電流不能超過，那么用電器的可變電阻應控制在什么范圍？請根據圖象，直接寫出結果　?。?br />
【解答】20．（1）解：設反比例函數的表達式為，
由圖象可知函數的圖象經過點，
．
反比例函數的表達式為．
（2），，
，
，
即用電器可變電阻應控制在3.6歐以上的范圍內．
21．（5分）已知矩形的一邊長為，且相鄰兩邊長的和為10．
（1）求矩形面積與邊長的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）求矩形面積的最大值．
【解答】解：（1）矩形的一邊長為，
則另一邊長為，
則，；

（2），
當時，最大值為25．
22．（5分）如圖，熱氣球探測器顯示，從熱氣球處看一棟樓頂部處的仰角為，看這棟樓底部處的俯角為，熱氣球與樓的水平距離為100米，試求這棟樓的高度．

【解答】解：由題意可得，
，，米，，
在中，，米，
，
米，
在中，，米，
，
米，
米，
即這棟樓的高度是米．
23．（5分）在矩形中，，，為邊上一點，為等腰三角形．
（1）小明畫出了一個滿足條件的，其中，如圖1所示，則的值為　1?。?br /> （2）請你在圖2中再畫出一個滿足條件的（與小明的不同），并求此時的值．

【解答】解：（1）四邊形是矩形，
，，
，
由勾股定理得：，
；
故答案為：1；
（2）分兩種情況：
①時，，
；
②時，，
，



24．（5分）如圖，直線與雙曲線只有一個公共點．
（1）求與的值；
（2）若直線與雙曲線有兩個公共點，請直接寫出的取值范圍．

【解答】解：（1）直線與雙曲線只有一個公共點．
，
解得：，；
（2）若直線與雙曲線有兩個公共點，
則方程組有兩個不同的解，
有兩個不相等的解，
整理得：，
△，
解得：，或．
25．（5分）如圖，是的直徑，弦于點．，是的外角的平分線．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，射線與交于點，請寫出求長的思路．

【解答】解：（1）是的直徑，弦于點，
垂直平分，
，
，
是的外角的平分線，
，
，
，
是的切線；

（2）設與交于，
，，
是等邊三角形，
，
，
，
，
．
26．（5分）有這樣一個問題：探究函數的性質．
（1）先從簡單情況開始探究：
①當函數時，隨增大而　增大?。ㄌ睢霸龃蟆被颉皽p小” ；
②當函數時，它的圖象與直線的交點坐標為　 　；
（2）當函數時，
下表為其與的幾組對應值．
　


0
1

2

3
4
　

　



1

2

3
7
　

①如圖，在平面直角坐標系中，描出了上表中各對對應值為坐標的點，請根據描出的點，畫出該函數的圖象；
②根據畫出的函數圖象，寫出該函數的一條性質：　 ?。?br />
【解答】解：（1）①，
，
隨增大而增大，
故答案為：增大；

②解方程組得：，，
所以兩函數的交點坐標為，，
故答案為：，；
（2）①

②該函數的性質：
①隨的增大而增大；
②函數的圖象經過第一、三、四象限；
③函數的圖象與軸軸各有一個交點等，
故答案為：隨的增大而增大．
27．（7分）在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為．
（1）求點的坐標；
（2）將線段沿軸向右平移2個單位長度得到線段．
①直接寫出點和的坐標；
②若拋物線與四邊形有且只有兩個公共點，結合函數的圖象，求的取值范圍．

【解答】解：（1），
拋物線的頂點的坐標為．
（2）由（1）知，，
線段沿軸向右平移2個單位長度得到線段．
，；
（3）如圖，

拋物線與四邊形有且只有兩個公共點，
．
由圖象可知，拋物線是始終和四邊形的邊相交，
拋物線已經和四邊形有兩個公共點，
將代入中，得．
．
28．（7分）在中，，，點是內一點，且，連接，試探究、、滿足的等量關系．
（1）當時，將繞點逆時針旋轉得到，連接，如圖1所示．由可以證得是等邊三角形，再由可得的大小為　150　度，進而得到是直角三角形，這樣可以得到、、滿足的等量關系為　?。?br /> （2）如圖2，當時，參考（1）中的方法，探究、、滿足的等量關系，并給出證明；
（3）、、滿足的等量關系為　?。?br />
【解答】解：（1），
，
由旋轉變換的性質可知，，，
為等邊三角形，
，
，
，
，
，
，
故答案為：150，；
（2）如圖2，作將繞點逆時針旋轉得到，連接，
作于，
由旋轉變換的性質可知，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如圖2，與（2）的方法類似，
作將繞點逆時針旋轉得到，連接，
作于，
由旋轉變換的性質可知，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．

29．（8分）定義：點為內部或邊上的點，若滿足、、至少有一個三角形與相似（點不與頂點重合），則稱點為的自相似點．
例如：如圖1，點在的內部，，，則，故點為的自相似點．
在平面直角坐標系中，
（1）點坐標為，，軸于點，在，，，，這三個點中，其中是自相似點的是　，?。ㄌ钭帜福?；
（2）若點是曲線上的一個動點，為軸正半軸上一個動點；
①如圖2，，點橫坐標為3，且，若點是的自相似點，求點的坐標；
②若，點為，且的自相似點有2個，則曲線上滿足這樣條件的點共有　　個，請在圖3中畫出這些點（保留必要的畫圖痕跡）．

【解答】解：（1）如圖1中，連接、、、，作于，于．

由題意可知點在上，
，
，
，
，
，，
，
點是自相似點，
同理可得，，
，
點是自相似點，
故答案為，．

（2）①如圖2，過點作軸于點．

點的橫坐標為3，
，
，
，，，
直線的表達式為，
在中，，，
設，則，
，
，
△，△，
，，
，
△是等邊三角形，
，
的橫坐標為1，的橫坐標為2，代入，
可得，
綜上所述，點坐標為或．

②如圖3中，滿足條件的點有4個．

以為圓心2為半徑作圓交反比例函數于，，以為圓心2為半徑作圓交反比例函數的圖象于，，
故答案為4．
聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網所有，未經書面同意，不得復制發(fā)布
日期：2021/12/6 11:14:28；用戶：星星卷大蔥；郵箱：jse035@xyh.com；學號：39024125

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