1.直線與圓有哪幾種位置關(guān)系？
2.如何判斷直線與圓的位置關(guān)系？
①作圖，觀察圖形：需借助專業(yè)繪圖工具
設(shè)圓的方程 ，直線方程 ，
②判斷交點個數(shù)：聯(lián)立方程組，判斷交點個數(shù)
因此， 時，方程有兩個不相等的實數(shù)解,直線與圓有兩個公共點，即相交；
②判斷交點個數(shù)：聯(lián)立方程組，判斷解的個數(shù)
時，方程有兩個相等的實數(shù)解，直線與圓有一個公共點，即相切；
時，方程沒有實數(shù)解，直線與圓沒有公共點，即相離.
③幾何轉(zhuǎn)化：計算圓心到直線的距離與半徑比較
則圓心 到直線 的距離為
因此， 時，直線與圓有兩個公共點，即相交；
時，直線與圓只有一個公共點，即相切；
時，直線與圓沒有公共點，即相離.
3.能否嚴(yán)格證明幾何法判定直線與圓的位置關(guān)系的合理性？
給定平面中的一條直線l和?C，以?C的圓心為原點，以不垂直于直線l的直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系.
設(shè)直線l的方程為y=kx+b，?C的方程為x2+y2=r2.
聯(lián)立直線與圓的方程，得
消y得
方程的判別式
因此，
同理，
新知提煉直線與圓的位置關(guān)系的判定方法
法1：代數(shù)法，聯(lián)立方程組，判斷交點個數(shù)
法2：幾何法，計算圓心到直線的距離，比較與半徑的關(guān)系
例1.（1）試判斷直線 與圓 的位置關(guān)系，并說明理由；
解：（代數(shù)法）聯(lián)立直線的方程與圓的方程，得方程組
從方程組消去 ，整理得
因此，直線 與圓 沒有公共點，即相離.
解：（幾何法）易知，圓 的圓心坐標(biāo)為 ，半徑為 .
直線 的一般方程為 因此，圓心到直線的距離
例1.（2）已知直線 與圓 ，分別求直線與圓相交、相切、相離時 的取值范圍.
當(dāng)且僅當(dāng) 時， ，方程有兩個不相等的實數(shù)解；此時，直線與圓有兩個公共點，直線與圓相交；
當(dāng)且僅當(dāng) 或 時， ，方程有兩個相等的實數(shù)解；此時，直線與圓只有一個公共點，直線與圓相切；
當(dāng)且僅當(dāng) 或 時， ，方程無實數(shù)解；此時，直線與圓沒有公共點，直線與圓相離.
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 或 時，直線 與圓 相離；
解：（幾何法）因為圓 的圓心為 ，半徑為 ，則圓心到直線 的距離
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時，直線 與圓 相交.
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 或 時，直線 與圓 相切；
從而可得切線的點斜式方程為
例2.（1）已知 是圓 上的一點，求圓的過點 的切線方程；
解：如圖，連結(jié)線段OM，則OM與切線垂直.
因為 ，所以切線的斜率為
因此所求方程為
例2.（2）已知 是圓 上的一點，求點 到直線 距離的最大值與最小值.
易知， 分別為最小值與最大值.
解：如圖，作 與圓交于P1點，并反向 延長CH，與圓交于P2點.
例3.已知直線 與圓 相交于 兩點.（1）求線段AB的長；
解：如圖所示，設(shè)AB的中點為M，連結(jié)OM.
由點到直線的距離公式有
由垂徑定理知， ，因此
解：（法2）將直線方程與圓的方程聯(lián)立，得方程組
代入直線方程得交點坐標(biāo)
另解：設(shè)
因為 都是直線 上的點，所以
例3.已知直線 與圓 相交于 兩點.（2）求線段AB的中點坐標(biāo).
解：設(shè) 且線段AB的中點坐標(biāo)為
課堂小結(jié)一、直線與圓的位置關(guān)系的判定方法
三、用“設(shè)而不求”思想解決弦長和中點問題
二、數(shù)形結(jié)合求切線方程、解決最值問題
P110練習(xí)B第2、4題

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

2.3.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

版本： 人教B版 (2019)

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