精品解析：2020年湖南省長沙市中雅學(xué)校中考二模數(shù)學(xué)試題（解析版+原卷版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.下列實(shí)數(shù)中，為無理數(shù)的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
無理數(shù)一般是包括開方開不盡的數(shù)、含π的數(shù)或式子以及看似循環(huán)實(shí)際不循環(huán)的小數(shù)，由此對(duì)各選項(xiàng)加以分析判斷即可.
【詳解】∵無理數(shù)一般是包括開方開不盡的數(shù)、含π的數(shù)或式子以及看似循環(huán)實(shí)際不循環(huán)的小數(shù)，
∴不是無理數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
，故不是無理數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
不是無理數(shù)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
，故是無理數(shù)，D選項(xiàng)正確；
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了無理數(shù)的判斷，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.
2.下列運(yùn)算正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則、完全平方公式、積的乘方運(yùn)算和冪的乘方運(yùn)算以及同底數(shù)冪的乘法法則對(duì)各選項(xiàng)加以計(jì)算判斷即可.
【詳解】A：，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B：，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C：，故選項(xiàng)正確；
D：，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的運(yùn)算、完全平方公式、積的乘方運(yùn)算和冪的乘方運(yùn)算以及同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)方法及公式是解題關(guān)鍵.
3.下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形的是（）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形概念對(duì)各圖形分析判斷后利用排除法求解．
【詳解】解：A、圖形是中心對(duì)稱軸圖形，不是軸對(duì)稱圖形，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、圖形是中心對(duì)稱軸圖形，不是軸對(duì)稱圖形，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、圖形是中心對(duì)稱軸圖形，也是軸對(duì)稱圖形，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、圖形不是中心對(duì)稱軸圖形，是軸對(duì)稱圖形，此選項(xiàng)正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念：軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合；中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
4.已知函數(shù)，則的取值范圍是（）
A. B. 且C. D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】
由函數(shù)表達(dá)式可得：從而可得答案．
【詳解】解：由題意得：
即：

故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是函數(shù)自變量的取值范圍，同時(shí)考查二次根式與分式有意義的條件，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
5.△ABC在下列條件下，不是直角三角形的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用勾股定理的逆定理判斷A、D選項(xiàng)，用直角三角形各角之間的關(guān)系判斷B、C選項(xiàng)．
【詳解】解：A、∵b2=a2-c2，∴b2+c2=a2，故本選項(xiàng)正確；
B、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴設(shè)∠A=3x，則∠B=4x，∠C=5x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，即3x+4x+5x=180°，解得，x=15°，
∴5x=5×15°=75°＜90°，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
C、∵∠A=∠B-∠C，∴∠B=∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2（∠A+∠C）=180°，即∠A+∠C=90°，故本選項(xiàng)正確；
D、∵a2：b2：c2=1：3：2，∴令a2=x，則b2=2x，c2=3x，
∵x+2x=3x，∴a2+c2=b2，故本選項(xiàng)正確；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理及直角三角形的性質(zhì)，若已知三角形的三邊判定其形狀時(shí)要根據(jù)勾股定理判斷；若已知三角形各角之間的關(guān)系，應(yīng)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出最大角的度數(shù)或求出兩較小角的和再進(jìn)行判斷．
6.下列事件中，是必然事件的是（）
A. 射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心
B. 一個(gè)游戲的中獎(jiǎng)概率是，則做10次這樣的游戲一定會(huì)中獎(jiǎng)
C. 雨后見彩虹
D. 任意畫一個(gè)三角形，其外角和是360°
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷．
【詳解】解：A、射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心是隨機(jī)事件，不符合題意；
B、一個(gè)游戲的中獎(jiǎng)概率是，則做10次這樣的游戲不一定會(huì)中獎(jiǎng)是隨機(jī)事件，不符合題意；
C、雨后見彩虹是隨機(jī)事件，不符合題意；
D、任意畫一個(gè)三角形，其外角和是360°是必然事件，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念，必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
7.空心六棱柱螺母按如圖所示位置擺放，則它的左視圖正確的圖形是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
左視圖是從物體左面看，所得到的圖形．
【詳解】從左面看，是一列兩個(gè)矩形，每個(gè)矩形的中間有一條橫向的虛線，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關(guān)鍵．注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在三視圖中．
8.如圖，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=32°，則∠BED的度數(shù)是（）
A. 32°B. 16°C. 49°D. 64°
【答案】D
【解析】
【分析】
利用平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題．
【詳解】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCE，
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABC=∠EBC，
∴∠BCE=∠EBC=32°，
∴∠BED=∠C+∠EBC=64°，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．
9.如圖，菱形ABCD的兩條對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AB的中點(diǎn)，若AC＝6，BD＝8，則OE長為（）
A. 3B. 5C. 2.5D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)菱形的性質(zhì)可得OB=OD，AO⊥BO，從而可判斷OE是△DAB的中位線，在Rt△AOB中求出AB，繼而可得出OE的長度．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，
∴AO=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，
又∵點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，
∴OE是△DAB的中位線，
在Rt△AOD中，AB==5，
則OE=AD=．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)及三角形的中位線定理，熟練掌握菱形四邊相等、對(duì)角線互相垂直且平分的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
10.能說明命題“若 a≥b，則 a＞0”是假命題的反例是（）
A. a＝﹣2，b＝﹣3B. a＝﹣2，b＝1C. a＝﹣2，c＝﹣1D. a＝2，b＝1。
【答案】A
【解析】
【分析】
寫出a、b的值滿足a≥b，不滿足a＞0即可．
【詳解】解：因?yàn)閍=-2，b=-3時(shí)，滿足a≥b，不滿足a＞0，
所以a=-2，b=-3可作為說明命題“若a≥b，則a＞0”是假命題的反例．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理：命題寫成“如果…，那么…”的形式，這時(shí)，“如果”后面接的部分是題設(shè)，“那么”后面解的部分是結(jié)論．命題的“真”“假”是就命題的內(nèi)容而言．任何一個(gè)命題非真即假．要說明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．
11.如圖：某飛機(jī)在空中A處探測(cè)到它的正下方地平面上目標(biāo)C，此時(shí)飛機(jī)飛行高度AC＝1200m，從飛機(jī)上看地平面指揮臺(tái)B的俯角＝，則飛機(jī)A與指揮臺(tái)B的距離為（）
A. 1200mB. 1200mC. 1200mD. 2400m
【答案】D
【解析】
【詳解】解：根據(jù)平行線的性質(zhì)可得：∠B=∠α=30°，
根據(jù)Rt△ABC的三角函數(shù)可得：sin∠B==，
則AB=2AC=2×1200=2400（m）．
故選：D．
考點(diǎn)：三角函數(shù)的應(yīng)用．
12.如圖，在中，為邊上一點(diǎn)．若為的中點(diǎn)，，，，則的長為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
取AP中點(diǎn)G，連接MG，設(shè)AG=x，則PG=x，BG=3-x，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到，由平行線的性質(zhì)得到；接下來再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，將相關(guān)數(shù)據(jù)代入得到方程，解方程得到AG的長，由AB=3可得結(jié)果．
【詳解】如圖所示，取AP中點(diǎn)G，連接MG，
設(shè)AG=x，則PG=x，BG=3-x，
∵為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∵AB=3，
∴，
∴．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)綜合，準(zhǔn)確做出輔助線，找到相似三角形是關(guān)鍵．
二、填空題（每小題3分，共18分）
13.若分式的值為零，則的值是____________．
【答案】1
【解析】
【分析】
當(dāng)分式的分母不為0，分子為0時(shí)，分式的值為0，由此進(jìn)一步對(duì)原式的分子分母加以分析即可.
【詳解】∵分式的值為零，
∴且，
即：且或，
∴的值是1，
故答案為：1.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式值為0的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.
14.不等式組的解集是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
分別求出原不等式組中各個(gè)不等式的解集，由此進(jìn)一步分析得出答案即可.
【詳解】由不等式可得：，
由不等式可得：，
∴原不等式組的解集為：，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解不等式組，熟練掌握相關(guān)方法是解題關(guān)鍵.
15.邊長為6的正六邊形的邊心距為_____．
【答案】
【解析】
試題分析：連接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
∵正六邊形ABCDEF，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF，
∴∠AOB=360°÷6=60°，OA=OB，
∴△AOB是等邊三角形，
∴OA=OB=AB=2，
∵OM⊥AB，
∴AM=BM=1，
在△OAM中，由勾股定理得：OM==
考點(diǎn):正多邊形和圓
16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為位似中心，相似比為，將放大為，已知，則點(diǎn)的坐標(biāo)為____________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為，當(dāng)位似圖形在位似中心同側(cè)時(shí)，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于，所以把點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)分別乘以即可得的坐標(biāo)．
【詳解】解：由題意得：
又與位似，且兩個(gè)圖形在位似中心的同側(cè)，

故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k．注意位似圖形與位似中心的位置對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的影響．
17.一個(gè)不透明的布袋里裝有個(gè)白球，個(gè)黑球，它們除顏色外其余都相同．從中任意摸出個(gè)球．不放回．再摸出個(gè)球，則兩次摸到的球都是白球的概率是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
畫出樹形圖，即可求出兩次摸到球都是白球的概率．
【詳解】解：畫樹狀圖如下，
所有等可能的情況有6種，其中兩次都是白球的有2種，
∴兩次都為白球的概率為：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
18.如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A（1，m），B（4，n）兩點(diǎn)．則不等式的解集為______．
【答案】，
【解析】
【分析】
將不等式變形為，根據(jù)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)和圖象，直觀得出一次函數(shù)值大于或等于反比例函數(shù)值時(shí)自變量的取值范圍，即為不等式的解集．
【詳解】解：由，則
實(shí)際上就是一次函數(shù)的值大于或等于反比例函數(shù)值時(shí)自變量x的取值范圍，
根據(jù)圖象可得，其解集有兩部分，即：，．
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想，通過圖象直接得出一次函數(shù)的值大于或等于反比例函數(shù)值時(shí)自變量x的取值范圍是解題關(guān)鍵．
三、解答題（共8個(gè)小題，共66分）
19.計(jì)算：．
【答案】
【解析】
【分析】
先用零次冪、負(fù)整數(shù)次冪、特殊角的三角函數(shù)值以及絕對(duì)值的知識(shí)對(duì)原式化簡(jiǎn)，然后計(jì)算即可．
詳解】解：
=
=．
【點(diǎn)睛】本題考查了零次冪、負(fù)整數(shù)次冪、特殊角的三角函數(shù)值以及絕對(duì)值的知識(shí)等知識(shí)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)是解答本題的關(guān)鍵．
20.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．
【答案】，．
【解析】
【分析】
先利用完全平方公式、平方差公式以及整式的運(yùn)算對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后代入求值即可．
【詳解】原式=
=
=，
當(dāng)，時(shí)，．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的化簡(jiǎn)求值，正確運(yùn)用整式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解答本題的關(guān)鍵．
21.某校組織全校學(xué)生進(jìn)行了一次“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”知識(shí)競(jìng)賽，賽后隨機(jī)抽取了各年級(jí)部分學(xué)生成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，制作如下頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖．請(qǐng)根據(jù)圖表中提供的信息，解答下列問題：
（1）請(qǐng)求出該校隨機(jī)抽取了____學(xué)生成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)；
（2）表中____，____，并補(bǔ)全直方圖；
（3）若用扇形統(tǒng)計(jì)圖描述此成績統(tǒng)計(jì)分布情況，則分?jǐn)?shù)段對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)是___；
（4）若該校共有學(xué)生8000人，請(qǐng)估計(jì)該校分?jǐn)?shù)在的學(xué)生有多少人？
【答案】（1）40名；（2）a=12、b=0.2；圖見解析；（3）；（4）3200人
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)50≤x＜60的頻數(shù)和頻率求出樣本總?cè)藬?shù)；
（2）先求出樣本總?cè)藬?shù)，即可得出a，b的值，補(bǔ)全直方圖即可；
（3）用頻率即可；
（4）全?？?cè)藬?shù)乘80分以上的學(xué)生頻率即可．
詳解】解：（1），
∴該校隨機(jī)抽取了40名學(xué)生成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．
（2），，
補(bǔ)全圖形如下：
故答案為12、；
（3）；
（4）因?yàn)樵诔槿〉臉颖局蟹謹(jǐn)?shù)在80≤x＜100的學(xué)生有16人，占40%，40%×8000=3200，所以，估計(jì)該校分?jǐn)?shù)在80≤x＜100的學(xué)生約有3200人．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了條形統(tǒng)計(jì)圖，用樣本估計(jì)總體，頻數(shù)率分布表，解題的關(guān)鍵是讀懂圖，找出對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，解決問題．
22.如圖，在四邊形中，，．
（1）求證：四邊形為平行四邊形；
（2）若，，求四邊形的面積．
【答案】（1）見解析；（2）120
【解析】
【分析】
（1）由可得兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，，再加上已知，可用AAS證明，所以，進(jìn)而可用“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”的判定定理即可證為平行四邊形；
（2）在中，可得,至此，用勾股定理的逆定理可判斷定△AOD為直角三角形，然后再利用平行四邊形面積公式進(jìn)行求解即可．
【詳解】證明：（1）∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵AB//CD，
∴四邊形為平行四邊形；
（2）∵ 四邊形ABCD為平行四邊形，
∴,
又∵AD=12，OD=OB=5，
∴OD 2 + AD 2 =52+122=169， OA 2 = 132=169，BD=10，
∴OD2+AD2=OA2，
∴∠ADB=90°，
∴S四邊形ABCD=AD?BD=12×10=120．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了用“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”來判定平行四邊形，勾股定理的逆定理，平行四邊形的面積計(jì)算．
23.A市準(zhǔn)備爭(zhēng)創(chuàng)全國衛(wèi)生城市．某小區(qū)積極響應(yīng)，決定在小區(qū)內(nèi)安裝垃圾分類的提示牌和垃圾箱，若購買2個(gè)提示牌和3個(gè)垃圾箱共需550元，且垃圾箱的單價(jià)是提示牌單價(jià)的3倍．
（1）求提示牌和垃圾箱的單價(jià)各是多少元?
（2）該小區(qū)至少需要安放48個(gè)垃圾箱，如果購買提示牌和垃圾箱共100個(gè)，且費(fèi)用不超過10000元，請(qǐng)你列舉出所有購買方案．
【答案】（1）50元，150元；（2）提示牌50個(gè)，垃圾箱50個(gè)；提示牌51個(gè)，垃圾箱49個(gè)；提示牌52個(gè)，垃圾箱48個(gè)；
【解析】
【分析】
1）根據(jù)“購買2個(gè)提示牌和3個(gè)垃圾箱共需550元”，建立方程求解即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)“費(fèi)用不超過10000元和至少需要安放48個(gè)垃圾箱”，建立不等式即可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）設(shè)提示牌的單價(jià)為元，則垃圾箱的單價(jià)為元，
根據(jù)題意得，，
，
，
即：提示牌和垃圾箱的單價(jià)各是50元和150元；
（2）設(shè)購買提示牌個(gè)為正整數(shù)），則垃圾箱為個(gè)，
根據(jù)題意得，，
，
為正整數(shù)，
為50，51，52，共3種方案；
即：溫馨提示牌50個(gè)，垃圾箱50個(gè)；溫馨提示牌51個(gè)，垃圾箱49個(gè)；溫馨提示牌52個(gè)，垃圾箱48個(gè)，
【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元一次不等式組，一元一次方程的應(yīng)用，正確找出相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
24.如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長線和的外接圓相交于點(diǎn)，交于．
（1）若，，求的度數(shù)；
（2）求證：；
（3）若，，，求的長．
【答案】（1）30°；（2）見解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）由三角形的內(nèi)心定義和同弧所對(duì)的圓周角相等即可解答；
（2）連接BE，根據(jù)三角形的內(nèi)心定義和同弧所對(duì)的圓周角相等證得∠DBE＝∠BED，從而依據(jù)等角對(duì)等邊即可證得；
（3）利用已知和角平分線的性質(zhì)得，進(jìn)而求得BF、CF的值，再證明△BDF∽△ACF和△DBF∽△DAB，利用相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于BD的方程，解之即可解答﹒
【詳解】（1）∵，，
∴∠BAC=180o-∠ABC-∠C=60o，
∵E是內(nèi)心，
∴∠BAD＝∠CAD=∠BAC=30o，
由同弧所對(duì)的圓周角相等得：
∠CBD=∠CAD=30o；
（2）證明：連接BE，
∵E是內(nèi)心，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD．
∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠CBD＝∠BAD，
∵∠BAD+∠ABE＝∠BED，∠CBE+∠CBD＝∠DBE，
∴∠DBE＝∠BED，
∴ DE＝DB；
（3）∵∠BAD＝∠CAD，AB=6，AC=4，BC=5
∴
∴ BF=3，CF=2
∵∠DBC＝∠DAC，∠BFD=∠AFC
∴ △BDF∽△ACF
∴，
∴，
∵∠BAD＝∠CAD=∠DBC，∠BDF=∠ADB
∴ △DBF∽△DAB
∴，
∴，
∴，又BD=DE，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)心定義、圓的外接圓、同弧所對(duì)的圓周角相等、相似三角形的判定與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是正確理解三角形的內(nèi)心定義，熟練掌握同弧所對(duì)的圓周角相等，進(jìn)而創(chuàng)造三角形相似的條件，進(jìn)行相關(guān)的證明或計(jì)算．
25.定義：若一次函數(shù)y=ax+b和反比例函數(shù)y=-滿足a+c=2b，則稱為y=ax2+bx+c為一次函數(shù)和反比例函數(shù)的“等差”函數(shù)．
（1）判斷y=x+b和y=-是否存在“等差”函數(shù)？若存在，寫出它們的“等差”函數(shù)；
（2）若y=5x+b和y=-存在“等差”函數(shù)，且“等差”函數(shù)的圖象與y=-的圖象的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（3）若一次函數(shù)y=ax+b和反比例函數(shù)y=-（其中a＞0，c＞0，a=b）存在“等差”函數(shù)，且y=ax+b與“等差”函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），試判斷“等差”函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)P（x，y）（其中x1＜x＜x2），使得△ABP的面積最大？若存在，用c表示△ABP的面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1) ;(2)，;(3)見解析.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)“等差”函數(shù)的定義，可知，，列方程求出b的值即可；
（2）根據(jù)“等差”函數(shù)的定義可得，，由此可列出“等差”函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)的解析式，當(dāng)時(shí)聯(lián)立兩函數(shù)解析式可求出，問題得解；
（3）根據(jù)“等差”函數(shù)的定義用c表示出a和b，然后得到“等差”函數(shù)的解析式與一次函數(shù)解析式，求出的值，過點(diǎn)P作軸,交AB于H，求出，然后根據(jù)三角形面積公式和二次函數(shù)的最值求解.
【詳解】解：(1)存在.
假設(shè)一次函數(shù)與反比例函數(shù)存在“等差”函數(shù),
則，，
解得:
存在“等差”函數(shù),其解析式為;
(2)根據(jù)題意知：,
則“等差”函數(shù)的解析式為,
反比例函數(shù)的解析式為
根據(jù)題意,將代入,
得:,解得,
故一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為;
(3)存在.
根據(jù)題意知：，
，
則“等差”函數(shù)的解析式為,一次函數(shù)解析式為
與“等差”函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，
即
如圖,過點(diǎn)P作軸,交AB于H,
點(diǎn)點(diǎn)在,之間
當(dāng)時(shí),S取得最大值,最大值為.
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解新定義，學(xué)會(huì)利用方程組解決兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題，屬于中考?jí)狠S題．
26.如圖，二次函數(shù)（、為參數(shù)，其中）的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．
（1）若，求的值（結(jié)果用含的式子表示）；
（2）若是等腰三角形，直線與軸交于點(diǎn)，且．求拋物線的解析式；
（3）如圖，已知，、分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，且，若以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，并交軸于、兩點(diǎn)，求的最大值．
【答案】（1）tan∠CBA=－2a；（2）；（3）MN的最大值=
【解析】
【分析】
（1）將代入函數(shù)解析式，求得B點(diǎn)坐標(biāo)，在直角三角形BOC中，利用正切定義直接求得；
（2）利用對(duì)稱軸可知D的橫坐標(biāo)，過D做DH⊥x軸，交x軸于點(diǎn)H，因?yàn)镺P∥DH，利用平行線分線段成比例，求得A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入解析式可得到，再對(duì)分情況討論即可；
（3）利用圓周角定理可知解得a，求得C點(diǎn)，同時(shí)由已知EF=3，可知取EF的中點(diǎn)Q，過Q做QH⊥X軸于點(diǎn)H，則Q在以C為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，在Rt△QHN中，，求HN的最大值等價(jià)求QH的最小值，求得QH推得HN，進(jìn)而得到MN.
【詳解】（1）∵
∴
∴A（-2，0），B（5，0），C（-10a，0）
∴tan∠CBA=
（2）由已知
過D做DH⊥X軸，交X軸于點(diǎn)H
∵OP∥DH，AP：DP=2：3，
∴
∴OA=1，A（－1，0），B（4，0）
∴
∴
（3）∵A（－1，0），B（4，0）且以EF為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C
∴，解得
∴C（0.2）
∵
取EF的中點(diǎn)Q，過Q做QH⊥x軸于點(diǎn)H，則Q在以C為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)
∵M(jìn)N=2HN
在Rt△QHN中，，求HN的最大值等價(jià)求QH的最小值
∵QH的最小值=
∴HN的最大值=
∴MN的最大值=
【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，二次函數(shù)性質(zhì)，三角函數(shù)，等腰三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合程度較高，第二問的解題關(guān)鍵在于能夠?qū)Φ妊切芜M(jìn)行分類討論.
分?jǐn)?shù)段（表示分?jǐn)?shù)）
頻數(shù)
頻率
4
0.1
8
0.3
10
0.25
6
0.15

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