數(shù)學(xué)必修42.3 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示教學(xué)設(shè)計-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

2.3.3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 2.3.4 平面向量共線的坐標(biāo)表示整體設(shè)計教學(xué)分析 1.前面學(xué)習(xí)了平面向量的坐標(biāo)表示,實(shí)際是平面向量的代數(shù)表示.在引入了平面向量的坐標(biāo)表示后可使向量完全代數(shù)化,將數(shù)與形緊密結(jié)合起來,這就可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的數(shù)量運(yùn)算. 2.本小節(jié)主要是運(yùn)用向量線性運(yùn)算的交換律、結(jié)合律、分配律,推導(dǎo)兩個向量的和的坐標(biāo)、差的坐標(biāo)以及數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算.推導(dǎo)的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用向量線性運(yùn)算的交換律、結(jié)合律和分配律. 3.引進(jìn)向量的坐標(biāo)表示后,向量的線性運(yùn)算可以通過坐標(biāo)運(yùn)算來實(shí)現(xiàn),一個自然的想法是向量的某些關(guān)系,特別是向量的平行、垂直,是否也能通過坐標(biāo)來研究呢?前面已經(jīng)找出兩個向量共線的條件(如果存在實(shí)數(shù)λ,使得a=λb,那么a與b共線),本節(jié)則進(jìn)一步地把向量共線的條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示.這種轉(zhuǎn)化是比較容易的,只要將向量用坐標(biāo)表示出來,再運(yùn)用向量相等的條件就可以得出平面向量共線的坐標(biāo)表示.要注意的是,向量的共線與向量的平行是一致的. 三維目標(biāo) 1.通過經(jīng)歷探究活動,使學(xué)生掌握平面向量的和、差、實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)表示方法.理解并掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量共線的坐標(biāo)表示. 2.引入平面向量的坐標(biāo)可使向量運(yùn)算完全代數(shù)化,平面向量的坐標(biāo)成了數(shù)與形結(jié)合的載體. 3.在解決問題過程中要形成見數(shù)思形、以形助數(shù)的思維習(xí)慣,以加深理解知識要點(diǎn),增強(qiáng)應(yīng)用意識. 重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn):平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算. 教學(xué)難點(diǎn):對平面向量共線的坐標(biāo)表示的理解. 課時安排 1課時教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.向量具有代數(shù)特征,與平面直角坐標(biāo)系緊密相聯(lián).那么我們在學(xué)習(xí)直線和圓的方程以及點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系時,直線與直線的平行是一種重要的關(guān)系.關(guān)于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同時為零)何時所體現(xiàn)的兩條直線平行？向量的共線用代數(shù)運(yùn)算如何體現(xiàn)？思路2.對于平面內(nèi)的任意向量a,過定點(diǎn)O作向量=a,則點(diǎn)A的位置被向量a的大小和方向所唯一確定.如果以定點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,那么點(diǎn)A的位置可通過其坐標(biāo)來反映,從而向量a也可以用坐標(biāo)來表示,這樣我就可以通過坐標(biāo)來研究向量問題了.事實(shí)上,向量的坐標(biāo)表示,實(shí)際是向量的代數(shù)表示.引入向量的坐標(biāo)表示可使向量運(yùn)算完全代數(shù)化,將數(shù)與形緊密結(jié)合起來,這就可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的數(shù)量運(yùn)算.引進(jìn)向量的坐標(biāo)表示后,向量的線性運(yùn)算可以通過坐標(biāo)運(yùn)算來實(shí)現(xiàn),那么向量的平行、垂直,是否也能通過坐標(biāo)來研究呢？推進(jìn)新課新知探究提出問題 ①我們研究了平面向量的坐標(biāo)表示,現(xiàn)在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐標(biāo)表示嗎? ②如圖1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎樣表示的坐標(biāo)？你能在圖中標(biāo)出坐標(biāo)為(x2-x1,y2-y1)的P點(diǎn)嗎?標(biāo)出點(diǎn)P后,你能總結(jié)出什么結(jié)論? 活動:教師讓學(xué)生通過向量的坐標(biāo)表示來進(jìn)行兩個向量的加、減運(yùn)算,教師可以讓學(xué)生到黑板去板書步驟.可得: 圖1 a+b=(x1ｉ+y1j)+(x2ｉ+y2j)=(x1+x2)ｉ+(y1+y2)j, 即a+b=(x1+x2,y1+y2). 同理a-b=(x1-x2,y1-y2). 又λa=λ(x1ｉ+y1j)=λx1ｉ+λy1j.∴λa=(λx1,λy1). 教師和學(xué)生一起總結(jié),把上述結(jié)論用文字?jǐn)⑹龇謩e為: 兩個向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差);實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).教師再引導(dǎo)學(xué)生找出點(diǎn)與向量的關(guān)系:將向量平移,使得點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合,則平移后的B點(diǎn)位置就是P點(diǎn).向量的坐標(biāo)與以原點(diǎn)為始點(diǎn),點(diǎn)P為終點(diǎn)的向量坐標(biāo)是相同的,這樣就建立了向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的聯(lián)系. 學(xué)生通過平移也可以發(fā)現(xiàn):向量的模與向量的模是相等的. 由此,我們可以得出平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式: ||=||=. 教師對總結(jié)完全的同學(xué)進(jìn)行表揚(yáng),并鼓勵學(xué)生,只要善于開動腦筋,勇于創(chuàng)新,展開思維的翅膀,就一定能獲得意想不到的收獲. 討論結(jié)果:①能. ②=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1). 結(jié)論:一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo). 提出問題 ①如何用坐標(biāo)表示兩個共線向量? ②若a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么是向量a、b共線的什么條件? 活動:教師引導(dǎo)學(xué)生類比直線平行的特點(diǎn)來推導(dǎo)向量共線時的關(guān)系.此處教師要對探究困難的學(xué)生給以必要的點(diǎn)撥:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.我們知道,a、b共線,當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb.如果用坐標(biāo)表示,可寫為(x1,y1)=λ(x2,y2), 即消去λ后得x1y2-x2y1=0. 這就是說,當(dāng)且僅當(dāng)x1y2-x2y1=0時向量a、b(b≠0)共線. 又我們知道x1y2-x2y1=0與x1y2=x2y1是等價的,但這與是不等價的.因?yàn)楫?dāng)x1=x2=0時,x1y2-x2y1=0成立,但均無意義.因此是向量a、b共線的充分不必要條件.由此也看出向量的應(yīng)用更具一般性,更簡捷、實(shí)用,讓學(xué)生仔細(xì)體會這點(diǎn). 討論結(jié)果:①x1y2-x2y1=0時,向量a、b(b≠0)共線. ②充分不必要條件. 提出問題 a與非零向量b為共線向量的充要條件是有且只有一個實(shí)數(shù)λ使得a=λb, 那么這個充要條件如何用坐標(biāo)來表示呢？活動:教師引導(dǎo)推證:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠a, 由a=λb,(x1,y1)=λ(x2,y2)消去λ,得x1y2-x2y1=0. 討論結(jié)果:a∥b(b≠0)的充要條件是x1y2-x2y1=0. 教師應(yīng)向?qū)W生特別提醒感悟: 1°消去λ時不能兩式相除,∵y1、y2有可能為0,而b≠0,∴x2、y2中至少有一個不為0. 2°充要條件不能寫成(∵x1、x2有可能為0). 3°從而向量共線的充要條件有兩種形式:a∥b(b≠0) 應(yīng)用示例思路1 例1 已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b,a-b,3a+4b的坐標(biāo). 活動:本例是向量代數(shù)運(yùn)算的簡單應(yīng)用,讓學(xué)生根據(jù)向量的線性運(yùn)算進(jìn)行向量的和、差及數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算,再根據(jù)向量的線性運(yùn)算律和向量的坐標(biāo)概念得出的結(jié)論.若已知表示向量的有向線段的始點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo),那么終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)就是此向量的坐標(biāo),從而使得向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)可以相互轉(zhuǎn)化.可由學(xué)生自己完成. 解:a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5); a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3); 3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19). 點(diǎn)評:本例是平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的常規(guī)題,目的是熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式. 變式訓(xùn)練 1.(2007海南高考,4) 已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),則向量ab等于( ) A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0) D.(-1,2) 答案:D 2.(2007全國高考,3) 已知向量a=(-5,6),b=(6,5),則a與b…( ) A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向答案:A 圖2 例2 如圖2,已知ABCD的三個頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),試求頂點(diǎn)D的坐標(biāo). 活動:本例的目的仍然是讓學(xué)生熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.這里給出了兩種解法:解法一利用“兩個向量相等,則它們的坐標(biāo)相等”,解題過程中應(yīng)用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四邊形法則求得向量的坐標(biāo),進(jìn)而得到點(diǎn)D的坐標(biāo).解題過程中,關(guān)鍵是充分利用圖形中各線段的位置關(guān)系(主要是平行關(guān)系),數(shù)形結(jié)合地思考,將頂點(diǎn)D的坐標(biāo)表示為已知點(diǎn)的坐標(biāo). 解:方法一:如圖2,設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y). ∵=(-1-(-2),3-1)=(1,2),=(3-x,4-y).由=,得(1,2)=(3-x,4-y).∴ ∴ ∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2). 方法二:如圖2,由向量加法的平行四邊形法則,可知 =(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1), 而=+=(-1,3)+(3,-1)=(2,2), ∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2). 點(diǎn)評:本例的目的仍然是讓學(xué)生熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算. 變式訓(xùn)練圖3 如圖3,已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求點(diǎn)D的坐標(biāo)使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形四個頂點(diǎn). 解:當(dāng)平行四邊形為ABCD時,仿例二得:D1=(2,2); 當(dāng)平行四邊形為ACDB時,仿例二得:D2=(4,6); 當(dāng)平行四邊形為DACB時,仿上得:D3=(-6,0). 例3 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),試判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系. 活動:教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量的共線來判斷.首先要探究三個點(diǎn)組合成兩個向量,然后根據(jù)兩個向量共線的充要條件來判斷這兩個向量是否共線從而來判斷這三點(diǎn)是否共線.教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解并熟練地運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)形式來判斷向量之間的關(guān)系.讓學(xué)生通過觀察圖象領(lǐng)悟先猜后證的思維方式. 解:在平面直角坐標(biāo)系中作出A、B、C三點(diǎn),觀察圖形,我們猜想A、B、C三點(diǎn)共線.下面給出證明. ∵=(1-(-1),3-(-1))=(2,4), =(2-(-1),5-(-1))=(3,6), 又2×6-3×4=0,∴∥,且直線AB、直線AC有公共點(diǎn)A, ∴A、B、C三點(diǎn)共線. 點(diǎn)評:本例的解答給出了判斷三點(diǎn)共線的一種常用方法,其實(shí)質(zhì)是從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個向量共線,則這兩個向量的三個頂點(diǎn)共線.這是從平面幾何中判斷三點(diǎn)共線的方法移植過來的. 變式訓(xùn)練已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,求y. 解:∵a∥b,∴4y-2×6=0. ∴y=3. 思路2 例2 設(shè)點(diǎn)P是線段P1P2上的一點(diǎn),P1、P2的坐標(biāo)分別是(x1,y1)、(x2,y2). (1)當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的中點(diǎn)時,求點(diǎn)P的坐標(biāo); (2)當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個三等分點(diǎn)時,求點(diǎn)P的坐標(biāo). 活動:教師充分讓學(xué)生思考,并提出這一結(jié)論可以推廣嗎?即當(dāng)=λ時,點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么?師生共同討論,一起探究,可按照求中點(diǎn)坐標(biāo)的解題思路類比推廣,有學(xué)生可能提出如下推理方法: 由=λ,知(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y), 即這就是線段的定比分點(diǎn)公式,教師要給予充分肯定,鼓勵學(xué)生的這種積極探索,這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要品質(zhì).時間允許的話,可以探索λ的取值符號對P點(diǎn)位置的影響,也可鼓勵學(xué)生課后探索. 圖4 解:(1)如圖4,由向量的線性運(yùn)算可知 = (1+2)=(). 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是() (2)如圖5,當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個三等分點(diǎn)時,有兩種情況,即=或=2. 如果=,那么圖5 =+=+ =+(-) =+ =(). 即點(diǎn)P的坐標(biāo)是(). 同理,如果=2,那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是點(diǎn)評:本例實(shí)際上給出了線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式和線段的三等分點(diǎn)坐標(biāo)公式. 變式訓(xùn)練在△ABC中,已知點(diǎn)A(3,7)、B(-2,5).若線段AC、BC的中點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上,求點(diǎn)C的坐標(biāo). 解:(1)若AC的中點(diǎn)在y軸上,則BC的中點(diǎn)在x軸上, 設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得 ∴x=-3,y=-5, 即C點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,-5). (2)若AC的中點(diǎn)在x軸上,則BC的中點(diǎn)在y軸上,則同理可得C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-7). 綜合(1)(2),知C點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,-5)或(2,-7). 例2 已知點(diǎn)A(1,2),B(4,5),O為坐標(biāo)原點(diǎn),=+t.若點(diǎn)P在第二象限,求實(shí)數(shù)t的取值范圍. 活動:教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量的相等,把已知條件轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的方程(組)或不等式(組)再進(jìn)行求解.教師以提問的方式來了解學(xué)生組織步驟的能力,或者讓學(xué)生到黑板上去板書解題過程,并對思路清晰過程正確的同學(xué)進(jìn)行表揚(yáng),同時也要對組織步驟不完全的同學(xué)給與提示和鼓勵.教師要讓學(xué)生明白“化歸”思想的利用.不等式求變量取值范圍的基本觀點(diǎn)是,將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量的不等式(組),那么變量的取值范圍就是這個不等式(組)的解集. 解:由已知=(4,5)-(1,2)=(3,3).∴=(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2). 若點(diǎn)P在第二象限,則故t的取值范圍是(,). 點(diǎn)評:此題通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算,將點(diǎn)P的坐標(biāo)用t表示,由點(diǎn)P在第二象限可得到一個關(guān)于t的不等式組,這個不等式組的解集就是t的取值范圍. 變式訓(xùn)練已知=(cosθ,sinθ),=(1+sinθ,1+cosθ),其中0≤θ≤π,求||的取值范圍. 解:∵=-=(1+sinθ,1+cosθ)-(cosθ,sinθ) =(1+sinθ-cosθ,1+cosθ-sinθ). ∴||2=(1+sinθ-cosθ)2+(1+cosθ-sinθ)2 =［1+(sinθ-cosθ)］2+［1-(sinθ-cosθ)］2 =2+2(sinθ-cosθ)2 =2+2(1-2sinθcosθ) =4-4sinθcosθ=4-2sin2θ. ∵0≤θ≤π,∴0≤2θ≤2π. 從而-1≤sin2θ≤1. ∴4-2sin2θ∈［2,6］.故||的取值范圍是［,］. 知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí). 解答: 1.(1)a+b=(3,6),a-b=(-7,2);(2)a+b=(1,11),a-b=(7,-5); (3)a+b=(0,0),a-b=(4,6);(4)a+b=(3,4),a-b=(3,-4). 2.-2a+4b=(-6,-8),4a+3b=(12,5). 3.(1)=(3,4),=(-3,-4);(2)=(9,-1),=(-9,1); (3)=(0,2),=(0,-2);(4)=(5,0),=(-5,0). 4.∥. 證明:=(1,-1),=(1,-1),所以=.所以AB∥CD. 點(diǎn)評:本題有兩個要求:一是判斷,二是證明.通過作圖發(fā)現(xiàn)規(guī)律,提出猜想,然后再證明結(jié)論是一個讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程. 5.(1)(3,2);(2)(1,4);(3)(4,-5). 6.(,1)或(,-1). 7.解:設(shè)P(x,y),由點(diǎn)P在線段AB的延長線上,且||=||,得 (x-2,y-3)=(x-4,y+3), 即解之,得所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(8,-15). 點(diǎn)評:本題希望通過向量方法求解,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用向量的意識. 課堂小結(jié) 1.先由學(xué)生回顧本節(jié)都學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)知識:平面向量的和、差、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算,兩個向量共線的坐標(biāo)表示. 2.教師與學(xué)生一起總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法,定義法、歸納、整理、概括的思想,強(qiáng)調(diào)在今后的學(xué)習(xí)中,要善于培養(yǎng)自己不斷探索、善于發(fā)現(xiàn)、勇于創(chuàng)新的科學(xué)態(tài)度和求實(shí)開拓的精神,為將來的發(fā)展打下良好基礎(chǔ). 作業(yè) 課本習(xí)題2.3 A組5、6. 設(shè)計感想 1.本節(jié)課中向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算實(shí)際上是向量的代數(shù)運(yùn)算.這對學(xué)生來說學(xué)習(xí)并不困難,可大膽讓學(xué)生自己探究.本教案設(shè)計流程符合新課改精神.教師在引導(dǎo)學(xué)生探究時,始終抓住向量具有幾何與代數(shù)的雙重屬性這一特征和向量具有數(shù)與形緊密結(jié)合的特點(diǎn).讓學(xué)生在了解向量知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上,進(jìn)一步熟悉向量的坐標(biāo)表示以及運(yùn)算法則、運(yùn)算律,能熟練向量代數(shù)化的重要作用和實(shí)際生活中的應(yīng)用,并加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識,提高分析問題、解決問題的能力. 2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算包括向量的代數(shù)運(yùn)算與幾何運(yùn)算.相比較而言,學(xué)生對向量的代數(shù)運(yùn)算要容易接受一些,但對向量的幾何運(yùn)算往往感到比較困難,無從下手.向量的幾何運(yùn)算主要包括向量加減法的幾何運(yùn)算,向量平行與垂直的充要條件及定比分點(diǎn)的向量式等. 3.通過平面向量坐標(biāo)的加、減代數(shù)運(yùn)算,結(jié)合圖形,不但可以建立向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的聯(lián)系,而且教師可在這兩題的基礎(chǔ)上稍作推廣,就可通過求向量的模而得到直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩點(diǎn)間的距離公式甚至可以推出中點(diǎn)坐標(biāo)公式.它們在處理平面幾何的有關(guān)問題時,往往有其獨(dú)到之處,教師可讓學(xué)有余力的學(xué)生課下繼續(xù)探討,以提高學(xué)生的思維發(fā)散能力.

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