新課標(biāo)高二數(shù)學(xué)同步測(cè)試—（2－1第三章3.1） 說明：本試卷分第一卷和第二卷兩部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答題時(shí)間120分鐘．一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi)（每小題5分，共50分）．1．在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若=，=，=.則下列向量中與相等的向量是（    ） A．  B． C．  D．2．在下列條件中，使M與A、B、C一定共面的是  （    ） A．     B．  C．    D．3．已知平行六面體中，AB=4，AD=3，，，，則等于   （    ） A．85     B．     C．   D．504．與向量平行的一個(gè)向量的坐標(biāo)是  （    ） A．（，1，1）     B．（－1，－3，2）    C．（－，，－1）    D．（，－3，－2）5．已知A（－1，－2，6），B（1，2，－6）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則向量的夾角是（    ） A．0      B．        C．       D．6．已知空間四邊形ABCD中，，點(diǎn)M在OA上，且OM=2MA，N為BC中點(diǎn)，則=   （    ） A．     B．  C．               D． 7．設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足，則?BCD是    （    ） A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．不確定8．空間四邊形OABC中，OB=OC，?AOB=?AOC=600，則cos= （ ） A． B． C．? D．09．已知A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），則ABC的面積為 （    ） A． B． C． D．10． 已知，則的最小值為  （    ） A． B． C． D．二、填空題：請(qǐng)把答案填在題中橫線上（每小題6分，共24分）．11．若，，則為鄰邊的平行四邊形的面積為               ．12．已知空間四邊形OABC，其對(duì)角線為OB、AC，M、N分別是對(duì)邊OA、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且，現(xiàn)用基組表示向量，有=x，則x、y、z的值分別為                    ．13．已知點(diǎn)A(1，?2，11)、B(4，2，3)，C(6，?1，4)，則?ABC的形狀是               ．14．已知向量，，若成1200的角，則k=        ．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟(共76分)．15．（12分）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為a，M為的中點(diǎn)，點(diǎn)N在'上，且，試求MN的長(zhǎng)．   16．（12分）如圖在空間直角坐標(biāo)系中BC=2，原點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（，0），點(diǎn)D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°.（1）求向量的坐標(biāo)；（2）設(shè)向量和的夾角為θ，求cosθ的值     17．（12分）若四面體對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)間的距離都相等，證明這個(gè)四面體的對(duì)棱兩兩垂直．   18．（12分）四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是一個(gè)平行四邊形， ={2，－1，－4}，={4，2，0}，={－1，2，－1}.（1）求證：PA⊥底面ABCD；（2）求四棱錐P—ABCD的體積；（3）對(duì)于向量={x1，y1，z1}，={x2，y2，z2}，={x3，y3，z3}，定義一種運(yùn)算：（×）·=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2－x1y3z2－x2y1z3－x3y2z1，試計(jì)算（×）·的絕對(duì)值的值；說明其與四棱錐P—ABCD體積的關(guān)系，并由此猜想向量這一運(yùn)算（×）·的絕對(duì)值的幾何意義.．      19．（14分）如圖所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn).（1）求的長(zhǎng)；（2）求cos< >的值；（3）求證：A1B⊥C1M.     20．（14分）如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.（1）證明：C1C⊥BD；（2）假定CD=2，CC1=，記面C1BD為α，面CBD為β，求二面角α—BD—β的平面角的余弦值；（3）當(dāng)的值為多少時(shí)，能使A1C⊥平面C1BD？請(qǐng)給出證明.     參考答案一、1．A；解析：=+（－）=－++．評(píng)述：用向量的方法處理立體幾何問題，使復(fù)雜的線面空間關(guān)系代數(shù)化，本題考查的是基本的向量相等，與向量的加法.考查學(xué)生的空間想象能力.2．A；解析：空間的四點(diǎn)P、A、B、C共面只需滿足且既可．只有選項(xiàng)A．3．B；解析：只需將，運(yùn)用向量的內(nèi)即運(yùn)算即可，．4．C；解析：向量的共線和平行使一樣的，可利用空間向量共線定理寫成數(shù)乘的形式．即．5．C；解析：，計(jì)算結(jié)果為－1．6．B；解析：顯然．7．B；解析：過點(diǎn)A的棱兩兩垂直，通過設(shè)棱長(zhǎng)應(yīng)用余弦定理可得三角形為銳角三角形．8．D；解析：建立一組基向量，再來處理的值．9．D；解析：應(yīng)用向量的運(yùn)算，顯然，從而得．10．C；二、11．；解析：，得，可得結(jié)果．12． ；解析：13．直角三角形；解析：利用兩點(diǎn)間距離公式得：．14．；解析：，得．三、15．解：以D為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為a，所以B（a，a，0），A'（a，0，a），（0，a，a），（0，0，a）．  由于M為的中點(diǎn)，取中點(diǎn)O'，所以M（，，），O'（，，a）．因?yàn)?/span>，所以N為的四等分，從而N為的中點(diǎn)，故N（，，a）．根據(jù)空間兩點(diǎn)距離公式，可得．16．解：（1）過D作DE⊥BC，垂足為E，在Rt△BDC中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°，BC=2，得BD=1，CD=，∴DE=CD·sin30°=.OE=OB－BE=OB－BD·cos60°=1－.∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，－），即向量OD[TX→]的坐標(biāo)為{0，－}.（2）依題意：，所以.設(shè)向量和的夾角為θ，則cosθ=.17． 證：如圖設(shè)，則分別為，，，，，，由條件EH=GH=MN得：展開得∴，∵≠，≠，∴⊥（）即SA⊥BC．同理可證SB⊥AC， SC⊥AB．18． （1）證明：∵=－2－2+4=0，∴AP⊥AB.又∵=－4+4+0=0，∴AP⊥AD.∵AB、AD是底面ABCD上的兩條相交直線，∴AP⊥底面ABCD.（2）解：設(shè)與的夾角為θ，則cosθ=V=||·||·sinθ·||=（3）解：|（×）·|=|－4－32－4－8|=48它是四棱錐P—ABCD體積的3倍.猜測(cè)：|（×）·|在幾何上可表示以AB、AD、AP為棱的平行六面體的體積（或以AB、AD、AP為棱的直四棱柱的體積）.評(píng)述：本題考查了空間向量的坐標(biāo)表示、空間向量的數(shù)量積、空間向量垂直的充要條件、空間向量的夾角公式和直線與平面垂直的判定定理、棱錐的體積公式等.主要考查考生的運(yùn)算能力，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力及空間想象能力.19．如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz.（1）依題意得B（0，1，0）、N（1，0，1）∴| |=.（2）依題意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B1（0，1，2）∴={－1，－1，2}，={0，1，2，}，·=3，||=，||=∴cos<，>=.（3）證明：依題意，得C1（0，0，2）、M（，2），={－1，1，2}，={，0}.∴·=－+0=0，∴⊥，∴A1B⊥C1M.評(píng)述：本題主要考查空間向量的概念及運(yùn)算的基本知識(shí).考查空間兩向量垂直的充要條件.20．（1）證明：設(shè)=，=，=，則| |=||，∵=－，∴·=（－）·=·－·=||·||cos60°－||·||cos60°=0，∴C1C⊥BD.（2）解：連AC、BD，設(shè)AC∩BD=O，連OC1，則∠C1OC為二面角α—BD—β的平面角.∵（+），（+）－∴·（+）·［（+）－］=（2+2·+2）－·－·=（4+2·2·2cos60°+4）－·2·cos60°－·2·cos60°=.則||=，||=，∴cosC1OC=（3）解：設(shè)=x，CD=2， 則CC1=.∵BD⊥平面AA1C1C，∴BD⊥A1C∴只須求滿足：=0即可.設(shè)=，=，=，∵=++，=－，∴=（++）（－）=2+·－·－2=－6，令6－=0，得x=1或x=－（舍去）.評(píng)述：本題蘊(yùn)涵著轉(zhuǎn)化思想，即用向量這個(gè)工具來研究空間垂直關(guān)系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等問題.  

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高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A選修2-1電子課本

3.1 空間向量及其運(yùn)算

版本： 人教版新課標(biāo)A

年級(jí)： 選修2-1

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