第3課時(shí)　余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例知識(shí)點(diǎn)　　　　實(shí)際問題中的相關(guān)概念1．基線在測量過程中，我們把根據(jù)測量的需要而確定的線段叫做基線．一般來說，基線越長，測量的精確度越高．2．仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，把視線在水平線上方的角稱為仰角，視線在水平線下方的角稱為俯角．如圖(1)．3．方向角從指定方向到目標(biāo)方向線所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向?yàn)槭歼?，順時(shí)針方向向西旋轉(zhuǎn)60°.如圖(2)．4．方位角指從正北方向按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角．如方位角是45°，指北偏東45°，即東北方向．5．視角觀察物體的兩端，視線張開的夾角，如圖(3)．1．解三角形應(yīng)用題的步驟(1)讀懂題意，理解問題的實(shí)際背景，明確已知和所求，理清量與量之間的關(guān)系．(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問題抽象成解三角形的模型．(3)選擇正弦定理或余弦定理求解．(4)將三角形的解還原為實(shí)際問題的解，注意實(shí)際問題中的單位、近似計(jì)算要求．2．解三角形在實(shí)際測量中的常見問題(1)距離問題(2)高度問題(3)角度問題測量角度就是在三角形內(nèi)利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根據(jù)需要得出所求的角．3．解決問題的策略(1)測量高度問題策略“空間”向“平面”的轉(zhuǎn)化：測量高度問題往往是空間中的問題，因此先要選好所求線段所在的平面．將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，利用“解直角三角形”與“解斜三角形”結(jié)合，全面分析所有三角形，仔細(xì)規(guī)劃解題思想．(2)測量角度問題策略測量角度問題主要指在海上或空中測量角度的問題，如確定目標(biāo)的方位，觀察某一建筑物的視角等，解決它們的關(guān)鍵是根據(jù)題意和圖形的有關(guān)概念，確定所求的角在哪個(gè)三角形中，該三角形中已知哪些量，需求哪些量，從實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過解這些三角形，得到所求量．(3)測量距離問題策略選擇合適的輔助測量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為求某個(gè)三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解．  1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)仰角與俯角都是與鉛垂線所成的角．(　　)(2)方位角的范圍是(0，π)．(　　)(3)兩個(gè)不能到達(dá)的點(diǎn)之間無法求兩點(diǎn)間的距離．(　　) 2．做一做(1)如圖所示，OA，OB的方向角分別是________．(2)A，B兩點(diǎn)間有一小山，選定能直接到達(dá)點(diǎn)A，B的點(diǎn)C，測得AC＝60 m，BC＝160 m，∠ACB＝60°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為________．(3)身高為1.70米的李明站在離旗桿20米的地方，目測該旗桿的高度，若李明此時(shí)的仰角為30°，則該旗桿的高度約為________米(精確到0.1)．(4)如圖所示，A，B兩點(diǎn)在一條河的兩岸，測量者在A的同側(cè)，且B點(diǎn)不可到達(dá)，測量者在A點(diǎn)所在的岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為________．題型一  兩點(diǎn)間有一點(diǎn)不可到達(dá)的距離問題例1　(1)如圖，A，B兩點(diǎn)之間隔著一座小山，現(xiàn)要測量A，B兩點(diǎn)間的距離，選擇在同一水平面上且均能直線到達(dá)的C點(diǎn)，經(jīng)測量AC＝50 m，BC＝40 m，B在C北偏東45°方向上，A在C西偏北15°方向上，求AB的長；   (2)如圖，某河岸的兩岸可視為平行，為了測量該河段的寬度，在河段的一岸邊選取兩點(diǎn)A，B，觀察對岸的點(diǎn)C，測得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝100米．求該河段的寬度．      [條件探究]　把本例(1)中“經(jīng)測量AC＝50 m，BC＝40 m”改為“經(jīng)測量∠CAB＝30°，BC＝40 m”，又如何求A，B之間的距離？         　三角形中與距離有關(guān)問題的求解策略(1)解決三角形中與距離有關(guān)的問題，若在一個(gè)三角形中，則直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的線段在多個(gè)三角形中，要根據(jù)條件選擇適當(dāng)?shù)娜切?，再利用正、余弦定理求解?/span>(2)解決三角形中與距離有關(guān)的問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求三角形中的邊，分析所解三角形中已知哪些元素，還需要求出哪些元素，靈活應(yīng)用正、余弦定理來解決．      如圖所示，海中小島A周圍38海里內(nèi)有暗礁，一船正向南航行，在B處測得小島A在船的南偏東30°，航行30海里后，在C處測得小島在船的南偏東45°，如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，有無觸礁的危險(xiǎn)？       題型二   兩點(diǎn)都不能到達(dá)的兩點(diǎn)間距離問題例2　如圖所示，隔河看兩目標(biāo)A，B，但不能到達(dá)，在岸邊選取相距千米的C，D兩點(diǎn)，并測得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)A，B之間的距離．          　求距離問題的注意事項(xiàng)(1)選定或確定所求量所在的三角形．若其他量已知，則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理．如圖，為了測量兩座山峰上P，Q兩點(diǎn)之間的距離，選擇山坡上一段長度為300 m且和P，Q兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)的路段AB的兩個(gè)端點(diǎn)作為觀測點(diǎn)，現(xiàn)測得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，則P，Q兩點(diǎn)間的距離為________ m. 題型三  測量高度問題例3　如圖所示，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點(diǎn)A的俯角為α，在塔底C處測得A處的俯角為β.已知鐵塔BC部分的高為h，求山高CD．            (1)解決實(shí)際問題時(shí)，通常是從實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，先解夠條件的三角形，再利用所得結(jié)果解其他三角形．(2)測量高度的方法對于底部不可到達(dá)的建筑物的高度測量問題，由于不能直接通過解直角三角形解決，可通過構(gòu)造含建筑物高度的三角形用正、余弦定理解決．如圖，測量河對岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測點(diǎn)C與D．現(xiàn)測得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為θ，求塔高AB．      題型四   測量角度問題例4　如圖所示，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處(－1)海里的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的我方緝私船，奉命以10海里/小時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以10海里/小時(shí)的速度，從B處向北偏東30°方向逃竄．問：緝私船應(yīng)沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時(shí)間．    　測量角度問題的基本思路測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實(shí)際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解．某貨船在索馬里海域航行中遭海盜襲擊，發(fā)出求救信號(hào)，如圖，我海軍護(hù)航艦在A處獲悉后，立即測出該貨船在方位角為45°，距離為10海里的C處，并測得貨船正沿方位角為105°的方向，以10海里/小時(shí)的速度向前行駛，我海軍護(hù)航艦立即以10海里/小時(shí)的速度前去營救，求護(hù)航艦的航向和靠近貨船所需的時(shí)間．       1．在200 m高的山頂上，測得山下一塔的塔頂A與塔底B的俯角分別是30°，60°，則塔高AB＝(　　)A．200 m        B． m       C． m        D．100 m2．某次測量中，A在B的北偏東55°方向上，則B在A的(　　)A．北偏西35°方向上   B．北偏東55°方向上C．南偏西35°方向上   D．南偏西55°方向上3．一船向正北航行，看見正西方向有相距10 n mile的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏西60°方向上，另一燈塔在船的南偏西75°方向上，則這艘船的速度是每小時(shí)(　　)A．5 n mile     B．5 n mile    C．10 n mile     D．10 n mile   4．如圖所示，為了測量河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A，B，望對岸的標(biāo)記物點(diǎn)C，測得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，則河的寬度CD為________．5．某海輪以30海里/小時(shí)的速度航行，在A點(diǎn)測得海面上油井P在南偏東60°，向北航行40分鐘后到達(dá)B點(diǎn)，測得油井P在南偏東30°，海輪改為北偏東60°的航向再行駛80分鐘到達(dá)C點(diǎn)，求P，C間的距離．  

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