?2021-2022學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽市八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
一、填空題（本大題共12小題，共24分）
1．（2分）若△ABC≌△DEF，∠A＝100°，∠E＝60°，則∠F＝　 ?。?br /> 2．（2分）等邊三角形的每個內(nèi)角都等于　 　度．
3．（2分）如圖，點B、E、C、F在同一直線上，AB＝DE，∠A＝∠D，請你添加一個條件：　 　，使得△ABC≌△DEF．

4．（2分）在等腰三角形ABC中，它的頂角是80°，則它的底角為 　 ?。?br /> 5．（2分）直角三角形的兩直角邊長分別為6和8，則斜邊中線的長是　 　．
6．（2分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點，CD＝6，則AB＝　 　．
7．（2分）在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，∠BAD＝45°，則∠C＝　 ?。?br /> 8．（2分）如圖，以直角三角形三邊向外作正方形，其中兩個正方形的面積為50和20，則正方形A的面積等于 　 ?。?br />
9．（2分）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于點D，若BD：DC＝2：1，BC＝15cm，則D到AB的距離為 　 　cm．

10．（2分）10、如圖，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交DE于點F，G，若BE＝5，DC＝7，DE＝9，則FG＝　 ?。?br />
11．（2分）如圖是4×4的正方形網(wǎng)格，其中已有3個小方格涂成了黑色．現(xiàn)在要從其余13個白色小方格選出一個也涂成黑色，與原來3個黑色方格組成的圖形成為軸對稱圖形，則符合要求的白色小正方形有 　 ?。?br />
12．（2分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D在BC上，且BD＝BA，點E在BC的延長線上，且CE＝CA，則∠DAE＝　 ?。?br />
二、選擇題（本大題共6小題，共18分）
13．（3分）下面四個手機的圖標(biāo)中，是軸對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
14．（3分）下列四組數(shù)，可作為直角三角形三邊長的是（　?。?br /> A．4cm、5cm、6cm B．1cm、2cm、3cm
C．2cm、3cm、4cm D．5cm、12cm、13cm
15．（3分）三角形兩邊的垂直平分線的交點為O，則點O（　?。?br /> A．到三邊距離相等
B．到三頂點距離相等
C．不在第三邊的垂直平分線上
D．以上都不對
16．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂線DE交AB于E，交AC于D，若AB＝15，BC＝9，則△BCD的周長為（　?。?br />
A．16 B．20 C．21 D．24
17．（3分）如圖所示，有一塊直角三角形紙片，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，將斜邊AB翻折，使點B落在直角邊AC的延長線上的點E處，折痕為AD，則CD的長為（　?。?br />
A．1cm B．cm C．1.5cm D．cm
18．（3分）將斜邊相等的兩塊三角形如圖放置，其中含45°角的三角板ABC的斜邊與含30°的三角板ADC的斜邊重合，B、D位于AC的兩側(cè)，若S四邊形ABCD＝8，連接BD．則BD的長為（　　）

A．2 B．4 C．8 D．16
三、解答題（本大題共10小題，共78分）
19．（6分）已知：如圖，AB＝CD，∠B＝∠D，BF＝DE．求證：AE＝CF．

20．（6分）已知：如圖，AB＝AC，DB＝DC，點E在AD上，求證：EB＝EC．

21．（7分）如圖，有一塊四邊形的綠地ABCD，已知：AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，CD＝12m，AD＝13m．
（1）判斷△ACD的形狀；
（2）求這塊綠地ABCD的面積．

22．（7分）（1）在圖中畫出與△ABC關(guān)于直線l成軸對稱的ΔA1B1C1；
（2）△ABC的面積為 　 ??；
（3）在直線l上找一點P（在答題紙的圖中標(biāo)出點P），使PB+PC的長最短．

23．（8分）如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點O，這兩條垂直平分線分別交BC于點D、E．已知△ADE的周長為13cm．
（1）求線段BC；
（2）分別連接OA、OB、OC，若△OBC的周長為27cm，則OA的長為 　 　cm．

24．（8分）已知：如圖，線段AC和射線AB有公共端點A．
（1）①在射線AB取一點P，使△APC是以AC為底邊的等腰三角形；
②過P作射線PD，使PD∥AC；（以上按要求尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡）
（2）若∠BPD＝40°，則∠ACP＝　 　°．

25．（8分）已知：如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且∠ADC+∠B＝180°．
（1）求證：BE＝DF；
（2）探究線段AB、AD、AF三者之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）若△ABC的面積是23，△ADC的面積是18，則△BEC的面積等于 　 ?。?br />
26．（8分）點P，Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC的邊AB，BC上的動點，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的速度都是1cm/s，設(shè)運動時間為t秒．
（1）連接AQ，CP交于點M，則在P，Q運動的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由；若不變，則求出它的度數(shù)；
（2）連接PQ．
①當(dāng)△BPQ為等邊三角形時，t＝　 　秒；
②當(dāng)△BPQ為直角三角形時，t＝　 　秒．（直接寫出結(jié)果）

27．（10分）數(shù)學(xué)中，常對同一個量（圖形的面積、高、三角形的內(nèi)角和等）用兩種不同的方法計算，從而建立相等關(guān)系，我們把這一思想稱為“算兩次”．“算兩次”也稱作富比尼原理，是一種重要的數(shù)學(xué)思想．
【知識理解】
（1）勾股定理是數(shù)學(xué)中重要的定理．請從圖1、圖2中選擇一個進行驗證，要求寫出驗證過程；

【知識運用】
（2）在△ABC中（如圖4），已知AB＝13，BC＝14，AC＝15，求△ABC的面積．

（3）如圖3是棱長為a+b的正方體，被如圖所示的分割線分成8塊，用不同方法計算這個正方體體積，就可以得到一個等式，這個等式為 　 ?。?br /> 【知識拓展】
（4）如圖5，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分別AC、BC、AB為直角邊作三個等腰直角三角形，若圖中S1＝6，S2＝3，S3＝5，則S4＝　 ?。?br />

28．（10分）【問題情景】
課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
如圖1，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD至點E，使DE＝AD，連接BE．請根據(jù)小明的方法思考：

（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB，其依據(jù)是　 　，請選擇正確的一項．
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．HL
（2）由“三角形的三邊關(guān)系”可求得AD的取值范圍是　 ?。?br /> 【初步運用】
（3）如圖2，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E是BC的中點，若AE是∠BAD的平分線，試猜想線段AB，AD，DC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
【靈活運用】
（4）如圖3，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝BF，若EF＝5，EC＝3，求線段BF的長；
【拓展延伸】
（5）如圖4，CB是△AEC的中線，CD是△ABC的中線，且AB＝AC，下列四個選項中：

A．∠ACD＝∠BCD
B．CE＝2CD
C．∠BCD＝∠BCE
D．CD＝CB
所有正確選項的序號是　 　．

2021-2022學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽市八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、填空題（本大題共12小題，共24分）
1．（2分）若△ABC≌△DEF，∠A＝100°，∠E＝60°，則∠F＝　20°?。?br /> 【分析】先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出∠D，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠F即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝100°，
∴∠D＝∠A＝100°，
∵∠E＝60°，
∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝20°，
故答案為：20°．
2．（2分）等邊三角形的每個內(nèi)角都等于　60　度．
【分析】根據(jù)等邊三角形各邊長相等的性質(zhì)即可求得∠A＝∠B＝∠C，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°的性質(zhì)即可求得∠A＝∠B＝∠C＝60°，即可解題．
【解答】解：等邊三角形各邊長相等，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∵三角形內(nèi)角和為180°，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．
故答案為：60．

3．（2分）如圖，點B、E、C、F在同一直線上，AB＝DE，∠A＝∠D，請你添加一個條件：　AC＝DF（答案不唯一）　，使得△ABC≌△DEF．

【分析】此題是一道開放型的問題，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【解答】解：添加的條件是AC＝DF，
理由是：在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故答案為：AC＝DF（答案不唯一）．
4．（2分）在等腰三角形ABC中，它的頂角是80°，則它的底角為 　50°?。?br /> 【分析】由等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得．
【解答】解：根據(jù)等腰三角形兩底角相等，
底角為：（180°﹣80°）÷2＝50°
故答案為：50°．
5．（2分）直角三角形的兩直角邊長分別為6和8，則斜邊中線的長是　5?。?br /> 【分析】已知直角三角形的兩條直角邊，根據(jù)勾股定理即可求斜邊的長度，根據(jù)斜邊中線長為斜邊長的一半即可解題．
【解答】解：已知直角三角形的兩直角邊為6、8，
則斜邊長為＝10，
故斜邊的中線長為×10＝5，
故答案為5．
6．（2分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點，CD＝6，則AB＝　12?。?br /> 【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點，CD＝6，
則AB＝2CD＝2×6＝12，
故答案為：12．
7．（2分）在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，∠BAD＝45°，則∠C＝　45°　．
【分析】由等腰三角形的三線合一性質(zhì)可知∠BAC＝90°，再由三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵AB＝AC，D為BC中點，
∴AD是∠BAC的平分線，∠B＝∠C，
∵∠BAD＝45°，
∴∠BAC＝2∠BAD＝90°，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝∠B＝（180°﹣90°）＝45°．
故答案為：45°．

8．（2分）如圖，以直角三角形三邊向外作正方形，其中兩個正方形的面積為50和20，則正方形A的面積等于 　30?。?br />
【分析】根據(jù)勾股定理得出BC2＝CD2﹣BD2＝50﹣20＝30，則可得出答案．
【解答】解：如圖，

∵∠CBD＝90°，CD2＝50，BD2＝20，
∴BC2＝CD2﹣BD2＝50﹣20＝30，
∴正方形A的面積為30，
故答案為：30．
9．（2分）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于點D，若BD：DC＝2：1，BC＝15cm，則D到AB的距離為 　5　cm．

【分析】過D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出DE＝CD，根據(jù)BD：DC＝2：1和BC＝15cm求出CD＝5cm，再得出答案即可．
【解答】解：過D作DE⊥AB于E，

∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，
∴DE＝CD，
∵BD：DC＝2：1，BC＝15cm，
∴CD＝5cm，
∴DE＝CD＝5cm，
即點D到AB的距離是5cm，
故答案為：5．
10．（2分）10、如圖，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交DE于點F，G，若BE＝5，DC＝7，DE＝9，則FG＝　3?。?br />
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EFB＝∠FBC，∠DGC＝∠GCB，由角平分線的定義得到∠FBC＝∠FBE，∠GCB＝∠GCD，于是得到BE＝EF，CD＝DG，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵ED∥BC，
∴∠EFB＝∠FBC，∠DGC＝∠GCB，
∵∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點F、G，
∴∠FBC＝∠FBE，∠GCB＝∠GCD，
∴∠EFB＝∠EBF，∠DCG＝∠DGC，
∴BE＝EF，CD＝DG，
∵若BE＝5，DC＝7，DE＝9，，
∴EB+CD＝EF+DG＝EG+FG+FG+DF＝ED+FG，即5+7＝9+FG，
∴FG＝3，
故答案為：3．
11．（2分）如圖是4×4的正方形網(wǎng)格，其中已有3個小方格涂成了黑色．現(xiàn)在要從其余13個白色小方格選出一個也涂成黑色，與原來3個黑色方格組成的圖形成為軸對稱圖形，則符合要求的白色小正方形有 　4?。?br />
【分析】利用軸對稱的定義可得答案．
【解答】解：如圖所示：
，
共4個，
故答案為：4．
12．（2分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D在BC上，且BD＝BA，點E在BC的延長線上，且CE＝CA，則∠DAE＝　45°　．

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠B＝∠ACB＝45°，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)求出∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，再根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和即可求出∠DAE的度數(shù)．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵BD＝BA，
∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∵CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE＝×45°＝22.5°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠E，
＝67.5°﹣22.5°，
＝45°．
二、選擇題（本大題共6小題，共18分）
13．（3分）下面四個手機的圖標(biāo)中，是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．
【解答】解：A、是軸對稱圖形，故本選項符合題意；
B、不是軸對稱圖形，故本選不項符合題意；
C、不是軸對稱圖形，故本選不項符合題意；
D、不是軸對稱圖形，故本選不項符合題意；
故選：A．
14．（3分）下列四組數(shù)，可作為直角三角形三邊長的是（　　）
A．4cm、5cm、6cm B．1cm、2cm、3cm
C．2cm、3cm、4cm D．5cm、12cm、13cm
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對四個選項進行逐一判斷即可．
【解答】解：A、∵52+42≠62，∴此組數(shù)據(jù)不能構(gòu)成直角三角形，故本選項錯誤；
B、12+22≠32，∴此組數(shù)據(jù)不能構(gòu)成直角三角形，故本選項錯誤；
C、∵22+32≠42，∴此組數(shù)據(jù)不能構(gòu)成直角三角形，故本選項錯誤；
D、∵122+52＝132，∴此組數(shù)據(jù)能構(gòu)成直角三角形，故本選項正確．
故選：D．
15．（3分）三角形兩邊的垂直平分線的交點為O，則點O（　　）
A．到三邊距離相等
B．到三頂點距離相等
C．不在第三邊的垂直平分線上
D．以上都不對
【分析】畫出圖形，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出OA＝OB＝OC，即可得出選項．
【解答】解：如圖：
連接OA、OB、OC，
∵O為△ABC兩邊BC、AC的垂直平分線的交點，
∴OB＝OC，OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC，
∴O也在AB的垂直平分線上，且O到△ABC三頂點的距離相等，
三角形的三角的平分線的交點到三角形的三邊距離相等，
即選項A、C、D錯誤，只有選項B正確；
故選：B．
16．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂線DE交AB于E，交AC于D，若AB＝15，BC＝9，則△BCD的周長為（　?。?br />
A．16 B．20 C．21 D．24
【分析】由勾股定理求出AC＝12，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD＝BD，即BD+CD＝AC，則可求出答案．
【解答】解：∵AB＝15，BC＝9，
∴AC＝＝＝12，
∵DE是線段AB的垂直平分線，
∴AD＝BD，
∴AD+CD＝BD+CD，即BD+CD＝AC，
∴△BCD的周長為CD+BD+BC＝AC+BC＝12+9＝21．
故選：C．
17．（3分）如圖所示，有一塊直角三角形紙片，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，將斜邊AB翻折，使點B落在直角邊AC的延長線上的點E處，折痕為AD，則CD的長為（　?。?br />
A．1cm B．cm C．1.5cm D．cm
【分析】易求AC＝4cm，則CE＝1cm．設(shè)CD＝x，則ED＝DB＝3﹣x，根據(jù)勾股定理求解．
【解答】解：∵∠ACD＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝＝＝4（cm），
∵△ADE是由△ABD沿AD折疊而得到的，
∴AE＝AB＝4cm，DE＝DB，
∴CE＝AE﹣AC＝5﹣4＝1（cm），
設(shè)CD＝xcm，則DB＝DE＝（3﹣x）cm，
在Rt△DCE中，
∴CD2+CE2＝DE2，
∴x2+1＝（3﹣x）2，
∴x＝，
故選：B．
18．（3分）將斜邊相等的兩塊三角形如圖放置，其中含45°角的三角板ABC的斜邊與含30°的三角板ADC的斜邊重合，B、D位于AC的兩側(cè)，若S四邊形ABCD＝8，連接BD．則BD的長為（　?。?br />
A．2 B．4 C．8 D．16
【分析】將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BCE，可證D，A，E在一條直線上，△DBE是等腰直角三角形，面積為8，即可求出BD的長．
【解答】解：將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BCE，

可知，BE＝BD，∠BCD＝∠BAE，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∴∠BAE+∠BAD＝180°，
∴D，A，E在一條直線上，
∴△DBE是等腰直角三角形，面積等于四邊形ABCD的面積，
即，
可得：，
解得：BD＝4，
故選：B．
三、解答題（本大題共10小題，共78分）
19．（6分）已知：如圖，AB＝CD，∠B＝∠D，BF＝DE．求證：AE＝CF．

【分析】根據(jù)SAS證明△ABF≌△CDE（SAS），推出AF＝CE，可得結(jié)論．
【解答】證明：在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴AF＝CE，
∴AE+EF＝EF+CF，
∴AE＝CF．
20．（6分）已知：如圖，AB＝AC，DB＝DC，點E在AD上，求證：EB＝EC．

【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的判定定理可知AD是線段BC的垂直平分線，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可知EB＝EC．
【解答】解：∵AB＝AC，DB＝DC，
∴AD是線段BC的垂直平分線，
∵點E在AD上，
∴EB＝EC．
21．（7分）如圖，有一塊四邊形的綠地ABCD，已知：AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，CD＝12m，AD＝13m．
（1）判斷△ACD的形狀；
（2）求這塊綠地ABCD的面積．

【分析】（1）由勾股定理求出AC，根據(jù)AC2+CD2＝AD2即可判定△ACD為直角三角形；
（2）由直角三角形面積即可計算該綠地的面積．
【解答】解：（1）∵∠B＝90°，
在直角△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝5（m），
∵52+122＝132，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形；
（2）∵S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝AB?BC+AC?CD，
∴S四邊形ABCD＝×3×4+×5×12＝6+30＝36（m2），
答：該綠地ABCD的面積為36m2．
22．（7分）（1）在圖中畫出與△ABC關(guān)于直線l成軸對稱的ΔA1B1C1；
（2）△ABC的面積為 　　；
（3）在直線l上找一點P（在答題紙的圖中標(biāo)出點P），使PB+PC的長最短．

【分析】（1）分別作出三個頂點關(guān)于直線l的對稱點，再首尾順次連接即可；
（2）用矩形的面積減去四周三個三角形的面積即可；
（3）連接B1C，與直線l的交點即為所求．
【解答】解：（1）如圖所示，ΔA1B1C1即為所求．

（2）△ABC的面積為3×4﹣×1×3﹣×2×3﹣×1×4＝，
故答案為：；
（3）如圖所示，點P即為所求．
23．（8分）如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點O，這兩條垂直平分線分別交BC于點D、E．已知△ADE的周長為13cm．
（1）求線段BC；
（2）分別連接OA、OB、OC，若△OBC的周長為27cm，則OA的長為 　7　cm．

【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得DA＝DB，EA＝EC，即可得到BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝13cm；
（2）由BC＝13結(jié)合OB+OC+BC＝27得到OB+OC＝14，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得OA＝OB＝OC，繼而求得OA的長．
【解答】解：（1）∵OM是線段AB的垂直平分線，
∴DA＝DB，
同理，EA＝EC，
∵△ADE的周長13，
∴AD+DE+EA＝13，
∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝13（cm）；
（2）連接OB，OC，
∵△OBC的周長為27，
∴OB+OC+BC＝27，
∵BC＝13，
∴OB+OC＝14，
∵OM垂直平分AB，
∴OA＝OB，
同理，OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC＝7（cm），
故答案為：7．

24．（8分）已知：如圖，線段AC和射線AB有公共端點A．
（1）①在射線AB取一點P，使△APC是以AC為底邊的等腰三角形；
②過P作射線PD，使PD∥AC；（以上按要求尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡）
（2）若∠BPD＝40°，則∠ACP＝　40　°．

【分析】（1）①作AC的垂直平分線交AB于點P即可；
②作∠BPD＝∠A即可得PD∥AC；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得∠ACP的度數(shù)．
【解答】解：（1）①如圖，點P即為所求；

②射線PD即為所求；
（2）∵PD∥AC，
∴∠BPD＝∠A＝40°，
∵PA＝PC，
∴∠ACP＝∠A＝40°，
故答案為：40．
25．（8分）已知：如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且∠ADC+∠B＝180°．
（1）求證：BE＝DF；
（2）探究線段AB、AD、AF三者之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）若△ABC的面積是23，△ADC的面積是18，則△BEC的面積等于 　2.5　．

【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)可得CE＝CF，∠F＝∠CEB＝90°，根據(jù)等角的補角相等得∠B＝∠CDF，利用AAS證出兩三角形全等即可得出結(jié)論；
（2）求出DF＝BE，證Rt△AFC≌Rt△AEC，推出AF＝AE，由BE＝DF可得AB﹣AE＝AF﹣AD＝AB﹣AF，即可得AB+AD＝2AF；
（3）利用全等三角形的面積相等，設(shè)△BEC的面積為x，列出方程可得結(jié)果．
【解答】（1）證明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE＝CF，∠CEB＝∠F＝90°，
∵∠ADC+∠B＝180°，∠ADC+∠CDF＝180°，
∴∠B＝∠CDF，
在Rt△BCE與Rt△DCF中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL），
∴BE＝DF；

（2）AB+AD＝2AF，
證明：∵Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴DF＝BE，CE＝CF，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
在Rt△ACE與Rt△ACF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴AF＝AE，
∴AB﹣AE＝AF﹣AD＝AB﹣AF，
∴AB+AD＝2AF；

（3）解：∵Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴S△BCE＝S△DCF，
設(shè)△BEC的面積為x，
∵△ABC的面積是23，△ADC面積是18，
∴23﹣x＝18+x，
∴x＝（23﹣18）＝2.5．
即△BEC的面積等于2.5，
故答案為：2.5．
26．（8分）點P，Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC的邊AB，BC上的動點，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的速度都是1cm/s，設(shè)運動時間為t秒．
（1）連接AQ，CP交于點M，則在P，Q運動的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由；若不變，則求出它的度數(shù)；
（2）連接PQ．
①當(dāng)△BPQ為等邊三角形時，t＝　2　秒；
②當(dāng)△BPQ為直角三角形時，t＝　或　秒．（直接寫出結(jié)果）

【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)可證明△APC≌△BQA，則可求得∠BAQ＝∠ACP，再利用三角形外角的性質(zhì)可證得∠CMQ＝60°；
（2）①可用t表示出BP和BQ，由△BPQ為等邊三角形得BP＝BQ，即可解答；
②可用t分別表示出BP和BQ，分∠BPQ＝90°和∠BPQ＝90°兩種情況，分別利用直角三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，則可求得t的值．
【解答】解：（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠PAC＝60°，
∵點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，
∴AP＝BQ，
在△APC和△BQA中，
，
∴△APC≌△BQA（SAS），
∴∠BAQ＝∠ACP，
∴∠CMQ＝∠CAQ+∠ACP＝∠BAQ+∠CAQ＝∠BAC＝60°，
∴在P、Q運動的過程中，∠CMQ不變，∠CMQ＝60°；
（2）①∵運動時間為ts，則AP＝BQ＝t，
∴PB＝4﹣t，
∵△BPQ為等邊三角形，
∴BP＝BQ，
∴4﹣t＝t，
∴t＝2，
故答案為：2；
②∵運動時間為t秒，則AP＝BQ＝t，
∴PB＝4﹣t，
當(dāng)∠PQB＝90°時，
∵∠B＝60°，
∴PB＝2BQ，
∴4﹣t＝2t，解得t＝，
當(dāng)∠BPQ＝90°時，
∵∠B＝60°，
∴BQ＝2PB，
∴t＝2（4﹣t），解得t＝，
∴當(dāng)t為秒或秒時，△PBQ為直角三角形．
故答案為：或．
27．（10分）數(shù)學(xué)中，常對同一個量（圖形的面積、高、三角形的內(nèi)角和等）用兩種不同的方法計算，從而建立相等關(guān)系，我們把這一思想稱為“算兩次”．“算兩次”也稱作富比尼原理，是一種重要的數(shù)學(xué)思想．
【知識理解】
（1）勾股定理是數(shù)學(xué)中重要的定理．請從圖1、圖2中選擇一個進行驗證，要求寫出驗證過程；

【知識運用】
（2）在△ABC中（如圖4），已知AB＝13，BC＝14，AC＝15，求△ABC的面積．

（3）如圖3是棱長為a+b的正方體，被如圖所示的分割線分成8塊，用不同方法計算這個正方體體積，就可以得到一個等式，這個等式為 ?。╝+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3?。?br /> 【知識拓展】
（4）如圖5，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分別AC、BC、AB為直角邊作三個等腰直角三角形，若圖中S1＝6，S2＝3，S3＝5，則S4＝　2　．


【分析】（1）利用利用圖1，圖2中，四邊形ABCD的面積的兩種求法，構(gòu)建關(guān)系式，可得結(jié)論；
（2）如圖4中，過點A作AH⊥BC于H．設(shè)BH＝x．利用剛剛打開構(gòu)建方程求出x，即可解決問題；
（3）分兩種方法表示出體積即可；
（4）設(shè)AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S△ABG＝m，S△ACH＝n，由a2+b2＝c2，推出S△ABD+S△ACE＝S△BCF，可得S1+m+n+S4＝S2+S3+m+n，由此可得結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖1中，

∵S正方形ABCD＝4×S△ABE+S正方形EFGH，
∴c2＝4×ab+（b﹣a）2＝a2+b2，
∴a2+b2＝c2．
如圖2中，

∵S四邊形ABCD＝2×S△ABE+S△AED，
∴（a+b）（a+b）＝2×ab+c2，
∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．

（2）如圖4中，過點A作AH⊥BC于H．設(shè)BH＝x．

∵AH2＝AB2﹣BH2＝AC2﹣CH2，
∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，
解得x＝5，
∴BH＝5，AH＝＝12，
∴S△ABC＝?BC?AH＝×14×12＝84．

（3）方法一可表示為：（a+b）3；
方法二可表示為：a3+3a2b+3ab2+b3．
∴等式為：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．
故答案為：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．

（4）如圖4中，

∵△ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形，
∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF，
設(shè)AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S△ABG＝m，S△ACH＝n，
∵a2+b2＝c2，
∴S△ABD+S△ACE＝S△BCF，
∴S1+m+n+S4＝S2+S3+m+n，
∴S4＝3+5﹣6＝2，
故答案為：2．
28．（10分）【問題情景】
課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
如圖1，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD至點E，使DE＝AD，連接BE．請根據(jù)小明的方法思考：

（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB，其依據(jù)是　B　，請選擇正確的一項．
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．HL
（2）由“三角形的三邊關(guān)系”可求得AD的取值范圍是　2＜AD＜8?。?br /> 【初步運用】
（3）如圖2，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E是BC的中點，若AE是∠BAD的平分線，試猜想線段AB，AD，DC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
【靈活運用】
（4）如圖3，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝BF，若EF＝5，EC＝3，求線段BF的長；
【拓展延伸】
（5）如圖4，CB是△AEC的中線，CD是△ABC的中線，且AB＝AC，下列四個選項中：

A．∠ACD＝∠BCD
B．CE＝2CD
C．∠BCD＝∠BCE
D．CD＝CB
所有正確選項的序號是　B、C?。?br /> 【分析】（1）根據(jù)SAS即可證明△ADC≌△EDB；
（2）由△ADC≌△EDB，得AC＝BE＝6，再借助三角形三邊關(guān)系即可；
（3）延長DC、AE交于點F，證明△AEB≌△FEC（AAS），得AB＝CF，再由角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得AD＝DF，從而得到結(jié)論；
（4）延長AD至G，使DG＝AD，連接BG，由（1）同理可知△ACD≌△GBD（SAS），得BG＝AC，∠G＝∠DAC，由AC∥BG，得△AEF∽△GBF，根據(jù)對應(yīng)邊成比例即可；
（5）延長CD至F，使DF＝CD，利用SAS證明△CBE≌△CBF，即可判斷．
【解答】解：（1）∵AD為△ABC的中線，
∴BD＝CD，
又∵AD＝DE，∠ADC＝∠EDB，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案為：B；
（2）∵△ADC≌△EDB，
∴AC＝BE＝6，
在△ABE中，由三邊關(guān)系得：
AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
即10﹣6＜AE＜10+6，
∴4＜AE＜16，
∴2＜AD＜8，
故答案為：2＜AD＜8；
（3）AD＝DC+AB，理由如下：延長DC、AE交于點F，

∵AB∥CD，
∴∠F＝∠BAE，
∵E為BC的中點，
∴CE＝BE，
又∵∠FEC＝∠AEB，
∴△AEB≌△FEC（AAS），
∴AB＝CF，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠F＝∠DAE，
∴AD＝DF，
∴AD＝DC+AB；
（4）延長AD至G，使DG＝AD，連接BG，

由（1）同理可知△ACD≌△GBD（SAS），
∴BG＝AC，∠G＝∠DAC，
∴AC∥BG，
∴△AEF∽△GBF，
∴，
設(shè)AE＝x，則BG＝x+3，BF＝x，
∴，
解得x＝（負值舍去），
∴BF＝；
（5）延長CD至F，使DF＝CD，

由（1）得BF＝AC，∠FBA＝∠A，
∵AC＝AB，
∴BF＝AB，∠ACB＝∠ABC，
∵點B為AE的中點，
∴BE＝AB，
∴BE＝BF，
∵∠CBE＝∠ACB+∠A，
∠CBF＝∠CBA+∠ABF，
∴∠CBE＝∠CBF，
又∵CB＝CB，
∴△CBE≌△CBF（SAS），
∴CE＝CF＝2CD，∠BCE＝∠BCD，
故B、C正確．
故答案為：B、C．


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