1.理解命題的概念,并會判斷命題的真假.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解全稱量詞、存在量詞的含義.(數(shù)學(xué)抽象)3.掌握全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷.(邏輯推理)
【激趣誘思】現(xiàn)在社會中,廣告無處不在,廣告商都諳熟這樣的命題變換藝術(shù):如宣傳某種食品的廣告詞為:“擁有的人們都幸福,幸福的人們都擁有”.初聽起來這似乎只是幾句普通的贊美詞,然后這句話的等價命題就是“不擁有的人們不幸?！?哪個家庭不希望幸福啊?掏錢買一盒就是了.廣告商正是利用了等價命題的道理使顧客產(chǎn)生了購物的心理效應(yīng),從而達(dá)到其經(jīng)營的目的.
知識點一、命題的概念與分類(1)命題的概念:可供真假判斷的陳述語句叫做命題.(2)分類
名師點析 對命題的理解①有一類陳述句在數(shù)學(xué)或其他科學(xué)技術(shù)中經(jīng)常出現(xiàn),但目前不能確定這些語句的真假,隨著時間的推移,總能確定它們的真假,這一類語句仍然是命題;②命題的真假是確定的,一個命題要么為真,要么為假,不能無法判斷;③數(shù)學(xué)中的定義、公理、定理、公式等都是真命題;④數(shù)學(xué)中要判定一個命題為真命題,需要經(jīng)過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明;要判定一個命題為假命題,只需要舉出一個反例即可.
(3)命題的形式在數(shù)學(xué)中,有很多“若p,則q”形式的命題,通常我們把這種形式的命題中的p稱為命題的條件,q稱為命題的結(jié)論.名師點析 對命題形式的理解①“若p,則q”只是命題的一種形式,另外,“如果p,那么q”“只要p,就有q”也是常見的命題形式.②將含有大前提的命題改寫為“若p,則q”的形式時,大前提應(yīng)保持不變,改寫后仍作為大前提,不要寫在條件p中.③改寫前后命題的真假不發(fā)生變化.④還有一些命題不能寫成“若p,則q”的形式,如“某些三角形沒有外接圓”.
微思考 在初中,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了命題的定義,它的內(nèi)容是什么?提示 對事情做出正確或不正確的判斷的句子叫做命題.
微練習(xí)(1)(多選題)(2020廣東揭陽三中高一期中)下列四個命題中是真命題的是(　　)A.一切實數(shù)均有相反數(shù)B.?x∈N,使得方程ax+1=0無實數(shù)根C.梯形的對角線相等D.有些三角形不是等腰三角形答案 ABD解析 對于A,一切實數(shù)均有相反數(shù),正確;對于B,當(dāng)x=0時,方程ax+1=0無實數(shù)根,正確;對于C,只有等腰梯形的對角線相等,錯誤;對于D,有些三角形不是等腰三角形,正確.故選ABD.
(2)下列命題中,真命題共有(　　)①面積相等的三角形是全等三角形?、谌魓y=0,則|x|+|y|=0?、廴鬭>b,則a+c>b+c?、芫匦蔚膶蔷€互相垂直A.1個　　　　　B.2個C.3個D.4個答案 A解析 ①②④是假命題,③是真命題.
知識點二、全稱量詞與全稱量詞命題(1)概念一般地,“任意”“所有”“每一個”在陳述中表示所述事物的全體,稱為全稱量詞,用符號“?”表示.含有全稱量詞的命題,稱為全稱量詞命題.(2)表示全稱量詞命題就是形如“對集合M中的所有元素x,r(x)”的命題,可簡記為?x∈M,r(x).
名師點析 對全稱量詞與全稱量詞命題的理解①從集合的觀點看,全稱量詞命題是陳述某集合中的所有元素都具有某種性質(zhì)的命題.注意:全稱量詞表示的數(shù)量可能是有限的,也可能是無限的,由題目而定.②常見的全稱量詞還有“一切”“任給”等.③一個全稱量詞命題可以包含多個變量,如“?x,y∈R,x2+y2≥0”.④全稱量詞命題含有全稱量詞,有些全稱量詞命題中的全稱量詞是省略的,理解時需把它補(bǔ)充出來.例如,命題“平行四邊形的對角線互相平分”應(yīng)理解為“所有的平行四邊形的對角線都互相平分”.
(3)全稱量詞命題的真假判定要判定全稱量詞命題是真命題,需要對集合M中每個元素x,證明r(x)成立,但要判定全稱量詞命題是假命題,只需舉出一個x0∈M,使得r(x0)不成立即可.
微思考 觀察下面的兩個語句,思考下列問題:P:m≤8;Q:對所有的m∈R,m≤8.上面的兩個語句是命題嗎?二者之間有什么關(guān)系?提示 語句P無法判斷真假,不是命題;語句Q在語句P的基礎(chǔ)上增加了“所有的”,可以判斷真假,是命題.語句P是命題Q中的一部分.
微練習(xí)下列命題中全稱量詞命題的個數(shù)是(　　)①任意一個自然數(shù)都是正整數(shù)?、谟械木匦问钦叫巍、廴切蔚膬?nèi)角和是180°A.0　　B.1　　C.2　　D.3答案 C解析 ①③是全稱量詞命題.
知識點三、存在量詞與存在量詞命題(1)概念“存在”“有”“至少有一個”在陳述中表示所述事物的個體或部分,稱為存在量詞,用符號“?”表示.含有存在量詞的命題,稱為存在量詞命題.(2)表示存在量詞命題就是形如“存在集合M中的元素x,s(x)”的命題,可簡記為“?x∈M,s(x)”.
名師點析 對存在量詞與存在量詞命題的理解①從集合的觀點看,存在量詞命題是陳述某集合中有(存在)一些元素具有某種性質(zhì)的命題.②常見的存在量詞還有“有些”“有一個”“對某個”“有的”等.③含有存在量詞的命題,不管包含的程度多大,都是存在量詞命題.④一個存在量詞命題可以包含多個變量,如“?a,b∈R,使(a+b)2=(a-b)2”.⑤含有存在量詞“存在”“有一個”等的命題,或雖沒有寫出存在量詞,但其意義具備“存在”“有一個”等特征的命題都是存在量詞命題.(3)存在量詞命題真假判定要判定一個存在量詞命題是真命題,只需在集合M中找到一個元素x0,使s(x0)成立即可,否則這一存在量詞命題就是假命題.
微思考 觀察下面的兩個語句,思考下列問題:P:m>8;Q:存在一個m0∈Z,m0>8.上面的兩個語句是命題嗎?二者之間有什么關(guān)系?提示 語句P無法判斷真假,不是命題;語句Q在語句P的基礎(chǔ)上增加了“存在一個”,可以判斷真假,是命題.語句P是命題Q中的一部分.
微練習(xí)下列命題中,是真命題的是(　　)A.?x∈R,x2>0B.?x∈R,x2+2x>0C.?x∈R, b,則解 (1)可以改寫為“所有的凸多邊形的外角和等于360°”,是全稱量詞命題.(2)含有存在量詞“有些”,故是存在量詞命題.
例3判斷下列命題的真假.(1)?x∈R,x2+1> .(2)?α,β∈R,(α-β)2=(α+β)2.(3)存在一個數(shù)既是偶數(shù)又是負(fù)數(shù).(4)每一條線段的長度都能用正有理數(shù)表示.(5)存在一個實數(shù)x,使等式x2+x+8=0成立.分析對于全稱量詞命題,判斷為真,需要證明,判斷為假,舉出反例;對于存在量詞命題,判斷為真,舉出特例,判斷為假,需要證明.
(2)真命題,例如α=0,β=1,符合題意.(3)真命題,如數(shù)-2,-4等,就既是偶數(shù)又是負(fù)數(shù).(4)假命題,如:邊長為1的正方形的對角線長為 ,它的長度就不是有理數(shù).(5)假命題,因為該方程的判別式Δ=-312},B={x|x>a},若?a∈A,都有a∈B成立,求實數(shù)a的取值范圍.分析把存在與恒成立問題轉(zhuǎn)化為不等式端點值的大小關(guān)系.
反思感悟 求解含有量詞命題中參數(shù)范圍的策略已知含量詞的命題真假求參數(shù)的取值范圍,實質(zhì)上是對命題意義的考查.解決此類問題,一定要辨清參數(shù),恰當(dāng)選取主元,合理確定解題思路.解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)含量詞命題的真假轉(zhuǎn)化為相關(guān)數(shù)學(xué)知識,利用集合、方程、不等式等知識求解參數(shù)的取值范圍,解題過程中要注意變量取值范圍的限制.
分類討論思想的應(yīng)用典例 命題p:關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+4m=0有兩個不相等的根,且一正一負(fù);命題q:關(guān)于x的一元二次方程x2-4mx+m=0有兩個正根.若命題p和命題q只有一個為真,你能求出m的取值范圍嗎?
方法點睛 本題考查真假命題的判斷,一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,同時考查了分類討論思想的應(yīng)用.求解時靈活運用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵.
1.(多選題)下列命題是全稱量詞命題的是(　　)A.中國公民都有受教育的權(quán)利B.每一個中學(xué)生都要接受愛國主義教育C.有人既能寫小說,也能搞發(fā)明創(chuàng)造D.任何一個數(shù)除0,都等于0答案 ABD
2.下列命題中,既是真命題又是存在量詞命題的是(　　)A.存在一個α∈R,使α2=αB.存在實數(shù)x,使|x|=-1C.對一切α∈R,α=|α|答案 A解析 C,D是全稱量詞命題,B是假命題.
3.命題“有些負(fù)數(shù)x滿足不等式(1+x)(1-9x)>0”用“?”或“?”可表述為　　　　　　　　.?答案 ?x0解析 由題意可知該命題是存在量詞命題,所以應(yīng)用“?”,表述為?x0.
4.指出下列命題中,哪些是全稱量詞命題,哪些是存在量詞命題,并判斷真假.(1)每個二次函數(shù)的圖像都與x軸相交.(2)?x∈R,

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1.2.1 命題與量詞

版本： 人教B版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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