直線的兩點(diǎn)式方程新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線的兩點(diǎn)式方程數(shù)學(xué)抽象2.了解直線的截距式方程的形式特征及適用范圍邏輯推理 斜拉橋又稱斜張橋，橋身簡(jiǎn)約剛毅，力感十足．若以橋面所在直線為x軸，橋塔所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，那么斜拉索可看成過橋塔上一點(diǎn)與橋面上一點(diǎn)的直線．[問題]　(1)怎樣表示該直線的方程呢？(2)能否用直線上兩個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)來表示該直線的方程？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知識(shí)點(diǎn)　直線的兩點(diǎn)式與截距式方程 兩點(diǎn)式截距式條件直線l經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2直線l在x軸上截距為a，在y軸上截距為b 圖形方程＝＋＝1適用范圍不表示垂直于坐標(biāo)軸的直線不表示垂直于坐標(biāo)軸的直線及過原點(diǎn)的直線 1．所有的直線都可以用兩點(diǎn)式方程來表示嗎？提示：垂直于坐標(biāo)軸的直線不能用兩點(diǎn)式方程來表示．2．方程＝和方程＝表示同一圖形嗎？提示：不表示同一圓形．1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)能用兩點(diǎn)式方程表示的直線也可用點(diǎn)斜式方程表示．(　　)(2)方程＝和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示的圖形相同．(　　)(3)過點(diǎn)(1，3)和(1，5)的直線也可以用兩點(diǎn)式方程來表示．(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)×2．過點(diǎn)A(5，6)和點(diǎn)B(－1，2)的直線的兩點(diǎn)式方程是(　　)A.＝　　　　　　 B.＝C.＝  D.＝答案：B3．在x軸、y軸上的截距分別為2，－3的直線方程為(　　)A.－＝1  B.＋＝1C.－＝1  D.＋＝0答案：A　直線的兩點(diǎn)式方程[例1]　(鏈接教科書第14頁例4)已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中．(1)求BC邊的方程；(2)求BC邊上的中線所在直線的方程．[解]　(1)∵BC邊過兩點(diǎn)B(5，－4)，C(0，－2)，∴由兩點(diǎn)式得＝，即2x＋5y＋10＝0.故BC邊的方程為2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．(2)設(shè)BC的中點(diǎn)為M(x0，y0)，則x0＝＝，y0＝＝－3.∴M，又BC邊上的中線經(jīng)過點(diǎn)A(－3，2)．∴由兩點(diǎn)式得＝，即10x＋11y＋8＝0.故BC邊上的中線所在直線的方程為10x＋11y＋8＝0.求直線的兩點(diǎn)式方程的策略以及注意點(diǎn)(1)當(dāng)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，求過這兩點(diǎn)的直線方程時(shí)，首先要判斷是否滿足兩點(diǎn)式方程的適用條件：兩點(diǎn)的連線不平行于坐標(biāo)軸，若滿足，則考慮用兩點(diǎn)式求方程；(2)由于減法的順序性，一般用兩點(diǎn)式求直線方程時(shí)常會(huì)將字母或數(shù)字的順序錯(cuò)位而導(dǎo)致錯(cuò)誤．在記憶和使用兩點(diǎn)式方程時(shí)，必須注意坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]已知直線經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)，B(m，1)，求這條直線的方程．解：由直線經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)，B(m，1)，因此該直線斜率不可能為零，但有可能不存在．①當(dāng)直線斜率不存在，即m＝1時(shí)，直線方程為x＝1；②當(dāng)直線斜率存在，即m≠1時(shí)，利用兩點(diǎn)式，可得直線方程為＝，即x－(m－1)y－1＝0.綜上可得：當(dāng)m＝1時(shí)，直線方程為x＝1；當(dāng)m≠1時(shí)，直線方程為x－(m－1)y－1＝0.直線的截距式方程[例2]　求過點(diǎn)A(5，2)，且在坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)的直線l的方程．[解]　法一：①當(dāng)直線l在坐標(biāo)軸上的截距均為0時(shí)，方程為y＝x，即2x－5y＝0；②當(dāng)直線l在坐標(biāo)軸上的截距不為0時(shí)，可設(shè)方程為＋＝1，即x－y＝a，又∵l過點(diǎn)A(5，2)，∴5－2＝a，a＝3，∴l的方程為x－y－3＝0，綜上所述，直線l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0.法二：由題意知直線的斜率一定存在．設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程為y－2＝k(x－5)，x＝0時(shí)，y＝2－5k，y＝0時(shí)，x＝5－.根據(jù)題意得2－5k＝－，解方程得k＝或1.當(dāng)k＝時(shí)，直線方程為y－2＝(x－5)，即2x－5y＝0；當(dāng)k＝1時(shí)，直線方程為y－2＝1×(x－5)，即x－y－3＝0.[母題探究](變條件)若將本例中的條件“在坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)”變?yōu)椋骸霸?/span>x軸上的截距是y軸上截距的2倍”，其它條件不變，如何求解？解：①當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距均為0時(shí)，方程為y＝x，即2x－5y＝0符合題意．②當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距均不為0時(shí)，可設(shè)方程為＋＝1，又l過點(diǎn)(5，2)，∴＋＝1，解得a＝.∴l的方程為x＋2y－9＝0.求直線的截距式方程的方法(思路)(1)由已知條件確定橫、縱截距；(2)若兩截距為零，則直線過原點(diǎn)，直接寫出方程即可；若兩截距不為零，則代入公式＋＝1，可得所求的直線方程．[注意]　如果題目中出現(xiàn)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等、截距互為相反數(shù)或在一坐標(biāo)軸上的截距是另一坐標(biāo)軸上的截距的多少倍等條件，采用截距式求直線方程時(shí)一定要注意考慮“零截距”的情況．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]1．直線－＝1在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為(　　)A．1　　　　　　　　　 B．－1C．7  D．－7解析：選B　直線在x軸上截距為3，在y軸上截距為－4，因此截距之和為－1.2．求過點(diǎn)P(6，－2)，且在x軸上的截距比在y軸上的截距大1的直線方程．解：設(shè)直線方程的截距式為＋＝1.則＋＝1，解得a＝2或a＝1，則直線方程是＋＝1或＋＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.截距式方程的應(yīng)用[例3]　直線l過點(diǎn)P，且與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)當(dāng)△AOB的周長(zhǎng)為12時(shí)，求直線l的方程；(2)當(dāng)△AOB的面積為6時(shí)，求直線l的方程．[解]　(1)設(shè)直線l的方程為＋＝1(a>0，b>0)，由題意知，a＋b＋＝12.①因?yàn)橹本€l過點(diǎn)P，所以＋＝1.②聯(lián)立①②，解得或所以直線l的方程為3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.(2)設(shè)直線l的方程為＋＝1(a>0，b>0)，由題意知，ab＝6即ab＝12.③聯(lián)立②③，解得或所以直線l的方程為3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.直線的截距式方程是兩點(diǎn)式方程的特殊情況(兩個(gè)點(diǎn)是直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)記為(a，0)，(0，b))，用它來畫直線以及求直線與坐標(biāo)軸圍成的圖形面積或周長(zhǎng)時(shí)較為方便．一條直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S＝|a|·|b|.　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]求經(jīng)過點(diǎn)(－2，2)且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為1的直線l的方程．解：由題意知，直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距存在且不為零，故可設(shè)所求直線l的方程為＋＝1，由已知可得解得或所以＋＝1或＋＝1，故直線l的方程為2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.直線方程的點(diǎn)法式規(guī)定：與直線的方向向量垂直的向量稱為直線的法向量．若直線l經(jīng)過點(diǎn)P，且一個(gè)法向量為n，則直線l上不同于點(diǎn)P的任意一點(diǎn)M都滿足n·＝0.反之，滿足n·＝0的任意一點(diǎn)M一定在直線l上．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(x0，y0)，且它的一個(gè)法向量為n＝(A，B)，如何求直線l的方程呢？設(shè)直線l上的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則＝(x－x0，y－y0)．由n·＝0，可得A(x－x0)＋B(y－y0)＝0. ①這說明：直線l上的任意一點(diǎn)M(x，y)都滿足方程①.另外，容易驗(yàn)證以方程①的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線l上．也就是說，方程①是直線l的方程．稱這個(gè)方程為直線方程的點(diǎn)法式．[遷移應(yīng)用]1．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(1，2)，B(－2，1)，C(0，－1)，求BC邊上的高所在直線的方程．解：由已知，可得＝(－2，2)．因?yàn)?/span>＝(－2，2)就是BC邊上的高所在直線的法向量，又所求直線經(jīng)過點(diǎn)A(1，2)，所以由直線方程的點(diǎn)法式可得所求直線的方程為－2(x－1)＋2(y－2)＝0，即x－y＋1＝0.2．已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A(3，1)，且與P(－1，0)，Q(3，2)兩點(diǎn)的連線垂直，求直線l的方程．解：因?yàn)?/span>PQ⊥l，所以＝(3＋1，2－0)＝(4，2)為直線l的一個(gè)法向量．又直線l經(jīng)過點(diǎn)A(3，1)，代入直線的點(diǎn)法式方程，得4(x－3)＋2(y－1)＝0，即2x＋y－7＝0.1．已知△ABC三頂點(diǎn)A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M為AB中點(diǎn)，N為AC中點(diǎn)，則中位線MN所在直線方程為(　　)A．2x＋y－8＝0　　　　 B．2x－y＋8＝0C．2x＋y－12＝0  D．2x－y－12＝0解析：選A　點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，4)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3，2)，由兩點(diǎn)式方程得＝，即2x＋y－8＝0.2．直線＋＝1過第一、三、四象限，則(　　)A．a>0，b>0  B．a>0，b<0C．a<0，b>0  D．a<0，b<0解析：選B　因?yàn)橹本€過第一、三、四象限，所以它在x軸上的截距為正，在y軸上的截距為負(fù)，所以a>0，b<0.3．過坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)P1(2，0)，P2(0，3)的直線方程是(　　)A.＋＝1  B.＋＝0C.＋＝1  D.－＝1答案：C　4．過點(diǎn)P(1，2)且在兩坐標(biāo)軸上截距的和為0的直線方程為____________________．解析：當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，得直線方程為2x－y＝0；當(dāng)在坐標(biāo)軸上的截距不為零時(shí)，可設(shè)直線方程為－＝1，將x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，得直線方程為x－y＋1＝0.∴直線方程為2x－y＝0或x－y＋1＝0.答案：2x－y＝0或x－y＋1＝05．已知點(diǎn)A(3，2)，B(－1，4)，則經(jīng)過點(diǎn)C(2，5)且經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)的直線方程為________．解析：AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，3)，由直線的兩點(diǎn)式方程可得＝，即2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝0 

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高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)電子課本

1.2 直線的方程

版本： 蘇教版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修第一冊(cè)

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