導(dǎo)語(yǔ)
前面我們已經(jīng)得到了兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，關(guān)于平面上的距離問題，兩條平行直線間的距離也是值得研究的．
一、兩條平行直線間的距離
問題1 已知兩條平行直線l1，l2的方程，如何求l1與l2間的距離？
提示 根據(jù)兩條平行直線間距離的含義，在直線l1上取任一點(diǎn)P(x0，y0)，點(diǎn)P(x0，y0)到直線l2的距離就是直線l1與直線l2間的距離，這樣求兩條平行直線間的距離就轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離．
問題2 怎樣求兩條平行直線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離？
提示 在直線Ax＋By＋C1＝0上任取一點(diǎn)P(x0，y0)，點(diǎn)P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C2＝0的距離，就是這兩條平行直線間的距離即d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C2|,\r(A2＋B2))，
因?yàn)辄c(diǎn)P(x0，y0)在直線Ax＋By＋C1＝0上，
所以Ax0＋By0＋C1＝0，
即Ax0＋By0＝－C1，
因此d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C2|,\r(A2＋B2))＝eq \f(|－C1＋C2|,\r(A2＋B2))＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
知識(shí)梳理
1．兩條平行直線間的距離：指夾在這兩條平行直線間的公垂線段的長(zhǎng)．
2．公式：兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同時(shí)為0，C1≠C2)之間的距離d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
注意點(diǎn)：
(1)兩平行直線間的距離可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離．
(2)運(yùn)用兩平行直線間的距離公式時(shí)，必須保證兩直線方程中x，y的系數(shù)分別對(duì)應(yīng)相同．
例1 (1)(教材P78例7改編)求兩平行直線l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0間的距離．
解 由題意，將l2的方程化為3x＋5y＋eq \f(5,2)＝0，
所以d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－\f(5,2))),\r(32＋52))＝eq \f(\f(3,2),\r(34))＝eq \f(3\r(34),68).
(2)若傾斜角為45°的直線m被直線l1：x＋y－1＝0與l2：x＋y－3＝0所截得的線段為AB，則AB的長(zhǎng)為( )
A．1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D．2
答案 B
解析 由題意，可得直線m與直線l1，l2垂直，則由兩平行線間的距離公式，
得|AB|＝eq \f(|－1＋3|,\r(12＋12))＝eq \r(2).
反思感悟 求兩條平行直線間距離的兩種方法
(1)轉(zhuǎn)化法：將兩條平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上一點(diǎn)到另一條直線的距離，即化線線距為點(diǎn)線距來(lái)求．
(2)公式法：設(shè)直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，則兩條平行直線間的距離d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
跟蹤訓(xùn)練1 已知直線5x＋12y－3＝0與直線10x＋my＋20＝0平行，則它們之間的距離是( )
A．1 B．2 C.eq \f(1,2) D．4
答案 A
解析 由兩條直線平行可得eq \f(5,10)＝eq \f(12,m)，解得m＝24.
則直線10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0，
由兩條平行直線間的距離公式得d＝eq \f(|－3－10|,\r(52＋122))＝1.
二、由平行直線間的距離求參數(shù)
例2 已知直線l與直線l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距離相等，則l的方程是________．
答案 2x－y＋1＝0
解析 方法一 由題意可設(shè)l的方程為2x－y＋c＝0，
于是有eq \f(|c－3|,\r(22＋?－1?2))＝eq \f(|c－?－1?|,\r(22＋?－1?2))，
即|c－3|＝|c＋1|，解得c＝1，
則直線l的方程為2x－y＋1＝0.
方法二 由題意知l必介于l1與l2中間，
故設(shè)l的方程為2x－y＋c＝0，
則c＝eq \f(3＋?－1?,2)＝1.
則直線l的方程為2x－y＋1＝0.
反思感悟 由兩條平行直線間的距離求參數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為兩平行直線間的距離問題．
跟蹤訓(xùn)練2 (多選)若直線x－2y－1＝0與直線x－2y－c＝0的距離為2eq \r(5)，則實(shí)數(shù)c的值為( )
A．9 B．－9 C．11 D．－11
答案 BC
解析 ∵直線x－2y－1＝0與直線x－2y－c＝0的距離為2eq \r(5)，
∴eq \f(|－1＋c|,\r(5))＝2eq \r(5)，
解得c＝11或c＝－9.
三、平行直線間的距離的最值問題
例3 兩條互相平行的直線分別過點(diǎn)A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自繞著A，B旋轉(zhuǎn)，如果兩條平行直線間的距離為d.求：
(1)d的變化范圍；
(2)當(dāng)d取最大值時(shí)，兩條直線的方程．
解 (1)如圖，顯然有00)在x軸、y軸上的截距相等，則直線l1與直線l2：x＋y－1＝0間的距離為( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \r(2)
C.eq \f(\r(2),2)或eq \r(2) D．0或eq \r(2)
答案 B
解析 ∵直線l1：mx＋2y－4－m＝0(m>0)在x軸、y軸上的截距相等，
∴eq \f(m＋4,m)＝eq \f(m＋4,2)，∴m＝2，
∴直線l1：2x＋2y－4－2＝0，即x＋y－3＝0，
則直線l1與直線l2：x＋y－1＝0間的距離為eq \f(|－1＋3|,\r(2))＝eq \r(2).
12．(多選)兩條平行直線l1，l2分別過點(diǎn)P(－1,3)，Q(2，－1)，它們分別繞P，Q旋轉(zhuǎn)，但始終保持平行，則l1，l2之間的距離可能取值為 ( )
A．1 B．3 C．5 D．7
答案 ABC
解析 當(dāng)兩直線l1，l2與直線PQ垂直時(shí)，兩平行直線l1，l2間的最大距離為|PQ|＝eq \r(?－1－2?2＋[3－?－1?]2)＝5，所以l1，l2之間距離的取值范圍是(0,5]．
13．直線l1，l2分別過點(diǎn)M(1,4)，N(－3,1)，它們分別繞點(diǎn)M和N旋轉(zhuǎn)，但必須保持平行，那么它們之間的距離d的最大值是( )
A．5 B．4 C.eq \r(13) D．3
答案 A
解析 根據(jù)題意畫出圖象，如圖所示，
根據(jù)圖象可得當(dāng)l1∥l2，且l1⊥MN，l2⊥MN時(shí)，l1與l2之間的距離為|MN|；
當(dāng)l1∥l2，但是l1與MN不垂直，l2與MN不垂直時(shí)，過M點(diǎn)向l2引垂線，垂足為P，則l1與l2之間的距離為|MP|；
因?yàn)閨MN|>|MP|，所以dmax＝|MN|＝eq \r([1－?－3?]2＋?4－1?2)＝5.
14．若某直線被兩平行直線l1：x－y＋1＝0與l2：x－y＋3＝0所截得的線段的長(zhǎng)為2eq \r(2)，則該直線的傾斜角大小為________．
答案 15°或75°
解析 由兩平行直線的距離公式，可得直線l1：x－y＋1＝0與l2：x－y＋3＝0的距離為d＝eq \f(|3－1|,\r(2))＝eq \r(2)，又直線被兩平行直線l1：x－y＋1＝0與l2：x－y＋3＝0所截得的線段的長(zhǎng)為2eq \r(2)，即該直線與直線l1所成角為30°，又直線l1的傾斜角為45°，則該直線的傾斜角大小為15°或75°.
15.如圖，已知直線l1：x＋y－1＝0，現(xiàn)將直線l1向上平移到直線l2的位置，若l2，l1和坐標(biāo)軸圍成的梯形的面積為4，則l2的方程為_______________．
答案 x＋y－3＝0
解析 設(shè)l2的方程為y＝－x＋b(b>1)，
則圖中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)．
所以AD＝eq \r(2)，BC＝eq \r(2)b.
梯形的高h(yuǎn)就是兩平行直線l1與l2的距離，
故h＝eq \f(|b－1|,\r(2))＝eq \f(b－1,\r(2))(b>1)，
由梯形面積公式得eq \f(\r(2)＋\r(2)b,2)×eq \f(b－1,\r(2))＝4，
所以b2＝9，b＝±3.
又b>1，所以b＝3.
所以所求直線l2的方程是x＋y－3＝0.
16．已知三條直線l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直線l2：4x－2y－1＝0和直線l3：x＋y－1＝0，且l1和l2的距離是eq \f(7\r(5),10).
(1)求a的值；
(2)能否找到一點(diǎn)P，使得P點(diǎn)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①P是第一象限的點(diǎn)；②P點(diǎn)到l1的距離是P點(diǎn)到l2的距離的eq \f(1,2)；③P點(diǎn)到l1的距離與P點(diǎn)到l3的距離之比是eq \r(2)∶eq \r(5)？若能，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解 (1)l2的方程即為2x－y－eq \f(1,2)＝0，
∴l(xiāng)1和l2的距離d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))),\r(22＋?－1?2))＝eq \f(7\r(5),10)，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)))＝eq \f(7,2).
∵a>0，∴a＝3.
(2)設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，若P點(diǎn)滿足條件②，則P點(diǎn)在與l1和l2平行的直線l′：2x－y＋c＝0上，
且eq \f(|c－3|,\r(5))＝eq \f(1,2)×eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(c＋\f(1,2))),\r(5))，
即c＝eq \f(13,2)或c＝eq \f(11,6).
∴2x0－y0＋eq \f(13,2)＝0或2x0－y0＋eq \f(11,6)＝0.
若點(diǎn)P滿足條件③，由點(diǎn)到直線的距離公式，得
eq \f(|2x0－y0＋3|,\r(5))＝eq \f(\r(2),\r(5))·eq \f(|x0＋y0－1|,\r(2))，
∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.
∵點(diǎn)P在第一象限，
∴3x0＋2＝0不符合題意．
聯(lián)立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x0－y0＋\f(13,2)＝0，,x0－2y0＋4＝0，))
解得x0＝－3，y0＝eq \f(1,2)，應(yīng)舍去．
聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x0－y0＋\f(11,6)＝0，,x0－2y0＋4＝0，))
解得x0＝eq \f(1,9)，y0＝eq \f(37,18).
所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)，\f(37,18)))即為同時(shí)滿足三個(gè)條件的點(diǎn)．

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2.3 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

版本： 人教A版 (2019)

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