1. 經歷探索一些問題時，由于“直觀判斷不可靠”、“直觀無法做出確定判斷”，但運用已有的數學知識和方法可以確定一個數學結論的正確性的過程，初步感受證明的必要性。2. 嘗試用證明的方法解決問題，體驗證明須步步有據，培養(yǎng)學生嚴密分析問題的能力。3. 通過實驗、操作、探索，培養(yǎng)學生辨證分析問題的能力和逆向思維的能力；懂得任何事物都是正反兩方面的對立統(tǒng)一體。
1.體會眼見未必為實，感受證明的重要性。
1.學會用數學知識和方法證明解決問題。
觀察圖片，藍色的粗線是直的嗎？
觀察圖形，一組直線a，b，c，d是否都互相平行？
在圖12-1中，兩條線段AB與CD哪一條長一些？
看上去線段AB比線段CD長．
通過度量線段AB、CD的長度，可以證實：線段CD比線段AB長．
把圖12-2(1)長方形草坪中間lm寬的直道，改成圖12-2(2)中處處1m寬的“曲徑”. 這兩條小道的面積相等嗎？
如果將圖12-2(2）中小道左邊的草坪向右平移1m，那么得到一個長為（a-1)m、寬為bm的長方形（如圖12-3)，它的面積為b(a-1)m2.于是，“曲徑”的面積為ab-b(a-1)=ab-ab+b=b(m2).由圖12-2(1）可知直道的面積為1×b=b(m2).
通過圖形的平移和計算，可以證實：兩條小道的面積等．
如圖，在長方形ABCD中，橫向陰影部分是長方形，另一陰影部分是平形四邊形，根據圖中標明的數據，計算空白部分的面積？
點拔：這里通過平移，避免了對圖形分別計算面積，使求解簡潔方便.
析解：利用“平移不改變圖形的形狀與大小”這一性質可以迅速解決本題.由圖可知，四個空白四邊形經過平移可以組成一個長方形，它的長為（a-c)，寬為(b-c)，所以空白部分的面積為：（a-c)(b-c)=ab-ac-bc+c2
1．圖12-4(l）是一張8×8的正方形紙片，把它剪成4塊，按圖12-4(2）重新拼合.
這4塊紙片恰好能拼成一個長為13、寬為5的長方形嗎？
2．畫∠AOB=90°，并畫∠AOB的平分線OC.（1）把三角尺的直角頂點落在OC的任意一點P上，使三角尺的兩條直角邊分別與OA、OB相交于點E、F（如圖12-5(1)）.度量PE、PF的長度，這兩條線段相等嗎？（2）把三角尺繞點P旋轉（如圖12-5(2)），PE與PF相等嗎？
在后續(xù)的學習中，可以證實：圖12-4(2)不是長方形；圖12-5中PE與PF相等．
　如圖的圖案是一個軸對稱圖形（不考慮顏色），直線l 是它的一條對稱軸.已知圖中圓的半徑為r，求綠色部分的面積.
　　解：如果以直線l為對稱軸，把l左邊綠色部分反射到l的右邊，那么它們的像恰好填補了右邊白色部分．所以圖中的綠色部分的面積等于半圓的面積是 .
命題，有真命題，也有假命題.要說明一個命題是假命題，只要舉出反例即可. 要說明一個命題是真命題，則要從命題的條件出發(fā)，根據已學過的基本事實、定義、性質、和定理等，進行有理有據的推理.這種推理的過程叫做證明(prf).經過證明的真命題稱為定理（therem).
想一想：（1）根據“兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等”.你能作出相關的圖形嗎？（2）你能根據所作的圖形寫出已知、求證嗎？（3）你能說說證明的思路嗎？
　　已知，如圖，　直線a//b，　∠1和∠2是直線a、b被直線c截出的內錯角.　　求證：∠1＝∠2
已知：如圖，直線a∥b， ∠1和∠2 是直線a、b被直線 c截出的內錯角 . 求證：∠1=∠2
證明：∵a∥b ( )
∴∠3=∠2 ( )
∵ ∠3=∠1 ( )
∴∠1=∠2 ( )
兩直線平行，同位角相等
做一做：　　兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補．
已知：如圖，直線a//b，∠1和∠2是直線a，b被直線c截出的同旁內角．求證：∠1+∠2＝180°
已知：如圖，直線a//b，∠1和∠2是直線a，b被直線c截出的同旁內角．　　求證：∠1+∠2＝180°
證明的一般步驟：第一步：根據題意，畫出圖形．　　先根據命題的條件即已知事項，畫出圖形，再把命題的結論即求證的需要在圖上標出必要的字母或符號，以便于敘述或推理過程的表達．第二步：根據條件、結論，結合圖形，寫出已知、求證.把命題的條件化為幾何符號的語言寫在已知中，命題的結論轉化為幾何符號的語言寫在求證中．第三步：經過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程．　一般情況下，分析的過程不要求寫出來，有些題目中，已經畫出了圖形，寫好了已知、 求證，這時只要寫出“證明”一項就可以了．
例1 已知：如圖12-7，直線AB、CD被直線EF所截，AB∥CD，MG平分∠EMB，NH平分∠END.求證：MG∥NH.
證明：∵AB∥CD（已知），∴∠EMB=∠END（兩直線平行，同位角相等）.∵MG平分∠EMB，NH平分∠END（已知），∴∠EMG= ∠EMB，∠ENH= ∠END（角平分線的定義）.∴∠EMG=∠ENH（等量代換）.∴MG∥NH（同位角相等，兩直線平行）.
根據下列命題，畫出圖形，并結合圖形 寫出已知、求證(不寫證明過程)： （1）垂直于同一直線的兩直線平行；
已知：直線b⊥a ， c⊥a
（2）一個角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等；
已知：如圖，OC是∠AOB的平分線， EF⊥OA于F ， EG⊥OB于G求證：EF=EG
（3）如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.
已知：如圖，直線a，b，c被直線d所截，且a∥b ，c∥b，求證：a∥c
對于三角形，我們已經有哪些認識？
實驗1：先將紙片三角形一角折向其對邊，使頂點落在對邊上，折線與對邊平行（圖1），然后把另處兩角相向對折，使其頂點與已折角的頂點相嵌合（圖2）、（圖3），最后得到（圖4）所示的結果.
求證：三角形三個內角的和等于180o.
實驗2： 將紙片三角形頂角剪下，隨意將它們拼湊在一起.
在證明三角形內角和時，小明的想法是把三個角“湊”到A處，他過點A作直線DE//BC，（如圖）.他的想法可行嗎？
證明　過點A作DE∥BC.則∠C＝∠CAE，∠B＝∠BAD（兩直線平行，內錯角相等）∴∠BAC+∠B+∠C＝∠BAC+∠BAD+∠CAE?。健螪AE＝180o（平角的定義）
你還有其他的證明方法么？
3、添加輔助線，可構造新圖形，形成新關系，找到聯(lián)系已知與未知的橋梁，把問題轉化，要根據需要而定，平時做題時要注意總結.
2、它的作用是把分散的條件集中，把隱含的條件顯現(xiàn)出來，起到牽線搭橋的作用.
1、輔助線是為了證明需要在原圖上添畫的線.（輔助線通常畫成虛線）
三角形內角和定理：三角形的三個內角的和等于180°.
三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和.
三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角.
如圖，∠ACD是△ABC的一個外角
∠ACD =∠A+∠B
1、三角形內角和定理 三角形三個內角的和等于1800.△ABC中，∠A+∠B+∠C=1800.
3、三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角
∴∠1+∠2 ＝ ∠Ａ+∠Ｂ
∴ ∠ACD >∠A， ∠ACD >∠B
三角形內角和定理的幾何表述：
例2 已知：如圖12-9，AC、BD相交于點O.求證：∠A+ ∠B= ∠C+ ∠D.
證明：在△AOB中， ∠A+ ∠B+ ∠AOB=180 °（三角形三個內角的和等于180 °）.∴ ∠A+ ∠B=180 °-∠AOB（等式性質）.在△COD中，同理可得∠C+ ∠D=180 °-∠COD.∵∠AOB= ∠COD（對頂角相等）.∴ ∠A+ ∠B=∠C+ ∠D（等量代換）.
已知命題：如圖，點A，D，B，E在同一直線上，且AD＝BE，AC∥DF，則△ABC≌△DEF.這個命題是真命題還是假命題？
如果是真命題，請給出證明；
如果是假命題，請?zhí)砑舆m當的條件，使它成為真命題.你有幾種不同的添加方法？
1．圖中兩條線段AB與BC的長度相等嗎？請你先觀察，再度量．
觀察AB與BC，容易得到AB比BC長．
經過度量，得到AB=BC，可見直接觀察是不準確的．
2．圖中兩組圓的中央各有一個圓，這兩個圓一樣大嗎？請你先觀察，在度量．
觀察兩個圓，容易得到周圍是小圓的圓較大．
經過度量，兩個圓的大小是相等的，觀察是不準確的．
3．（1）任意寫2個相鄰偶數，計算較大偶數的平方 減去較小偶數的平方差；（2）換2個相鄰偶數，仿照（1）再試試，你發(fā)現(xiàn)了什么？（3）證實你發(fā)現(xiàn)的結論．
（1）例如：取4，2；則42-22=12．
（2）例如：取8，6；則82-62=28． 發(fā)現(xiàn)（2（n+1））2-（2n）2=4（2n+1）（n為正整數）．
（3）證明：取n為正整數，則一偶數為2n，相鄰的偶數可取2（n+1）；（2（n+1））2-（2n）2=4（n2+2n+1）-4n2=4（2n+1）．
填寫下列推理中的空格（第1、2題）：1．如圖，點A、B、E在一條直線上．（1）∵∠1=∠3（已知）∴AB∥DC（ ）；（2）∵∠DAE=∠CBE（已知），∴AD∥BC（ ）；（3）∵∠CDA+∠DAB=180?（已知），∴AB∥DC（ ）；（4）∠2=∠4（已知），∴___________∥___________（內錯角相等，兩直線平行）；　
內錯角相等，兩直線平行
同位角相等，兩直線平行
同旁內角互補，兩直線平行
（5）∵∠DCB+∠ABC=180?（已知），∴___________∥____________（同旁內角互補，兩直線平行）；（6）∵∠DAB+∠ABC=180?（已知），∴___________∥____________（同旁內角互補，兩直線平行）．
2．已知：如圖，∠BAD=∠DCB，∠1=∠3．求證：AD∥BC．證明：∵∠BAD=∠DCB，∠1=∠3（ ），∴∠BAD-∠_________=∠DCB-∠_________（等式性質），即 ∠___________=∠___________．∴AD∥BC（ ）．
3．已知：如圖，a∥b，c∥d，∠1=50?．求證：∠2=130?．
證明：在圖上另取兩個角∠3，∠4，如圖所示：∵ c∥d ，∴∠1=∠3（兩直線平行，同位角相等）；又∵ a∥b，∴∠3=∠4（兩直線平行，同位角相等）；∴∠1= ∠4，∴∠2=180?- ∠4=180?-∠1=130?
已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，E是BC延長線上一點，∠EAC=∠B．求證：∠ADE=∠DAE．
證明：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD=∠DAC；∵∠BAD+∠B= ∠ADE（三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內角和）， ∠EAC+ ∠DAC= ∠DAE；又∵ ∠EAC=∠B，∴ ∠ADE=∠DAE．
經過剛才的“證明”之旅，你能說出完整的幾何命題證明需要哪幾個步驟嗎？
（1）根據題意，畫出圖形.
（2）在“已知”中寫出條件， 在“求證”中寫出結論.
（3）在“證明”中寫出推理過程，并且步步有據.

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12.2 證明

版本： 蘇科版（2024）

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