專題一       導(dǎo)數(shù)與切線例題1．已知函數(shù).求曲線在點(diǎn)處的切線方程;解：(1)由題意得，所以又因?yàn)?/span>，所以切線方程為整理得.鞏固1．函數(shù).求曲線在點(diǎn)處的切線方程；解：（1）因?yàn)?/span>的定義域?yàn)?/span>，所以，因此，即曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；例題2．設(shè)函數(shù)，求曲線過原點(diǎn)的切線方程；解：（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以.所以切線方程為.又因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)，所以所以，所以故所求切線方程為.鞏固2．已知函數(shù).經(jīng)過點(diǎn)（-1，-2）作函數(shù)圖像的切線，求該切線的方程.解：設(shè)切點(diǎn)為，則，，解得，故切線方程為，即.例題3．已知函數(shù)f(x)＝x－1＋ (a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．（1）若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f（1）)處的切線平行于x軸，求a的值；（2）當(dāng)a＝1時(shí)，若直線l：y＝kx－1與曲線y＝f(x)相切，求l的直線方程．解：（1）f′(x)＝1－，因?yàn)榍€y＝f(x)在點(diǎn)(1，f（1）)處的切線平行于x軸，所以f′（1）＝1－＝0，解得a＝.（2）當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x－1＋，f′(x)＝1－.設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，∵f(x0)＝x0－1＋＝kx0－1，①f′(x0)＝1－＝k，②①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0.若k＝1，則②式無解，∴x0＝－1，k＝1－e.∴l的直線方程為y＝(1－e)x－1.鞏固3．已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）， ∴切線斜率，∴曲線在處的切線方程為，∴即；（2）過點(diǎn)向曲線作切線，設(shè)切點(diǎn)為，則，∴切線方程，即，∴有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，記，令或1，則的變化情況如下表01+0-0+極大極小當(dāng)有極大值；有極小值.因?yàn)檫^點(diǎn)可作曲線的三條切線，則，即，解得，所以的范圍是.【素養(yǎng)提升】1.已知函數(shù),若直線過點(diǎn),且與曲線相切,則直線的斜率為　　A． B．2 C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,設(shè)切點(diǎn)為,則,可得切線的斜率為,所以,解得,,故選B．2.若對(duì)恒成立,則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】……①……②聯(lián)立①②,解得：,則,切線方程為：,即,故選3.已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16.直線l為曲線y＝f(x)的切線,且經(jīng)過原點(diǎn),求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).【分析】設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),整理出關(guān)于的方程,解方程求出切點(diǎn)(x0,y0),再用點(diǎn)斜式寫出方程.【解析】法一：設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則直線l的斜率為f′(x0)＝3＋1,∴直線l的方程為y＝(3＋1)(x－x0)＋＋x0－16,又∵直線l過點(diǎn)(0,0),∴0＝(3＋1)(－x0)＋＋x0－16,整理得, ＝－8,∴x0＝－2,∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26,k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直線l的方程為y＝13x,切點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,－26)．法二：設(shè)直線l的方程為y＝kx,切點(diǎn)為(x0,y0),則k＝＝,又∵k＝f′(x0)＝3＋1,∴＝3＋1,解之得x0＝－2,∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26,k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直線l的方程為y＝13x,切點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,－26)．4.已知過點(diǎn)且與曲線相切的直線的條數(shù)有（    ）．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】設(shè)切點(diǎn)為,則,由于直線l經(jīng)過點(diǎn)（2,1）,可得切線的斜率,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)處的切線斜率,建立關(guān)于的方程,通過解方程確定切點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解析】若直線與曲線切于點(diǎn),則,又∵,∴,∴,解得,,∴過點(diǎn)與曲線相切的直線方程為或,故選C．5.已知直線即是曲線的切線,又是曲線的切線,則直線在軸上的截距為A．2 B．1 C． D．.【答案】B【分析】設(shè)出直線l與兩曲線的切點(diǎn),分別求出兩曲線在切點(diǎn)處的切線方程,由斜率與截距相等列式求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo),代入切線方程,則答案可求．【解析】設(shè)直線l與曲線C1：y＝ex的切點(diǎn)為（）,與曲線C2：ye2x2的切點(diǎn)為（）,由y＝ex,得,由ye2x2,得,∴直線l的方程為,或,則,解得x1＝x2＝2．∴直線l的方程為：y﹣e2＝e2（x﹣2）,取y＝0,可得x＝1．∴直線l在x軸上的截距為1．故選B．6．若點(diǎn)P是函數(shù)y=圖象上任意一點(diǎn),直線l為點(diǎn)P處的切線,則直線l斜率的范圍是（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】C【解析】∵ ．∵1＜sin2x≤1,∴0＜1+sin2x≤2,∴,則．∴直線l斜率的范圍是[1,+∞）．故選C．7．設(shè)曲線,在曲線上一點(diǎn)處的切線記為,則切線與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為A． B． C． D．【答案】C【解析】    方程為：,即由得：即：,,,曲線C與l的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為：3個(gè),故選C。8．若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)公切線與函數(shù),分別切于點(diǎn),,則過A，B的切線分別為：、,兩切線重合,則有：代入得：,構(gòu)造函數(shù)：,,.,,.,,,,∴,.欲合題意,只須.9．已知函數(shù),若函數(shù)的圖象上存在點(diǎn),使得在點(diǎn)處的切線與的圖象也相切,則的取值范圍是（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】B【解析】的公共切點(diǎn)為,設(shè)切線與的圖象相切與點(diǎn), 由題意可得 ,解得 所以 ,令 則令,解得 ,當(dāng) 時(shí), 當(dāng) 時(shí), ,函數(shù)在上單調(diào)遞增當(dāng) 時(shí), ,函數(shù)在上單調(diào)遞減當(dāng)t從右側(cè)趨近于0時(shí), 趨近于0, 當(dāng)t趨近于 時(shí), 趨近于0所以 ,故選B10．若是函數(shù)的極值點(diǎn),則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是______．【答案】【解析】由題得.所以.所以切點(diǎn)為（1,-e）,所以切線方程為.故答案為：11．若函數(shù)與函數(shù),在公共點(diǎn)處有共同的切線,則實(shí)數(shù)的值為______．【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,,,設(shè)曲線與曲線公共點(diǎn)為,由于在公共點(diǎn)處有共同的切線,∴,解得,．由,可得．聯(lián)立,解得．故答案為．12．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí),求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（2）當(dāng)時(shí),求證：過點(diǎn)恰有2條直線與曲線相切．【解析】（1）當(dāng)a＝3時(shí),f（x）＝x3﹣3x2,f'（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2）．當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f'（x）≤0,所以f（x）在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減．所以f（x）在區(qū)間[0,2]上的最小值為f（2）＝﹣4．（2）設(shè)過點(diǎn)P（1,f（1））的曲線y＝f（x）的切線切點(diǎn)為（x0,y0）,f'（x）＝3x2﹣2ax,f（1）＝1﹣a,所以所以．令g（x）＝2x3﹣（a+3）x2+2ax+1﹣a,則g'（x）＝6x2﹣2（a+3）x+2a＝（x﹣1）（6x﹣2a）,令g'（x）＝0得x＝1或,因?yàn)?/span>a＞3,所以．x（﹣∞,1）1 g′（x）+0﹣0+g（x）↗極大值↘極小值↗ ∴g（x）的極大值為g（1）＝0,g（x）的極小值為,所以g（x）在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)x＝1．因?yàn)?/span>g（a）＝2a3﹣（a+3）a2+2a2+1﹣a＝（a﹣1）2（a+1）＞0,所以g（x）在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．所以g（x）在R上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)．即方程有且只有兩個(gè)不相等實(shí)根,所以過點(diǎn)P（1,f（1））恰有2條直線與曲線y＝f（x）相切．     

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