專(zhuān)題四       導(dǎo)數(shù)與恒成立例題1．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1），.當(dāng)時(shí)，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由題意知在上恒成立，即恒成立，令，其中，則.當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.例題2．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，若，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解：（1）令，得當(dāng)時(shí)，恒成立，且僅在時(shí)取等號(hào)，故在R上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，在區(qū)間和上，在區(qū)間上，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，在區(qū)間上．所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）當(dāng)時(shí)，由題意可知，在上恒成立，即在上恒成立設(shè)，則令得；令得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是.例題3．已知函數(shù)，且.（1）求的解析式；（2）設(shè)，若對(duì)任意，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1），，則，解得，因此，；（2）①當(dāng)時(shí)，則成立，此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，由題意得恒成立，令，其中，得，以下只需求.，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以，所以.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.例題4．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意，函數(shù)，可得的定義域?yàn)?/span>，且.由，即，解得，由，即，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）因?yàn)?/span>恒成立，即對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故時(shí)，取最小值，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.例題5．已知函數(shù)其中（1）討論的單調(diào)性；（2）若當(dāng)時(shí)恒成立，求的取值范圍.解：（1）若在(0，1)內(nèi)單增，在內(nèi)單減.若由知，.當(dāng)即時(shí)，此時(shí)在內(nèi)單增.當(dāng)時(shí)，此時(shí)在內(nèi)單增,在內(nèi)單減.綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單增.當(dāng)，在內(nèi)單增,在內(nèi)單減.當(dāng)時(shí)，在(0，1)內(nèi)單增，在內(nèi)單減.（2）即 即即，令則令.所以在時(shí)單增，，因此，在時(shí)單增，，于是故的取值范圍是例題6．已知函數(shù)，（1）若，求?在處的切線方程；（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，，則，在處的切線方程為，即.在處的切線方程為，即.（2）若在上恒成立即即在上恒成立令，，①當(dāng)，恒成立，在上遞增，，符合題意；②當(dāng)時(shí)，在上遞增，.在上遞增，又，若，即時(shí)，恒成立，同①，符合題意；若，即時(shí)，存在，使，時(shí)，，時(shí)，，在遞減，在上遞增，而，故不滿足恒成立.綜上，.鞏固1．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.解：（Ⅰ）定義域是，，令.當(dāng)，即時(shí)，恒成立，即，所以的單調(diào)增區(qū)間為，無(wú)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，，.若，由，得，，，所以在成立，即，所以的單調(diào)增區(qū)間為，無(wú)遞減區(qū)間；若，由，得，，，由得的范圍是，由得的范圍是，所以當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，的單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)遞減區(qū)間.（Ⅱ）由，得，即，即在上恒成立.由（Ⅰ）知當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，又，所以當(dāng)時(shí)，恒成立.由（Ⅰ）知當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，得，，不符合題意.綜上所述，的取值范圍是.【素養(yǎng)提升】1.已知函數(shù)f(x)＝(x＋a－1)ex，g(x)＝x2＋ax，其中a為常數(shù)．(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；(2)若對(duì)任意的x∈[0，＋∞)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)因?yàn)?/span>a＝2，所以f(x)＝(x＋1)ex，所以f(0)＝1，f′(x)＝(x＋2)ex，所以f′(0)＝2，所以所求切線方程為2x－y＋1＝0.(2)令h(x)＝f(x)－g(x)，由題意得h(x)min≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立，因?yàn)?/span>h(x)＝(x＋a－1)ex－x2－ax，所以h′(x)＝(x＋a)(ex－1)．①若a≥0，則當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，h′(x)≥0，所以函數(shù)h(x)在 [0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以h(x)min＝h(0)＝a－1，則a－1≥0，得a≥1.②若a<0，則當(dāng)x∈[0，－a)時(shí)，h′(x)≤0；當(dāng)x∈(－a，＋∞)時(shí)，h′(x)>0，所以函數(shù)h(x)在[0，－a)上單調(diào)遞減，在(－a，＋∞)上單調(diào)遞增，所以h(x)min＝h(－a)，又因?yàn)?/span>h(－a)<h(0)＝a－1<0，所以不合題意．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，＋∞)．2.設(shè)函數(shù)f(x)＝(1－x2)ex.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≤ax＋1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)f′(x)＝(1－2x－x2)ex，令f′(x)＝0，得x＝－1±，當(dāng)x∈(－∞，－1－)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(－1－，－1＋)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(－1＋，＋∞)時(shí)，f′(x)<0.所以f(x)在(－∞，－1－)，(－1＋，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－1－，－1＋)上單調(diào)遞增．(2)令g(x)＝f(x)－ax－1＝(1－x2)ex－(ax＋1)，令x＝0，可得g(0)＝0.g′(x)＝(1－x2－2x)ex－a，令h(x)＝(1－x2－2x)ex－a，則h′(x)＝－(x2＋4x＋1)ex，當(dāng)x≥0時(shí)，h′(x)<0，h(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，故h(x)≤h(0)＝1－a，即g′(x)≤1－a，要使f(x)－ax－1≤0在x≥0時(shí)恒成立，需要1－a≤0，即a≥1，此時(shí)g(x)≤g(0)＝0，故a≥1.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞)．3.已知函數(shù)f(x)＝(a∈R)．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若?x∈[1，＋∞)，不等式f(x)>－1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)f′(x)＝，當(dāng)a≤－時(shí)，x2－2x－2a≥0，f′(x)≥0，∴函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增．當(dāng)a>－時(shí)，令x2－2x－2a＝0，解得x1＝1－，x2＝1＋.∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，1－)和(1＋，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1－，1＋)．(2)f(x)>－1?>－1?2a>x2－ex由條件知，2a>x2－ex對(duì)?x≥1恒成立．令g(x)＝x2－ex，h(x)＝g′(x)＝2x－ex，∴h′(x)＝2－ex.當(dāng)x∈[1，＋∞)時(shí)，h′(x)＝2－ex≤2－e<0，∴h(x)＝g′(x)＝2x－ex在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，∴h(x)＝2x－ex≤2－e<0，即g′(x)<0，∴g(x)＝x2－ex在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，∴g(x)＝x2－ex≤g(1)＝1－e，故若f(x)>－1在[1，＋∞)上恒成立，則需2a>g(x)max＝1－e，∴a>，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.4.（2018年新課標(biāo)I卷文）已知函數(shù)．（1）設(shè)是的極值點(diǎn)．求，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）f（x）的定義域?yàn)?/span>，f ′（x）=aex–．由題設(shè)知，f ′（2）=0，所以a=．從而f（x）=，f ′（x）=．當(dāng)0<x<2時(shí)，f ′（x）<0；當(dāng)x>2時(shí)，f ′（x）>0．所以f（x）在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增．（2）當(dāng)a≥時(shí)，f（x）≥．設(shè)g（x）=，則當(dāng)0<x<1時(shí)，g′（x）<0；當(dāng)x>1時(shí)，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值點(diǎn)．故當(dāng)x>0時(shí)，g（x）≥g（1）=0．因此，當(dāng)時(shí)，． 

相關(guān)試卷

專(zhuān)題37 導(dǎo)數(shù)證明恒成立問(wèn)題大題必刷100題：

這是一份專(zhuān)題37 導(dǎo)數(shù)證明恒成立問(wèn)題大題必刷100題，文件包含專(zhuān)題37導(dǎo)數(shù)證明恒成立問(wèn)題大題必刷100題原卷版docx、專(zhuān)題37導(dǎo)數(shù)證明恒成立問(wèn)題大題必刷100題解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共154頁(yè)， 歡迎下載使用。

高中數(shù)學(xué)高考第18講 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用——利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立（能成立）問(wèn)題（學(xué)生版）：

這是一份高中數(shù)學(xué)高考第18講 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用——利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立（能成立）問(wèn)題（學(xué)生版），共7頁(yè)。

高中數(shù)學(xué)高考第18講 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用——利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立（能成立）問(wèn)題（教師版）：

這是一份高中數(shù)學(xué)高考第18講 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用——利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立（能成立）問(wèn)題（教師版），共10頁(yè)。

英語(yǔ)朗讀寶
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
  • 1.電子資料成功下載后不支持退換，如發(fā)現(xiàn)資料有內(nèi)容錯(cuò)誤問(wèn)題請(qǐng)聯(lián)系客服，如若屬實(shí)，我們會(huì)補(bǔ)償您的損失
  • 2.壓縮包下載后請(qǐng)先用軟件解壓，再使用對(duì)應(yīng)軟件打開(kāi)；軟件版本較低時(shí)請(qǐng)及時(shí)更新
  • 3.資料下載成功后可在60天以內(nèi)免費(fèi)重復(fù)下載
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專(zhuān)區(qū)
  • 精品推薦
  • 所屬專(zhuān)輯11份
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專(zhuān)業(yè)更值得信賴(lài)
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

  • 0

    資料籃

  • 在線客服

    官方
    微信

    添加在線客服

    獲取1對(duì)1服務(wù)

  • 官方微信

    官方
    微信

    關(guān)注“教習(xí)網(wǎng)”公眾號(hào)

    打開(kāi)微信就能找資料

  • 免費(fèi)福利

    免費(fèi)福利
返回
頂部