第六章 重點(diǎn)突破訓(xùn)練：實(shí)數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用典例體系(本專題41題25頁)考點(diǎn)1：實(shí)數(shù)常規(guī)計(jì)算典例：(2020·邯鄲市復(fù)興區(qū)戶村中學(xué)初一期末)計(jì)算：(1)(2)方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考核知識點(diǎn)：實(shí)數(shù)運(yùn)算.解題關(guān)鍵點(diǎn)：熟記實(shí)數(shù)運(yùn)算法則.鞏固練習(xí)1．(2020·廣東陽東初一期末)計(jì)算：．2．(2020·遼寧西豐初一期末)計(jì)算：(1)(2)3．(2020·莆田第二十五中學(xué)初一期末)計(jì)算：．4．(2020·寧夏鹽池初一期末)計(jì)算：5．(2020·遼寧興城初二期末)計(jì)算：6．(2020·南丹縣八圩瑤族鄉(xiāng)初級中學(xué)初一期中)計(jì)算：考點(diǎn)2：自定義新運(yùn)算 典例：(2019·貴州安順初一期末)對于任意四個(gè)有理數(shù)a，b，c，d，可以組成兩個(gè)有理數(shù)對(a，b)與(c，d)．我們規(guī)定：(a，b)★(c，d)=bc－ad．例如：(1，2)★(3，4)=2×3－1×4=2．根據(jù)上述規(guī)定解決下列問題：(1)有理數(shù)對(2，－3)★(3，－2)=_______；(2)若有理數(shù)對(－3，2x－1)★(1，x+1)=7，則x=_______；(3)當(dāng)滿足等式(－3，2x－1)★(k，x＋k)=5＋2k的x是整數(shù)時(shí)，求整數(shù)k的值．方法或規(guī)律點(diǎn)撥定義新運(yùn)算是一種人為的、臨時(shí)性的運(yùn)算形式，是可以深刻理解數(shù)學(xué)本源的題型，它使用的是一些特殊的運(yùn)算符號，如：*、△、⊙，等，解答定義新運(yùn)算，關(guān)鍵是要正確地理解新定義的算式含義，然后嚴(yán)格按照新定義的計(jì)算程序，將數(shù)值代入，轉(zhuǎn)化為常規(guī)的四則運(yùn)算算式進(jìn)行計(jì)算. 鞏固練習(xí)1．(2020·金昌市金川總校第五中學(xué)初一期末)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義一種新運(yùn)算“△”，其規(guī)則為：a△b=a2﹣b2，根據(jù)這個(gè)規(guī)則：(1)求4△3的值；(2)求(x+2)△5=0中x的值．2．(2020·河北邢臺三中初一期末)對x，y定義一種新運(yùn)算T，規(guī)定：T(x，y)＝ax＋2by－1，(其中a，b均為非零常數(shù))，這里等式右邊是通常的四則運(yùn)算，例如：T(0，1)＝a·0＋2b·1－1＝2b－1．已知T(1，－1)＝－2，T(－3，2)＝4．(1)求a，b的值；(2)利用(1)的結(jié)果化簡求值：(a－4b)(4a－3b)－(2a＋b)(2a－b)3．(2020·江蘇錫山初一期末)定義一種新運(yùn)算“ab”：當(dāng)a≥b時(shí)，ab=a+2b；當(dāng)a＜b時(shí)，ab=a-2b．例如：3(-4)=3，．(1)填空：(-3) (-2)=　　   ；(2)若則x的取值范圍為　　；(3)已知，求x的取值范圍；  (4)利用以上新運(yùn)算化簡：．4．(2020·江蘇省泰興市濟(jì)川中學(xué)初二期末)定義新運(yùn)算：對于任意實(shí)數(shù)，、，都有，等式右邊是通常的加法、減法及乘法運(yùn)算，比如：(1)求，求的值；(2)若的值小于10，請判斷方程：的根的情況．考點(diǎn)3：實(shí)數(shù)與數(shù)軸典例：(2020·江蘇鎮(zhèn)江中考真題)(算一算)如圖①，點(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上，B為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)A表示﹣3，點(diǎn)B表示1，則點(diǎn)C表示的數(shù)為　 　，AC長等于　 　；(找一找)如圖②，點(diǎn)M、N、P、Q中的一點(diǎn)是數(shù)軸的原點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別表示實(shí)數(shù)﹣1、+1，Q是AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)　  是這個(gè)數(shù)軸的原點(diǎn)；(畫一畫)如圖③，點(diǎn)A、B分別表示實(shí)數(shù)c﹣n、c+n，在這個(gè)數(shù)軸上作出表示實(shí)數(shù)n的點(diǎn)E(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)；(用一用)學(xué)校設(shè)置了若干個(gè)測溫通道，學(xué)生進(jìn)校都應(yīng)測量體溫，已知每個(gè)測溫通道每分鐘可檢測a個(gè)學(xué)生．凌老師提出了這樣的問題：假設(shè)現(xiàn)在校門口有m個(gè)學(xué)生，每分鐘又有b個(gè)學(xué)生到達(dá)校門口．如果開放3個(gè)通道，那么用4分鐘可使校門口的學(xué)生全部進(jìn)校；如果開放4個(gè)通道，那么用2分鐘可使校門口的學(xué)生全部進(jìn)校．在這些條件下，a、m、b會有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？愛思考的小華想到了數(shù)軸，如圖④，他將4分鐘內(nèi)需要進(jìn)校的人數(shù)m+4b記作+(m+4b)，用點(diǎn)A表示；將2分鐘內(nèi)由4個(gè)開放通道檢測后進(jìn)校的人數(shù)，即校門口減少的人數(shù)8a記作﹣8a，用點(diǎn)B表示．①用圓規(guī)在小華畫的數(shù)軸上分別畫出表示+(m+2b)、﹣12a的點(diǎn)F、G，并寫出+(m+2b)的實(shí)際意義；②寫出a、m的數(shù)量關(guān)系：　 　．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，作圖．解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系．鞏固練習(xí)1．(2020·廣西防城港初一期中)我們在學(xué)習(xí)“實(shí)數(shù)”時(shí)畫了這樣一個(gè)圖，即“以數(shù)軸上的單位長為‘1’的線段作一個(gè)正方形，然后以原點(diǎn)O為圓心，正方形的對角線長為半徑畫弧交數(shù)軸于點(diǎn)A”，請根據(jù)圖形回答下列問題：(1)線段OA的長度是多少?(要求寫出求解過程)(2)這個(gè)圖形的目的是為了說明什么?(3)這種研究和解決問題的方式體現(xiàn)了     的數(shù)學(xué)思想方法.(將下列符合的選項(xiàng)序號填在橫線上) A．?dāng)?shù)形結(jié)合     B．代入    C．換元     D．歸納2．(2020·武漢七一華源中學(xué)初一月考)如圖，點(diǎn) A 表示，一只螞蟻從點(diǎn) A 沿?cái)?shù)軸向右直爬 2.5 個(gè)單位到達(dá)點(diǎn) B，設(shè)點(diǎn) B 所表示的數(shù)為 m，且 n+2.5 的平方根是 0．
(1) 求 m、n 的值；(2) 求 ? ? 4 ? ? ? 1 +的 值．3．(2020·四川三臺初二期中)實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)A，B的位置如圖，化簡.4．(2019·浙江永康初一期末)如圖，點(diǎn)是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)是1，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，．(1)求點(diǎn)表示的數(shù)；(2)數(shù)軸上的一點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)是，若點(diǎn)到，兩點(diǎn)的距離的和是15，求的值；(3)動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向右運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為秒，是否存在這樣的值，使，若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．5．(2020·湖北茅箭初二期中)已知a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡代數(shù)式-+|1-b|．6．(2019·湖北房縣初一期末)數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為10，點(diǎn)M，N分別以每秒a個(gè)單位長度、每秒b個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸運(yùn)動，a，b滿足|a－3|+(b－4)2=0．(1)請直接寫出a=　　　　，b=　　　；(2)如圖1，若點(diǎn)M從A出發(fā)沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動，到達(dá)原點(diǎn)后立即返回向右運(yùn)動；同時(shí)點(diǎn)N從原點(diǎn)O出發(fā)沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為t，點(diǎn)P為線段ON的中點(diǎn)．若MP=MA，求t的值；(3)如圖2，若點(diǎn)M從原點(diǎn)向右運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)N從原點(diǎn)向左運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為t．當(dāng)以M，N，O，A為端點(diǎn)的所有線段的長度和為94時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)．7．(2019·甘肅省慶陽市鎮(zhèn)原縣廟渠初級中學(xué)初一期中)如圖①,在直角三角形中， ,則有,即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，這就是著名的“勾股定理”．請利用上面的“勾股定理”，解決下面的問題:如圖②，在三角形中,,求的長；如圖③，線段垂直于數(shù)軸, ,請?jiān)跀?shù)軸上找出表示的點(diǎn)．8．(2020·浙江東陽初一期末)教材中的探究：如圖1，把兩個(gè)邊長為1的小正方形沿對角線剪開，所得的4個(gè)直角三角形拼成一個(gè)面積為2的大正方形．由此，得到了一種能在數(shù)軸上畫出無理數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的方法．(1)圖2中A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為　   　，　   　；(2)請你參照上面的方法，把長為5，寬為1的長方形進(jìn)行裁剪，拼成一個(gè)正方形．①在圖3中畫出裁剪線，并在圖4位置畫出所拼正方形的示意圖．②在數(shù)軸上分別標(biāo)出表示數(shù)以及﹣3的點(diǎn)，(圖中標(biāo)出必要線段長)考點(diǎn)4：實(shí)數(shù)運(yùn)算與規(guī)律探究典例：．(2020·山西交城初二期中)觀察下列式子變形過程，完成下列任務(wù)：(1)類比上述變形過程的基本思路，猜想的結(jié)果并驗(yàn)證；(2)算：.方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查算術(shù)平方根，根據(jù)題目給出的規(guī)律得出算術(shù)平方根的運(yùn)算結(jié)果是解題的關(guān)鍵，運(yùn)用了類比的思想方法．鞏固練習(xí)1．(2020·吉林長嶺初二期末)觀察下列各式：①，②；③，…(1)請觀察規(guī)律，并寫出第④個(gè)等式：　   　；(2)請用含n(n≥1)的式子寫出你猜想的規(guī)律：　   　；(3)請證明(2)中的結(jié)論．2．(2020·山東招遠(yuǎn)初三期中)閱讀下列材料，并解答問題：①；②；③；④；……(1)直接寫出第⑤個(gè)等式___________________________________；(2)用含n(n為正整數(shù))的等式表示你探索的規(guī)律；(3)利用你探索的規(guī)律，求＋＋＋…＋的值．3．(2020·河北泊頭初二期中)大家知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，1＜＜2，于是可用來表示的小數(shù)部分．請解答下列問題：(1)的整數(shù)部分是　        　，小數(shù)部分是　        　．(2)如果的小數(shù)部分為a，的整數(shù)部分為b，求a+b﹣的值．(3)已知：90+＝x+y，其中x是整數(shù)，且0＜y＜1，求x++59﹣y的平方根．4．(2020·沭陽縣修遠(yuǎn)中學(xué)初二月考)觀察下列等式：回答下列問題：(1)化簡：               (無需化為最簡二次根式)(2)化簡：               (為正整數(shù))(3)利用上面所揭示的規(guī)律計(jì)算(無需化為最簡二次根式)：5．(2020·云南西山初三學(xué)業(yè)考試)觀察下列等式：第個(gè)等式：第個(gè)等式：第個(gè)等式： 第個(gè)等式：按上述規(guī)律，回答以下問題：(1)請寫出第個(gè)等式：_                ；(2)計(jì)算：．6．(2020·全國初一課時(shí)練習(xí))閱讀下面的解答過程．計(jì)算：．解：因?yàn)?/span>，所以原式．根據(jù)以上解題方法計(jì)算：(1)________(n為正整數(shù))；(2)．(3)．7．(2020·湖南茶陵初二期末)觀察下列各式及其驗(yàn)證過程：按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過程的基本思路，猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證；針對上述各式反應(yīng)的規(guī)律，寫出用為任意自然數(shù)，且表示的等式，并說明它成立．考點(diǎn)5：實(shí)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題典例：(2020·河南鞏義初一期末)有一塊正方形鋼板，面積為16平方米．(1)求正方形鋼板的邊長．(2)李師傅準(zhǔn)備用它裁剪出一塊面積為12平方米的長方形工件，且要求長寬之比為，問李師傅能辦到嗎？若能，求出長方形的長和寬；若不能，請說明理由．(參考數(shù)據(jù)：，)．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查了算術(shù)平方根的實(shí)際應(yīng)用，靈活的利用算術(shù)平方根表示正方形和長方形的邊長是解題的關(guān)鍵.鞏固練習(xí)1．(2020·重慶綦江初二月考)(1)已知x=，求代數(shù)式x2+5x-6的值．(2)《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”翻譯成數(shù)學(xué)問題是：如圖所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的長．2．(2020·山西興縣初二期中)為了打贏湖北保衛(wèi)戰(zhàn)、武漢保衛(wèi)戰(zhàn)，4萬多名醫(yī)護(hù)人員逆行出征，約4萬名建設(shè)者從八方趕來，并肩奮戰(zhàn)，搶建火神山和雷神山醫(yī)院．他們?nèi)找棍閼?zhàn)，與病毒競速，創(chuàng)造了10天左右時(shí)間建成兩座傳染病醫(yī)院的“中國速度”！他們不畏風(fēng)險(xiǎn)，同困難斗爭，充分展現(xiàn)團(tuán)結(jié)起來打硬仗的“中國力量”，在建設(shè)過程中，有一位木工遇到了這樣一道數(shù)學(xué)題：有一塊矩形木板，木工采用如圖的方式，在木板上截出兩個(gè)面積分別為和的正方形木板．(1)求剩余木料的面積？(2)如果木工想從剩余的木料中截出長為，寬為的長方形木條，最多能截出_________塊這樣的木條．3．(2019·重慶北碚西南大學(xué)附中初二月考)“格子乘法”是15世紀(jì)中葉，意大利數(shù)學(xué)家帕喬利在《算術(shù)幾何及比例性質(zhì)摘要》一書中介紹的一種兩個(gè)數(shù)的相乘的計(jì)算方法．這種方法傳入中國之后，在明朝數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》書中被稱為“鋪地錦”具體步驟如下：①先畫一個(gè)矩形，把它分成p×q個(gè)方格(p，q分別為兩乘數(shù)的位數(shù))在方格上邊、右邊分別寫下兩個(gè)因數(shù)；②再用對角線把方格一分為二，分別記錄上述各位數(shù)字相應(yīng)乘積的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)；③然后這些乘積由右下到左上，沿對角線方向相加，相加滿十時(shí)向前進(jìn)一；④最后得到結(jié)果(方格左側(cè)與下方數(shù)字依次排列)．比如：(1)圖1是用“鋪地錦”計(jì)算x9×784的格子，則z＝　   　，x9×784＝　   　(2)圖2是用“鋪地錦”計(jì)算ab×cd的格子，已知ab×cd＝2176，求m和n的值．考點(diǎn)6：多項(xiàng)式化簡求值 典例：(2020·廣東中考真題)先化簡，再求值：，其中，．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查了完全平方公式、平方差公式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)的化簡求值，熟練掌握公式及運(yùn)算法則是解決此類題的關(guān)鍵．鞏固練習(xí)1．(2020·新疆中考真題)先化簡，再求值：，其中．2．(2020·吉林高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)開發(fā)區(qū)初三一模)先化簡，再求值：，其中＝－3，＝．3．(2020·右玉縣二中初二期中)已知，求x2+y2+2xy﹣2x﹣2y的值．4．(2020·吉林二道初三一模)先化簡，再求值：其中．5．(2020·鄱陽縣第二中學(xué)初二月考)利用平方根去括號可以用一個(gè)無理數(shù)構(gòu)造一個(gè)整系數(shù)方程．例如：時(shí)，移項(xiàng)，兩邊平方得，所以a2-2a+1=2，即a2-2a-1=0。仿照上述方法完成下面的題目，已知，求：(1)a2+a的值；(2)a3-2a+2020的值． 

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