2020-2021學(xué)年北京市順義區(qū)高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題  一、單選題1．已知全集，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)集合的運(yùn)算直接求解即可【詳解】由全集，則故選：B2．設(shè)命題，則為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】特稱命題的否定是全稱命題，先否定量詞，再否定結(jié)論.【詳解】命題，則為：故選：C3．已知實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則下列式子中正確的是（    ）
 A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖象可得，逐一分析選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】對(duì)于A：由圖象可得，所以，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?/span>，所以，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?/span>，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)，所以，即，故D錯(cuò)誤，故選：A4．三個(gè)實(shí)數(shù)，，的大小關(guān)系是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出與的大小關(guān)系，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出與的大小關(guān)系，由此可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】，，，因此，.故選：B.5．函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用零點(diǎn)存在性定理結(jié)合可得解.【詳解】函數(shù)為增函數(shù)，且， ，由零點(diǎn)存在性定理可知函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間為.故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)晴：應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理求解.6．“”是“”的（    ）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分必要條件的定義結(jié)合三角函數(shù)從而得到答案．【詳解】推不出，所以“”是“”非充分條件，推出，“”是“”必要條件.故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了必要不充分條件的判斷，考查了三角函數(shù)問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，是一道基礎(chǔ)題．7．單位圓圓周上的點(diǎn)以為起點(diǎn)做逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，分鐘轉(zhuǎn)一圈，分鐘之后從起始位置轉(zhuǎn)過的角是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可出關(guān)于的等式，即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)分鐘之后從起始位置轉(zhuǎn)過的角，由題意可得，解得.故選：D.8．在平面直角坐標(biāo)系中，角、角的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可知，點(diǎn)在角的終邊上，由此可求得的值.【詳解】由三角函數(shù)的定義可知，點(diǎn)在角的終邊上，由于角、角的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)在角的終邊上，所以，.故選：D.9．中國(guó)的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：.它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W，信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比.當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計(jì).按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至10000，則C大約增加了（    ）A．11% B．22% C．33% D．100%【答案】C【分析】根據(jù)題意，分別表示出等于1000和10000時(shí)對(duì)應(yīng)的，相比即可求得答案.【詳解】由題意得比較大時(shí)，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計(jì).所以，所以，所以C大約增加了33%.故選：C10．如圖，已知是半徑為，圓心角為的扇形，點(diǎn)、、分別是半徑、及扇形弧上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不同于、、三點(diǎn)），則關(guān)于的周長(zhǎng)說法正確的是（    ）A．有最大值，有最小值 B．有最大值，無最小值C．無最大值，有最小值 D．無最大值，無最小值【答案】C【分析】作出點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作出點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，利用、、、四點(diǎn)共線時(shí)，的周長(zhǎng)取得最小值可得出結(jié)論.【詳解】如下圖所示，作出關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作出點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接、，由對(duì)稱性可知，，由于，則，，則，所以，的周長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)、、、四點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，但的周長(zhǎng)無最大值.因此，的周長(zhǎng)有最小值，無最大值.故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查三角形周長(zhǎng)的最值問題的求解，求解此類問題的基本思路就是求得動(dòng)點(diǎn)關(guān)于所在直線的對(duì)稱點(diǎn)后，利用三角形兩邊之和大于第三邊的特點(diǎn)，利用四點(diǎn)共線時(shí)取得最值來求解.  二、填空題11．_______________ .【答案】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式三將角化為正角,再計(jì)算對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值.【詳解】.故答案為：.12．函數(shù)的定義域是___________.【答案】且【分析】根據(jù)真數(shù)大于0，分母不為0，即可求得答案.【詳解】由題意得，解得且，所以定義域?yàn)椋?/span>且故答案為：且13．已知是第三象限角，且，___________.【答案】【分析】由平方關(guān)系結(jié)合角所在象限可得，將條件代入可得答案.【詳解】已知是第三象限角，，則故答案為：14．若函數(shù)在其定義域上單增，且零點(diǎn)為2，則滿足條件的一個(gè)可能是____________.(寫出滿足條件的一個(gè)即可)【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)，寫出滿足題意的一個(gè)函數(shù)即可.【詳解】根據(jù)在其定義域上單增，且零點(diǎn)為2，即，可寫出一個(gè)函數(shù).故答案為：15．已知函數(shù)的圖象為如圖所示的兩條線段組成，則下列關(guān)于函數(shù)的說法：①；②；③；④，不等式的解集為.其中正確的說法有_________.(寫出所有正確說法的序號(hào))【答案】①③【分析】根據(jù)圖象，可求得的值，即可判斷①的正誤；根據(jù)圖中數(shù)據(jù)及在上的單調(diào)性，可判斷②的正誤；分別討論和兩種情況，求得解析式，檢驗(yàn)即可判斷③的正誤；根據(jù)不等式解集，即求的根，根據(jù)解析式，即可判斷④的正誤，即可得答案.【詳解】對(duì)于①：由圖象可得：，所以，故①正確；對(duì)于②：，且在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：當(dāng)時(shí)，，，滿足圖象；當(dāng)時(shí)，，，斜率，滿足圖象，故③正確；對(duì)于④：由題意得的解集為，即的根為，根據(jù)解析式可得，當(dāng)時(shí)，令，解得，所以解集為，故④錯(cuò)誤.故答案為：①③ 三、解答題16．已知集合，，.（1）求，；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1），  （2）【分析】（1）由交集和并集運(yùn)算直接求解即可.
（2）由，則【詳解】(1)由集合，則，（2）若，則，所以17．已知不等式的解集是M.（1）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若，求不等式的解集.【答案】（1）；（2）或【分析】（1）根據(jù)，代入不等式成立，即可求得a的范圍；（2）根據(jù)M可得為方程的兩根，利用韋達(dá)定理，可求得a的值，代入所求，即可求得答案.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（2）因?yàn)?/span>，所以為方程的兩根，由韋達(dá)定理可得，解得，所以不等式即為，即，所以，解得或，所以方程的解集為：或.18．某公司生產(chǎn)某種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元，已知總收入(單位：元)關(guān)于月產(chǎn)量(單位：臺(tái))滿足函數(shù).（1）將利潤(rùn)(單位：元)表示為月產(chǎn)量的函數(shù)；(利潤(rùn)總收入總成本)（2）若稱為月平均單件利潤(rùn)(單位：元)，當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲月平均單件利潤(rùn)最大？最大月平均單件利潤(rùn)為多少元？【答案】（1）；（2）當(dāng)月產(chǎn)量為時(shí)，月平均單件利潤(rùn)最大，最大月平均單件利潤(rùn)為元.【分析】（1）本題可分為、兩種情況，然后根據(jù)“利潤(rùn)總收入總成本”即可得出結(jié)果；（2）本題首先可根據(jù)得出，然后分為、兩種情況進(jìn)行討論，依次求出最值，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)；當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)，故.（2）因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)時(shí)，取最大值；當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞減函數(shù)，此時(shí)，綜上所述，當(dāng)月產(chǎn)量為時(shí)，月平均單件利潤(rùn)最大，最大月平均單件利潤(rùn)為元.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查分段函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，能否根據(jù)題意確定每一段區(qū)間內(nèi)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是解決本題的關(guān)鍵，考查基本不等式求最值，是中檔題.19．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在上的最大值及最小值，并指出相應(yīng)的值.【答案】（1），單調(diào)遞增區(qū)間為 （2）時(shí)函數(shù)取得最小值，時(shí)函數(shù)取得最大值.【分析】（1）根據(jù)周期公式計(jì)算，用整體代換法化簡(jiǎn)即可得出單調(diào)遞增區(qū)間；（2）用整體代換法得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最小值，當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值.【詳解】解：（1）的最小正周期為由得所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）當(dāng)時(shí)所以當(dāng)即時(shí)函數(shù)取得最小值，當(dāng)即時(shí)函數(shù)取得最大值.【點(diǎn)睛】求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的2種方法:（1）代換法:就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)處理后的整體當(dāng)作一個(gè)角(或)，利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性來求所要求的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）圖象法:函數(shù)的單調(diào)性表現(xiàn)在圖象上是從左到右，圖象上升趨勢(shì)的區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間，圖象下降趨勢(shì)的區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間，畫出三角函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象易求它的單調(diào)區(qū)間.20．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).（1）確定的解析式；（2）用定義證明：在區(qū)間上是減函數(shù)；（3）解不等式.【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）【分析】（1）本題可根據(jù)求出的解析式；（2）本題可在上任取、且，然后通過轉(zhuǎn)化得出，即，即可證得結(jié)論；（3）本題首先可根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)減函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為，最后通過計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，即，解得，.（2）在上任取、，且，則，因?yàn)?/span>，，，，所以，，在區(qū)間上是減函數(shù).（3）因?yàn)?/span>是定義在上的奇函數(shù)和減函數(shù)，所以即，，則，解得，不等式的解集為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式、定義法判斷函數(shù)單調(diào)性以及利用函數(shù)性質(zhì)解不等式，偶函數(shù)滿足，奇函數(shù)滿足，考查計(jì)算能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.21．設(shè)集合，且S中至少有兩個(gè)元素，若集合T滿足以下三個(gè)條件：①，且T中至少有兩個(gè)元素；②對(duì)于任意，當(dāng)，都有；③對(duì)于任意，若，則；則稱集合為集合的“耦合集”.（1）若集合，求集合的“耦合集”；（2）若集合存在“耦合集”，集合，且，求證：對(duì)于任意，有；（3）設(shè)集合，且，求集合S的“耦合集”T中元素的個(gè)數(shù).【答案】（1）；（2）證明見詳解；（3）5個(gè)【分析】（1）根據(jù)“耦合集”定義可得.（2）由條件②可知的可能元素為：；由條件③可知得同理其它比得證； （3）由（2）知得即，同理，故共5個(gè)元素.【詳解】解：（1）由已知條件②得的可能元素為：2，4，8；又滿足條件③，所以；（2）證明：因?yàn)?/span>，由已知條件②得的可能元素為：，由條件③可知得，同理得，所以對(duì)于任意，有；（3）因?yàn)?/span>，由（2）知得即，同理，所以，又因?yàn)?/span>的可能元素為：，所以共5個(gè)元素.【點(diǎn)睛】解題關(guān)鍵是正確理解“耦合集”的定義. 

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