2020-2021學(xué)年北京市朝陽區(qū)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題  一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用集合的交運(yùn)算即可求解.【詳解】由，，則.故選：B2．命題“”的否定是（  ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，的否定是，即可得到答案.【詳解】因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，的否定是，所以命題“”的否定是故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查全稱命題的否定，屬于簡單題.3．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)解析式可直接判定奇偶性和單調(diào)性，得出答案.【詳解】對(duì)A，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得是奇函數(shù)，在單調(diào)遞增，故A正確；對(duì)B，的定義域?yàn)?/span>，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，在單調(diào)遞遞減，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，的定義域?yàn)?/span>，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故不是奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：A.4．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判斷函數(shù)在上的范圍，排除A；再判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，即可判定出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>是定義在上的連續(xù)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，即零點(diǎn)不可能在內(nèi)；任取，則，因?yàn)?/span>，所以，，即，即，所以在上單調(diào)遞增；又，，，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，可得在內(nèi)有零點(diǎn)，故選：C.5．已知函數(shù).若，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】判斷函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)題意可得與是一對(duì)互為相反數(shù)，由奇偶性定義即可求解.【詳解】由，則，所以函數(shù)為偶函數(shù)，又，則，所以.故選：D6．已知，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.【詳解】，由是單調(diào)遞減函數(shù)，，所以 是單調(diào)遞減函數(shù)，，所以故選：A7．已知函數(shù)可表示為（    ）1234則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．的值域是C．的值域是 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】B【分析】，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由表得的值域是，所以選項(xiàng)B正確C不正確；在區(qū)間上不是單調(diào)遞增，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】A. ，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B. 由表得的值域是，所以該選項(xiàng)正確；C. 由表得的值域是，不是，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D. 在區(qū)間上不是單調(diào)遞增，如：，但是，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷函數(shù)的性質(zhì)命題的真假，一般要認(rèn)真理解函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等的定義，再根據(jù)定義分析判斷.8．在有聲世界，聲強(qiáng)級(jí)是表示聲強(qiáng)度相對(duì)大小的指標(biāo).聲強(qiáng)級(jí)（單位：dB）與聲強(qiáng)度（單位：）之間的關(guān)系為，其中基準(zhǔn)值.若聲強(qiáng)級(jí)為60dB時(shí)的聲強(qiáng)度為，聲強(qiáng)級(jí)為90dB時(shí)的聲強(qiáng)度為，則的值為（    ）A．10 B．30 C．100 D．1000【答案】D【分析】根據(jù)題意，把轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)運(yùn)算即可計(jì)算．【詳解】由題意可得：故選：D【點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)中的新定義題目解題策略：(1)仔細(xì)閱讀，理解新定義的內(nèi)涵；(2)根據(jù)新定義，對(duì)對(duì)應(yīng)知識(shí)進(jìn)行再遷移.9．已知，均為第一象限角，則“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】利用充分性和必要性分別討論即可.【詳解】由均為第一象限的角，滿足，但，因此不充分；由，得均為第一象限的角，得到，因此不必要；故選：D.10．設(shè)函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，滿足當(dāng)時(shí)，，則正整數(shù)的最小值為（    ）A．505 B．506 C．507 D．508【答案】C【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，確定的最值，根據(jù)題中條件，得到盡可能多的取得最大值，即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，即，，所以，當(dāng)與一個(gè)等于，另一個(gè)為時(shí)，取得最大值；為使?jié)M足的正整數(shù)最小，只需盡可能多的取得最大值，而，所以至少需個(gè)，才能使，此時(shí)，即.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，確定的最大值，得到中有項(xiàng)取得最大值時(shí)，即可求解.  二、填空題11．函數(shù)的定義域?yàn)?/span>______.【答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)定義域可得：，解不等式即可求解.【詳解】由，則，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.故答案為：12．已知，，且，則的最大值為______.【答案】【分析】利用基本不等式直接求解即可.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，所以的最大值為，故答案為：【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.13．在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則______.【答案】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求出.【詳解】終邊經(jīng)過點(diǎn)，.
故答案為：.14．若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則常數(shù)的一個(gè)取值為______.【答案】（答案不唯一，滿足即可）【分析】令，將代入可求出.【詳解】令，，解得，關(guān)于對(duì)稱，是的對(duì)稱軸，，解得，令得.故答案為：（答案不唯一，滿足即可）.15．設(shè)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.【答案】①③④【分析】利用不等式性質(zhì)直接判斷①④正確，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷③正確，利用特殊值驗(yàn)證②錯(cuò)誤即可.【詳解】由知，，，故，得，故①正確；取，滿足，但，不滿足，故②錯(cuò)誤；由指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增可知，，則，故③正確；由知，，，根據(jù)不等式性質(zhì)可知，，故，故④正確.故答案為：①③④. 三、雙空題16．已知函數(shù).①當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?/span>______；②若對(duì)于任意，，，的值總可作為某一個(gè)三角形的三邊長，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______. 【答案】；    .    【分析】①當(dāng)時(shí)，先利用分離常數(shù)法整理函數(shù)， 再利用逐步計(jì)算，即得值域；②先分析知+恒成立，再利用定義法討論函數(shù)單調(diào)性，并結(jié)合單調(diào)性求得值域，根據(jù)恒成立關(guān)系列關(guān)于參數(shù)的不等關(guān)系，解得參數(shù)范圍即可.【詳解】①當(dāng)時(shí)，函數(shù)，定義域?yàn)?/span>R，由知，，則，即，故，的值域?yàn)?/span>；②依題意，作為某一個(gè)三角形的三邊長，+恒成立，函數(shù)，定義域?yàn)?/span>R，任取，則，由可知，即，故，當(dāng)，即時(shí)，，即，在R上單調(diào)遞減，又，則，，即的值域?yàn)?/span>，故，則，又，要使+恒成立，則需，故的取值范圍是；當(dāng)，即時(shí)，，+，，顯然+恒成立，故符合題意；當(dāng)，即時(shí)，，即，在R上單調(diào)遞增，又，則，，即的值域?yàn)?/span>，故，，要使+恒成立，則，即，故的取值范圍是；綜上所述：的取值范圍是.故答案為：； .【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵在于討論函數(shù)的單調(diào)性來確定值域，才能將+恒成立的問題轉(zhuǎn)化到取值范圍上，以突破難點(diǎn). 四、解答題17．已知全集，集合，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）設(shè)非空集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）分別解不等式，化簡兩集合，再由交集和補(bǔ)集的概念，即可求出結(jié)果；（Ⅱ）由（Ⅰ），根據(jù)集合非空，且，列出不等式求解，即可得出結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?/span>，，所以或，則；（Ⅱ）因?yàn)榉强占?/span>，且，所以或，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.18．已知函數(shù)只能同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：①最小正周期為；②最大值為；③；④.（Ⅰ）請(qǐng)指出同時(shí)滿足的三個(gè)條件，并說明理由；（Ⅱ）求的解析式；（Ⅲ）求的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（Ⅰ）①②④，見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）代入③計(jì)算，可判斷不成立，故滿足的三個(gè)條件為①②④；（Ⅱ）由①②④，分別計(jì)算的值，可得函數(shù)解析式；（Ⅲ）利用整體法列不等式計(jì)算單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?/span>，，，所以，故③不成立；所以滿足的三個(gè)條件為：①②④；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，最小正周期為，最大值為，可得，，所以，又因?yàn)?/span>，，則，即，得，所以.（Ⅲ）由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.【點(diǎn)睛】求三角函數(shù)的解析式時(shí)，由即可求出；確定時(shí)，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升（或下降）的“零點(diǎn)”橫坐標(biāo)，則令（或），即可求出，否則需要代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)解出和，若對(duì)，的符號(hào)或?qū)?/span>的范圍有要求，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.19．已知函數(shù).（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的最大值和最小值；（Ⅲ）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，所得函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象重合，求實(shí)數(shù)的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最小值為，最大值為1；（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式、差的余弦公式和輔助角公式化簡函數(shù)可得，代入可求；（Ⅱ）由可得，在利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（Ⅲ）求出平移后的解析式，可得，即可解出，得出最小值.【詳解】（Ⅰ），；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，取得最小值為，當(dāng)，取得最大值為1；（Ⅲ）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，可得，則和的圖象重合，，解得，，則當(dāng)時(shí)，取得最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角恒等變換化簡求三角函數(shù)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式、差的余弦公式和輔助角公式化簡函數(shù)可得.20．設(shè)函數(shù)，且.（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論；（Ⅲ）若關(guān)于的方程恰有三個(gè)實(shí)數(shù)解，寫出實(shí)數(shù)的取值范圍（不必證明）.【答案】（1）；（2）在區(qū)間上為增函數(shù)，證明見詳解；（2）【分析】（1）將直接代入即可求解. （2）根據(jù)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：取值、作差、變形、定號(hào)即可證明.（3）根據(jù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由，，即，解得.（2）在區(qū)間上為增函數(shù)，由（1）可知，任取，且，則 ，由，，，所以，即，所以函數(shù)為增函數(shù).（3）由，可知.21．“函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱”的充要條件是“對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意，都有”.若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)函數(shù).（i）證明函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；（ii）若對(duì)任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（Ⅰ）4（Ⅱ）（i）證明見詳解；（ii）【分析】（Ⅰ）計(jì)算，令，即求.（Ⅱ）（i）計(jì)算，由新定義即可證明；（ii）求出的值域，設(shè)在上的值域?yàn)?/span>，存在與恒成立思想可得是的值域的子集，再由二次函數(shù)的最值以及對(duì)稱性求出，結(jié)合集合的包含關(guān)系即可求出范圍.【詳解】（Ⅰ）由題意，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，令，可得.（Ⅱ）（i）由， ，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.（ii），函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，不妨設(shè)在上的值域?yàn)?/span>，對(duì)任意，總存在，使得成立，則，當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由對(duì)稱性可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，由，，所以， ，由，可得，解得，當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由對(duì)稱性可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，結(jié)合對(duì)稱性可得或，，，又，，，又，，當(dāng)，成立；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減， 所以在上單調(diào)遞減，由，，所以，，由，可得，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的新定義，考查了二次函數(shù)的最值以及函數(shù)對(duì)稱性，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)值域的包含關(guān)系，考查了任意性、存在性問題，同時(shí)考查了分類討論的思想以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想. 

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