2021-2022學(xué)年上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、填空題1．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)______．【答案】1【分析】由題得，解出值檢驗(yàn)即可.【詳解】由題知,若,則或,當(dāng)時(shí),方程無(wú)解;當(dāng)時(shí),,解得:,此時(shí),,符合題意,所以.故答案為：1.2．化簡(jiǎn)∶=_________.【答案】【分析】利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)及平方差公式即可求解.【詳解】.故答案為:.3．若，則____.【答案】【解析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，故答案為：4．設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則_________【答案】【分析】根據(jù)韋達(dá)定理得到，然后代入計(jì)算即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理得，所以，故，故答案為：.5．“中至少有一個(gè)小于零”是“的___________條件.【答案】必要不充分【分析】根據(jù)充分必要條件的定義,判斷由“中至少有一個(gè)小于零”是否能推出“”成立,再判斷由“”是否能推出“中至少有一個(gè)小于零”成立即可.【詳解】解:由題知,當(dāng)中至少有一個(gè)小于零時(shí),不妨取,此時(shí),故“中至少有一個(gè)小于零”是“的不充分條件,當(dāng)成立時(shí),則中必有負(fù)數(shù),故中至少有一個(gè)小于零,故“中至少有一個(gè)小于零”是“的必要條件,綜上: “中至少有一個(gè)小于零”是“的必要不充分條件.故答案為:必要不充分6．設(shè)，若對(duì)任意，都有成立，則的取值范圍為__________.【答案】【分析】由于恒成立，可以將恒成立可轉(zhuǎn)化為恒成立，然后分類(lèi)討論即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>恒成立，所以恒成立可轉(zhuǎn)化為恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，需要滿(mǎn)足，即，綜上：的取值范圍為.故答案為：.7．設(shè)，則____________【答案】1【分析】利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化公式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式進(jìn)行求解即可.【詳解】解：，則，，，.故答案為：1.8．設(shè)條件有意義，條件，若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】先分別求出條件表示的集合，再由p是q的必要不充分條件，可得集合是集合的真子集，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】由，得，記為，由，得，記為，因?yàn)?/span>p是q的必要不充分條件，所以集合是集合的真子集，所以，解得，當(dāng)時(shí)，不滿(mǎn)足題意所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：.9．某地每年銷(xiāo)售木材約20萬(wàn)，每立方米的價(jià)格為2400元．為了減少木材消耗，決定按銷(xiāo)售收入的征收木材稅，這樣每年的木材銷(xiāo)售量減少萬(wàn)，為了既減少了木材消耗又保證稅金收入每年不少于900萬(wàn)元，則t的取值范圍是________．【答案】【解析】設(shè)按銷(xiāo)售收入的征收木材稅時(shí)，稅金收入為y萬(wàn)元，求得每年的木材銷(xiāo)售量萬(wàn)．每年的銷(xiāo)售收入為萬(wàn)元，可得，令，由二次不等式的解法，可得所求范圍．【詳解】解：設(shè)按銷(xiāo)售收入的征收木材稅時(shí)，稅金收入為y萬(wàn)元，則．令，即，解得．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10．對(duì)于任意實(shí)數(shù)，使恒成立，那么我們把M的最大值叫做的下確界.若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足且，則的下確界為__________.【答案】【分析】由題，下確界即的最小值，求最小值即可.【詳解】因?yàn)?/span>，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的下確界為：.故答案為：.11．已知不等式組的整數(shù)解恰好有兩個(gè)，求的取值范圍是_______【答案】【詳解】試題分析：不等式組，即，①當(dāng)a=1-a時(shí)，即a=時(shí)，x無(wú)解．②當(dāng)a＞1-a時(shí)，即a＞時(shí)，不等式組的解集為（1-a，a），再根據(jù)此解集包含2個(gè)整數(shù)解，可得 1-a＜0，且a≤2，解得1＜a≤2．③當(dāng)a＜1-a時(shí)，即a＜時(shí)，若0≤a＜，不等式組的解集為（1-2a，1-a），無(wú)整數(shù)解，不滿(mǎn)足題意．若a＜0，不等式組的解集為?，不滿(mǎn)足題意．綜上可得，1＜a≤2，【解析】不等式的解法12．對(duì)于數(shù)集，其中，定義點(diǎn)集，若對(duì)于任意，存在，使得，則稱(chēng)集合具有性質(zhì).則下列命題中為真命題的是___________.①具有性質(zhì)；②若集合具有性質(zhì)，則；③集合具有性質(zhì)，若，則.【答案】①②③【分析】根據(jù)已知條件及集合具有性質(zhì)的定義，結(jié)合反證法即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，根據(jù)集合具有性質(zhì)的定義，對(duì)于任意，若，則或，或，若，取，則；若，取，則；若，取，則；若有一個(gè)為負(fù)數(shù)，則或，若，則取，則；若，則取，則；故①正確；對(duì)于任意，存在，使得取，存在使得，所以，不妨設(shè)，所以若集合具有性質(zhì)，則，故②正確；③假設(shè)，令，則存在使得，同②得中必有一個(gè)數(shù)為， 若，則，于是，矛盾， 若，則，于是，也矛盾，所以，又由②得，所以，所以，故③正確，故真命題是①②③正確.故答案為：①②③.【點(diǎn)睛】解決此題的關(guān)鍵是抓住集合具有性質(zhì)的定義，結(jié)合反證法即可. 二、單選題13．設(shè)a，b是滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)，那么（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用舉反例可判斷ACD，利用不等式的性質(zhì)可判斷B【詳解】對(duì)于A，滿(mǎn)足，則，此時(shí)，故不正確；對(duì)于B，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，故正確；對(duì)于C，滿(mǎn)足，則，，此時(shí)，故不正確；對(duì)于D，滿(mǎn)足，則，此時(shí)，故不正確；故選：B14．用反證法證明命題：“已知，，若不能被5整除，則與都不能被5整除”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為（    ）A．、都能被5整除B．、不都能被5整除C．、至多有一個(gè)能被5整除D．、至少有一個(gè)都能被5整除【答案】D【分析】根據(jù)反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法和步驟，可知應(yīng)假設(shè)命題的否定成立.【詳解】假設(shè)的內(nèi)容是命題“與都不能被5整除”的否定為“、 至少有一個(gè)能被5整除”.故選：D15．小王從甲地到乙地再返回甲地，其往返的時(shí)速分別為a和b（a<b），其全程的平均時(shí)速為v，則 （    ）A．a<v< B．v= C．<v< D．v=【答案】A【分析】設(shè)甲乙兩地相距，則平均速度，結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)甲乙兩地相距，則平均速度，又∵，∴，∵，∴，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，熟記基本不等式即可， 屬于基礎(chǔ)題型.16．記方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正實(shí)數(shù)．當(dāng)，，成等比數(shù)列時(shí)，下列選項(xiàng)中，能推出方程③無(wú)實(shí)根的是A．方程①有實(shí)根，且②有實(shí)根 B．方程①有實(shí)根，且②無(wú)實(shí)根C．方程①無(wú)實(shí)根，且②有實(shí)根 D．方程①無(wú)實(shí)根，且②無(wú)實(shí)根【答案】B【詳解】當(dāng)方程①有實(shí)根，且②無(wú)實(shí)根時(shí)，，從而即方程③：無(wú)實(shí)根，選B.而A,D由于不等式方向不一致，不可推；C推出③有實(shí)根【解析】不等式性質(zhì) 三、解答題17．已知集合，(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出集合B，即可求出；（2）由集合A求出，利用即可求出的取值范圍.【詳解】（1），；當(dāng)時(shí)，，所以；（2）或若，則或，所以或.18．（1）已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，求證：.（2）已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，用反證法證明：.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）通過(guò)立方差公式得出，根據(jù)已知條件得出，再判斷，即可證明；（2）假設(shè)，則，即可得到，判斷其范圍再與已知對(duì)比，即可證明.【詳解】（1）證明：，，又，且， ，；（2）假設(shè)，則，故與已知矛盾，故.19．為了保護(hù)環(huán)境，某單位采用新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品，已知該單位每月都有處理量，且處理量最多不超過(guò) 300噸，月處理成本y（元）與月處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為：，且處理x噸二氧化碳可得到價(jià)值為元的化工產(chǎn)品.(1)設(shè)該單位每月獲利為S（元），試寫(xiě)出S與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；(2)若要保證該單位每月不虧損，則每月處理量應(yīng)控制在什么范圍?(3)該單位每月處理量為多少?lài)崟r(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低?【答案】(1)(2)(3)200噸 【分析】(1)由產(chǎn)品價(jià)格去掉成本即可得到利潤(rùn)；(2)令利潤(rùn)大于零，求解相關(guān)的一元二次不等式即可得出答案；(3)表示出每噸平均處理成本，利用基本不等式求解即可.【詳解】（1）由題意.（2）令，即，解得，又，所以，故要保證該單位每月不虧損，則每月處理量應(yīng)控制在內(nèi).（3）由題得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以該單位每月處理量為200噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低.20．（1）證明：對(duì)所有實(shí)數(shù)x恒成立，并求等號(hào)成立的條件；（2）若不等式的解集非空，求a的取值范圍；（3）設(shè)關(guān)于的不等式的解集為A，試探究是否存在，使得不等式與的解都屬于A，若不存在，說(shuō)明理由，若存在，請(qǐng)求出滿(mǎn)足條件的的所有值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析，當(dāng)時(shí)取等號(hào)；（2）或；（3）存在，或或【分析】(1)應(yīng)用絕對(duì)值三角不等式即可證明;(2)解集非空轉(zhuǎn)化為最大值大于1解不等式即可；（3）先解一元二次不等式和絕對(duì)值不等式確定的子集，再分和兩種情況討論求解可得的值.【詳解】（1）由三角不等式得，當(dāng)時(shí)取等號(hào).（2）由題意得，所以，解得或，（3）由得，故，若，則，所以，符合題意，若，設(shè)，因?yàn)?/span>，所以，所以，解得或.當(dāng),,當(dāng),當(dāng),,符合題意當(dāng),,當(dāng),當(dāng),,符合題意綜上，或或.21．設(shè)是正整數(shù)，集合，對(duì)于集合A中的任意元素和.記(1)當(dāng)時(shí)，若，求和的值；(2)當(dāng)時(shí)，若的值為奇數(shù)，求所有滿(mǎn)足條件的元素；(3)給定不小于2的正整數(shù)，設(shè)是的子集，且滿(mǎn)足：對(duì)于中的任意兩個(gè)不同的元素滿(mǎn)足，寫(xiě)出一個(gè)集合，使其元素個(gè)數(shù)最多，并說(shuō)明理由.【答案】(1)，(2)或或或或或或或(3)，理由見(jiàn)解析 【分析】（1）直接根據(jù)定義計(jì)算；（2）根據(jù)的值為奇數(shù)，得為奇數(shù)，由此即可得出答案；（3）由得，可知與必然一個(gè)為0，一個(gè)為1；或與均為0，則集合中元素個(gè)數(shù)最多為，從而得出答案．【詳解】（1）由得，；（2），其中為奇數(shù)，故或或或或或或或；（3）由得，所以與必然一個(gè)為0，一個(gè)為1；或與均為0，綜合得與中相同位置上的數(shù)字不能同時(shí)為1，所以集合中元素個(gè)數(shù)最多為，. 

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