[例1] (2019·全國(guó)Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)若△POF2為等邊三角形，求C的離心率；
(2)如果存在點(diǎn)P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍．

[規(guī)范解答] (1)連接PF1(圖略)．由△POF2為等邊三角形可知，在△F1PF2中，
∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝eq \r(3)c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(eq \r(3)＋1)c，
故C的離心率為e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)－1．
(2)由題意可知，若滿足條件的點(diǎn)P(x，y)存在，則eq \f(1,2)|y|·2c＝16，eq \f(y,x＋c)·eq \f(y,x－c)＝－1，
即c|y|＝16，①，x2＋y2＝c2，②，又eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1．③
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝eq \f(b4,c2)．又由①知y2＝eq \f(162,c2)，故b＝4．
由②③及a2＝b2＋c2得x2＝eq \f(a2,c2)(c2－b2)，所以c2≥b2，從而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4eq \r(2)．
當(dāng)b＝4，a≥4eq \r(2)時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn)P．所以b＝4，a的取值范圍為[4eq \r(2)，＋∞)．
[例2] 已知m>1，直線l：x－my－eq \f(m2,2)＝0，橢圓C：eq \f(x2,m2)＋y2＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)．
(1)當(dāng)直線l過(guò)右焦點(diǎn)F2時(shí)，求直線l的方程；
(2)設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，△AF1F2，△BF1F2的重心分別為G，H，若原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
[規(guī)范解答] (1)因?yàn)橹本€l：x－my－eq \f(m2,2)＝0經(jīng)過(guò)F2(eq \r(m2－1)，0)，所以eq \r(m2－1)＝eq \f(m2,2)，得m2＝2．
又因?yàn)閙>1，所以m＝eq \r(2)，故直線l的方程為x－eq \r(2)y－1＝0．
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋\f(m2,2)，,\f(x2,m2)＋y2＝1，))消去x，得2y2＋my＋eq \f(m2,4)－1＝0，
則由Δ＝m2－8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m2,4)－1))＝－m2＋8>0，知m20，解得10)的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，直線x＋y＋1
＝0與以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心，以橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)M(2，0)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)S和T，若橢圓C上存在點(diǎn)P滿足eq \(OS,\s\up7(→))＋eq \(OT,\s\up7(→))＝teq \(OP,\s\up7(→)) (其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
3．解析 (1)由題意，以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心，以橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓的方程為(x－c)2＋y2＝a2，
∴圓心到直線x＋y＋1＝0的距離d＝eq \f(c＋1,\r(2))＝a．(*)
∵橢圓C的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，
∴b＝c，a＝eq \r(2)c，代入(*)式得b＝c＝1，∴a＝eq \r(2)c＝eq \r(2)，故所求橢圓方程為eq \f(x2,2)＋y2＝1．
(2)由題意知，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－2)，設(shè)P(x0，y0)，
將直線l的方程代入橢圓方程得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，
∴Δ＝64k4－4(1＋2k2)(8k2－2)>0，解得k20，
x1＋x2＝－eq \f(4km,1＋2k2)，x1x2＝eq \f(2m2－2,1＋2k2)，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝eq \f(k2(2m2－2),1＋2k2)－eq \f(4k2m2,1＋2k2)＋m2＝eq \f(m2－2k2,1＋2k2)．
由條件OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝0，即3m2－2k2－2＝0，
所以原點(diǎn)O到直線AB的距離是d＝eq \f(|m|,\r(1＋k2))＝eq \r(\f(m2,1＋k2))．
由3m2－2k2－2＝0得1＋k2＝eq \f(3,2)m2，所以d＝eq \f(\r(6),3)為定值．
將3m2－2k2－2＝0代入Δ中，解得meq \f(\r(2),2)，又k2＝eq \f(3m2－2,2)≥0，
所以m2≥eq \f(2,3)，解得m≤－eq \f(\r(6),3)或m≥eq \f(\r(6),3)．綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(\r(6),3)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)，＋∞))．
6．已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0，－1)，焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)．若右焦點(diǎn)到直線x－y＋2eq \r(2)＝0的距
離為3．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)直線y＝kx＋m(k≠0)與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N．當(dāng)|AM|＝|AN|時(shí)，求m的取值范圍．
6．解析 (1)依題意可設(shè)橢圓方程為eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)，
則右焦點(diǎn)F(eq \r(a2－1)，0)，由題設(shè)eq \f(|\r(a2－1)＋2\r(2)|,\r(2))＝3，解得a2＝3．
∴所求橢圓的方程為eq \f(x2,3)＋y2＝1．
(2)設(shè)P(xP，yP)，M(xM，yM)，N(xN，yN)，P為弦MN的中點(diǎn)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,3)＋y2＝1，))得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，
∵直線與橢圓相交，∴Δ＝(6mk)2－4(3k2＋1)×3(m2－1)>0?m2

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