[例1] 已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)與雙曲線eq \f(x2,3)－y2＝1的離心率互為倒數(shù)，且直線x－y－2＝0經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)不過原點(diǎn)O的直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且直線OM，MN，ON的斜率依次成等比數(shù)列，求△OMN面積的取值范圍．
[規(guī)范解答] (1)∵雙曲線的離心率為eq \f(2\r(3),3)，∴橢圓的離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)．
又∵直線x－y－2＝0經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)，∴右頂點(diǎn)為點(diǎn)(2，0)，即a＝2，c＝eq \r(3)，b＝1，
∴橢圓方程為eq \f(x2,4)＋y2＝1．
(2)由題意可設(shè)直線的方程為y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y，并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，
則x1＋x2＝－eq \f(8km,1＋4k2)，x1x2＝eq \f(4?m2－1?,1＋4k2)，于是y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2．
又直線OM，MN，ON的斜率依次成等比數(shù)列，故eq \f(y1,x1)·eq \f(y2,x2)＝eq \f(k2x1x2＋km?x1＋x2?＋m2,x1x2)＝k2，
則－eq \f(8k2m2,1＋4k2)＋m2＝0，由m≠0得k2＝eq \f(1,4)，解得k＝±eq \f(1,2)．
又由Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)＞0，得0＜m2＜2，
顯然m2≠1(否則x1x2＝0，x1，x2中至少有一個為0，直線OM，ON中至少有一個斜率不存在，與已知矛盾)．
設(shè)原點(diǎn)O到直線的距離為d，則
S△OMN＝eq \f(1,2)|MN|d＝eq \f(1,2)·eq \r(1＋k2)·|x1－x2|·eq \f(|m|,\r(1＋k2))＝eq \f(1,2)|m|eq \r(?x1＋x2?2－4x1x2)＝eq \r(－?m2－1?2＋1)．
故由m的取值范圍可得△OMN面積的取值范圍為(0，1)．
[例2] (2018·浙江)如圖，已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn)，拋物線C：y2＝4x上存在不同的兩點(diǎn)A，B滿足PA，PB的中點(diǎn)均在C上．
(1)設(shè)AB中點(diǎn)為M，證明：PM垂直于y軸；
(2)若P是半橢圓x2＋eq \f(y2,4)＝1(x0)在第一象限分別交于D，C兩點(diǎn)．
(1)若a＝p，點(diǎn)A與拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)重合，求直線CD的斜率；
(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記△OCD的面積為S1，梯形ABCD的面積為S2，求eq \f(S1,S2)的取值范圍．
[規(guī)范解答] (1)由題意知Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，則Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)＋a，0))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，p))，則Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)＋a，\r(p2＋2pa)))，
又a＝p，所以kCD＝eq \f(\r(3)p－p,\f(3p,2)－\f(p,2))＝eq \r(3)－1．
(2)設(shè)直線CD的方程為y＝kx＋b(k≠0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋b，,y2＝2px，))得ky2－2py＋2pb＝0，所以Δ＝4p2－8pkb>0，得kb0，y1y2＝eq \f(2pb,k)>0，
可知k>0，b>0，因?yàn)閨CD|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝aeq \r(1＋k2)，
點(diǎn)O到直線CD的距離d＝eq \f(|b|,\r(1＋k2))，
所以S1＝eq \f(1,2)·aeq \r(1＋k2)·eq \f(|b|,\r(1＋k2))＝eq \f(1,2)ab．又S2＝eq \f(1,2)(y1＋y2)·|x1－x2|＝eq \f(1,2)·eq \f(2p,k)·a＝eq \f(ap,k)，
所以eq \f(S1,S2)＝eq \f(kb,2p)，因?yàn)?

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