[例1] 已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A為C上位于第一象限的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l交C于另一點(diǎn)B，交x軸的正半軸于點(diǎn)D．
(1)若當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3，且△ADF為等邊三角形，求C的方程；
(2)對(duì)于(1)中求出的拋物線C，若點(diǎn)D(x0，0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0≥\f(1,2)))，記點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為E，AE交x軸于點(diǎn)P，且AP⊥BP，求證：點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－x0，0)，并求點(diǎn)P到直線AB的距離d的取值范圍．
[規(guī)范解答] (1)由題意知Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，|FA|＝3＋eq \f(p,2)，則D(3＋p，0)，F(xiàn)D的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋\f(3p,4)，0))，
則eq \f(3,2)＋eq \f(3p,4)＝3，解得p＝2，故C的方程為y2＝4x．
(2)依題意可設(shè)直線AB的方程為x＝my＋x0(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則E(x2，－y2)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,x＝my＋x0，))消去x，得y2－4my－4x0＝0，x0≥eq \f(1,2)．
所以Δ＝16m2＋16x0>0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4x0，
設(shè)P的坐標(biāo)為(xP，0)，則eq \(PE,\s\up6(→))＝(x2－xP，－y2)，eq \(PA,\s\up6(→))＝(x1－xP，y1)，
由題意知eq \(PE,\s\up6(→))∥eq \(PA,\s\up6(→))，所以(x2－xP)y1＋y2(x1－xP)＝0，即x2y1＋y2x1＝eq \f(y\\al(2,2)y1＋y\\al(2,1)y2,4)＝eq \f(y1y2(y1＋y2),4)＝(y1＋y2)xP，
顯然y1＋y2＝4m≠0，所以xP＝eq \f(y1y2,4)＝－x0，即證P(－x0，0)，由題意知△EPB為等腰直角三角形，
所以kAP＝1，即eq \f(y1＋y2,x1－x2)＝1，也即eq \f(y1＋y2,\f(1,4)(y\\al(2,1)－y\\al(2,2)))＝1，
所以y1－y2＝4，所以(y1＋y2)2－4y1y2＝16，即16m2＋16x0＝16，m2＝1－x0，x00)的離心率為eq \f(\r(2),2)，過點(diǎn)M(1，0)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，|MA|＝λ|MB|，且當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，|AB|＝eq \r(2)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若λ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，求弦長(zhǎng)|AB|的取值范圍．
[規(guī)范解答] (1)由已知e＝eq \f(\r(2),2)，得eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，又當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，|AB|＝eq \r(2)，
所以橢圓過點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(2),2)))，代入橢圓方程得eq \f(1,a2)＋eq \f(1,2b2)＝1，
∵a2＝b2＋c2，聯(lián)立方程可得a2＝2，b2＝1，∴橢圓C的方程為eq \f(x2,2)＋y2＝1．
(2)當(dāng)過點(diǎn)M的直線斜率為0時(shí)，點(diǎn)A，B分別為橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，
λ＝eq \f(|MA|,|MB|)＝eq \f(\r(2)＋1,\r(2)－1)＝3＋2eq \r(2)>2或λ＝eq \f(|MA|,|MB|)＝eq \f(\r(2)－1,\r(2)＋1)＝3－2eq \r(2)b>0)的離心率為eq \f(\r(3),2)，短軸長(zhǎng)為2．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)直線l：y＝kx＋m與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若kOM·kON＝eq \f(5,4)，求原點(diǎn)O到直線l的距離的取值范圍．
2．已知橢圓C：eq \f (x2,a2)＋eq \f (y2,b2)＝1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f (\r(2),2)))，且離心率為eq \f (\r(2),2)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，不經(jīng)過F1的直線l與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B．如果直線AF1，l，BF1的斜率依次成等差數(shù)列，求焦點(diǎn)F2到直線l的距離d的取值范圍．
3．已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距為2，且過點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(2),2)))．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點(diǎn)M(2，0)的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝teq \(OP,\s\up6(→))，其中t∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(6),3)，2))，求|AB|的取值范圍．
4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：x2＋y2＝r2(r>0)與直線l0：y＝x＋2eq \r(2)相切，點(diǎn)A為圓C1上一動(dòng)
點(diǎn)，AN⊥x軸于點(diǎn)N，且動(dòng)點(diǎn)M滿足eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(ON,\s\up6(→))，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)設(shè)P，Q是曲線C上兩動(dòng)點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為T，直線OP，OQ的斜率分別為k1，k2，且k1k2＝
－eq \f(1,4)，求|OT|的取值范圍．
5．已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，其離心率e＝eq \f(1,2)，點(diǎn)P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△PF1F2
面積的最大值為4eq \r(3)．
(1)求橢圓的方程；
(2)若A，B，C，D是橢圓上不重合的四個(gè)點(diǎn)，AC與BD相交于點(diǎn)F1，eq \(AC,\s\up7(→))·eq \(BD,\s\up7(→))＝0，求|eq \(AC,\s\up7(→))|＋|eq \(BD,\s\up7(→))|的取值范圍．
6．已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率e＝eq \f(\r(3),2)，直線x＋eq \r(3)y－1＝0被以橢圓C的短軸為直徑的圓截
得的弦長(zhǎng)為eq \r(3)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點(diǎn)M(4，0)的直線l交橢圓于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范圍．
7．已知拋物線E：y2＝2px(p>0)與過點(diǎn)M(a，0)(a>0)的直線l交于A，B兩點(diǎn)，且總有OA⊥OB．
(1)確定p與a的數(shù)量關(guān)系；
(2)若|OM|·|AB|＝λ|AM|·|MB|，求λ的取值范圍．

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