1.理解并掌握一元二次方程根的判別式的概念；2.會(huì)用判別式判斷一元二次方程的根的情況；3.根據(jù)一元二次方程的根的情況確定字母的取值范圍.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）
問題：老師寫了4個(gè)一元二次方程讓同學(xué)們判斷它們是否有解，大家都才解第一個(gè)方程呢，小紅突然站起來說出每個(gè)方程解的情況，你想知道她是如何判斷的嗎？
回顧：用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) .
解：二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得 x2 + x + = 0 .配方，得 x2 + x +( )2 -( )2 - = 0,移項(xiàng)，得 （x + ）2 =
問題1：接下來能用直接開平方解嗎？
一元二次方程根的判別式
問題2：什么情況下可以直接開平方？什么情況下不能直接開？
（x + ）2 ≥ 0 , 4a2 ＞0 .當(dāng) b2– 4ac＞0 時(shí), x1= , x2=當(dāng) b2– 4ac=0 時(shí), x1=x2=當(dāng) b2- 4ac ＜0 時(shí),不能開方(負(fù)數(shù)沒有平方根),所以原方程沒有實(shí)數(shù)根.
按要求完成下列表格：
3.判別根的情況，得出結(jié)論.
1.化為一般式，確定a,b,c的值.
應(yīng)用1：用根的判別式判斷一元二次方程根的情況
例1:已知一元二次方程x2+x=1，下列判斷正確的是 ( ) A.該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B.該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C.該方程無實(shí)數(shù)根 D.該方程根的情況不確定
解析：原方程變形為x2+x-1=0.∵b2-4ac=1-4×1×（-1）=5＞0，∴該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選B.
b2 - 4ac > 0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.b2 - 4ac = 0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.b2 - 4ac < 0時(shí),方程無實(shí)數(shù)根.
應(yīng)用2：根據(jù)方程根的情況確定字母的取值范圍
例2:若關(guān)于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是( ) A.k>-1 B.k>-1且k≠0 C.k-1且k≠0，故選B.
應(yīng)用3：不解方程判斷一元二次方程的根的情況
例3:不解方程，判斷下列方程的根的情況．（1）3x2+4x－3=0；（2）4x2=12x－9; (3) 7y=5(y2+1).
解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3, ∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0. ∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． （2）方程化為：4x2－12x+9=0, ∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0. ∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
例3:不解方程，判斷下列方程的根的情況． (3) 7y=5(y2+1).
解：（3）方程化為：5y2－7y+5=0, ∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0. ∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
1.關(guān)于x的一元二次方程 有兩個(gè)實(shí)根，則m的取值范圍是 .
注意：一元二次方程有實(shí)根，說明方程可能有兩個(gè)不等實(shí)根或兩個(gè)相等實(shí)根兩種情況.
2.不解方程，判斷下列方程的根的情況．（1）2x2+3x-4=0；（2）x2-x+ =0; (3) x2-x+1=0.
解：（1）2x2+3x-4=0，a=2,b=3,c=-4, ∴b2-4ac=32-4×2×(-4)=41＞0. ∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． （2）x2-x+ =0,a=1,b=-1,c= . ∴b2-4ac=(-1)2-4×1× =0. ∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
（3）x2-x+1=0，a=1,b=-1,c=1. ∴b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3

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2.3 一元二次方程根的判別式

版本： 湘教版

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