物理選擇性必修 第一冊2 簡諧運(yùn)動的描述學(xué)案

這是一份物理選擇性必修 第一冊2 簡諧運(yùn)動的描述學(xué)案，共15頁。

一、振幅
1．概念：振動物體離開平衡位置的最大距離．
2．意義：振幅是表示物體振動幅度大小的物理量，振動物體運(yùn)動的范圍是振幅的兩倍．
二、周期和頻率
1．全振動：一個完整的振動過程稱為一次全振動．做簡諧運(yùn)動的物體完成一次全振動的時間總是相同的．
2．周期：做簡諧運(yùn)動的物體完成一次全振動所需要的時間，叫作振動的周期，用T表示．在國際單位制中，周期的單位是秒(s)．
3．頻率：物體完成全振動的次數(shù)與所用時間之比叫作振動的頻率，數(shù)值等于單位時間內(nèi)完成全振動的次數(shù)，用f表示．在國際單位制中，頻率的單位是赫茲，簡稱赫，符號是Hz.
4．周期和頻率的關(guān)系：f＝eq \f(1,T).周期和頻率都是表示物體振動快慢的物理量，周期越小，頻率越大，表示振動越快．
5．圓頻率ω：表示簡諧運(yùn)動的快慢，其與周期T、頻率f間的關(guān)系式為ω＝eq \f(2π,T)，ω＝2πf.
三、相位
1．概念：描述周期性運(yùn)動在一個運(yùn)動周期中的狀態(tài)．
2．表示：相位的大小為ωt＋φ，其中φ是t＝0時的相位，叫初相位，或初相．
3．相位差：兩個相同頻率的簡諧運(yùn)動的相位的差值，Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)．
四、簡諧運(yùn)動的表達(dá)式
x＝Asin (ωt＋φ0)＝Asin (eq \f(2π,T)t＋φ0)，其中：A為振幅，ω為圓頻率，T為簡諧運(yùn)動的周期，φ0為初相位．
1．判斷下列說法的正誤．
(1)在簡諧運(yùn)動的過程中，振幅是不斷變化的．( × )
(2)振幅是振動物體離開平衡位置的最大位移，它是矢量．( × )
(3)振子從離開某位置到重新回到該位置的過程為一次全振動過程．( × )
(4)振動周期指的是振動物體從一側(cè)最大位移處，運(yùn)動到另一側(cè)最大位移處所用的時間．( × )
(5)相位反映了振動物體的振動步調(diào)．( √ )
(6)兩個振動物體相位相同，則其振動步調(diào)相反．( × )
(7)按x＝5sin (8πt＋eq \f(1,4)π) cm的規(guī)律振動的彈簧振子的振動周期為0.25 s．( √ )
2．彈簧振子在A、B間做簡諧運(yùn)動，O為平衡位置，A、B間距離是20 cm，振子從A到B運(yùn)動的時間是2 s，如圖1所示，則彈簧振子的振幅A＝________ cm，彈簧振子的振動周期為________ s，圓頻率ω＝________ rad/s.
圖1
答案 10 4 eq \f(π,2)
一、簡諧運(yùn)動的振幅、周期和頻率
導(dǎo)學(xué)探究
如圖2所示為理想彈簧振子，O點(diǎn)為它的平衡位置，其中A、A′點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)對稱．
圖2
(1)從振子某一時刻經(jīng)過O點(diǎn)開始計時，至下一次再經(jīng)過O點(diǎn)的時間為一個周期嗎？
(2)先后將振子拉到A點(diǎn)和B點(diǎn)由靜止釋放，兩種情況下振子振動的周期相同嗎？振子完成一次全振動通過的位移相同嗎？路程相同嗎？
答案 (1)不是．經(jīng)過一個周期振子一定從同一方向經(jīng)過O點(diǎn)，即經(jīng)過一個周期，位移、速度第一次同時與初始時刻相同．
(2)周期相同，振動的周期取決于振動系統(tǒng)本身，與振幅無關(guān)．位移相同，均為零．路程不相同，一個周期內(nèi)振子通過的路程與振幅有關(guān)．
知識深化
1．對全振動的理解
(1)經(jīng)過一次全振動，位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同時與初始狀態(tài)相同．
(2)經(jīng)過一次全振動，振子歷時一個周期．
(3)經(jīng)過一次全振動，振子的路程為振幅的4倍．
2．振幅和位移的區(qū)別
(1)振幅等于最大位移的數(shù)值．
(2)對于一個給定的振動，振子的位移是時刻變化的，但振幅是不變的．
(3)位移是矢量，振幅是標(biāo)量．
3．路程與振幅的關(guān)系
(1)振動物體在一個周期內(nèi)的路程為四個振幅．
(2)振動物體在半個周期內(nèi)的路程為兩個振幅．
(3)振動物體在eq \f(1,4)個周期內(nèi)的路程不一定等于一個振幅．
4．一個振動系統(tǒng)的周期和頻率有確定的值，由振動系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定，與振幅無關(guān)．
如圖3所示，將彈簧振子從平衡位置下拉一段距離Δx，靜止釋放后振子在A、B間振動，且AB＝20 cm，振子由A首次到B的時間為0.1 s，求：
圖3
(1)振子振動的振幅、周期和頻率；
(2)振子由A首次到O的時間；
(3)振子在5 s內(nèi)通過的路程及偏離平衡位置的位移大?。?br>答案 (1)10 cm 0.2 s 5 Hz (2)0.05 s (3)1 000 cm 10 cm
解析 (1)由題圖可知，振子振動的振幅為10 cm，
t＝0.1 s＝eq \f(T,2)，所以T＝0.2 s.
由f＝eq \f(1,T)得f＝5 Hz.
(2)根據(jù)簡諧運(yùn)動的對稱性可知，振子由A首次到O的時間與振子由O首次到B的時間相等，均為0.05 s.
(3)設(shè)彈簧振子的振幅為A，A＝10 cm.振子在1個周期內(nèi)通過的路程為4A，故在t＝5 s＝25T內(nèi)通過的路程s＝40×25 cm＝1 000 cm.5 s內(nèi)振子振動了25個周期，故5 s末振子仍處在A點(diǎn)，所以振子偏離平衡位置的位移大小為10 cm.
(2020·長春外國語學(xué)校期中)一質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動，其位移x與時間t的關(guān)系圖像如圖4所示，由圖可知( )
圖4
A．質(zhì)點(diǎn)振動的頻率是4 Hz，振幅是2 cm
B．質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過1 s通過的路程總是2 cm
C．0～3 s內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)通過的路程為6 cm
D．t＝3 s時，質(zhì)點(diǎn)的振幅為零
答案 C
解析 由題圖可以直接看出振幅為2 cm，周期為4 s，所以頻率為0.25 Hz，故A錯誤；質(zhì)點(diǎn)在1 s即eq \f(1,4)個周期內(nèi)通過的路程不一定等于一個振幅，故B錯誤；t＝0時質(zhì)點(diǎn)在正向最大位移處，0～3 s為eq \f(3,4)T，則質(zhì)點(diǎn)通過的路程為3A＝6 cm，故C正確；振幅等于質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的最大距離，與質(zhì)點(diǎn)的位移有本質(zhì)的區(qū)別，t＝3 s時，質(zhì)點(diǎn)的位移為零，但振幅仍為2 cm，故D錯誤．
二、簡諧運(yùn)動的表達(dá)式、相位
1．相位
相位ωt＋φ描述做簡諧運(yùn)動的物體在各個不同時刻所處的不同狀態(tài)，是描述不同振動的振動步調(diào)的物理量．它是一個隨時間變化的量，相當(dāng)于一個角度，相位每增加2π，意味著物體完成了一次全振動．
2．相位差
頻率相同的兩個簡諧運(yùn)動有固定的相位差，即Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)．
若Δφ＝0，表明兩個物體運(yùn)動步調(diào)相同，即同相；
若Δφ＝π，表明兩個物體運(yùn)動步調(diào)相反，即反相．
3．簡諧運(yùn)動的表達(dá)式x＝Asin (eq \f(2π,T)t＋φ0)
(1)表達(dá)式反映了做簡諧運(yùn)動的物體的位移x隨時間t的變化規(guī)律．
(2)從表達(dá)式x＝Asin (ωt＋φ)體會簡諧運(yùn)動的周期性．當(dāng)Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ時，Δt＝eq \f(2nπ,ω)＝nT，振子位移相同，每經(jīng)過周期T完成一次全振動．
(2020·福建泉州永春第一中學(xué)月考)有一個彈簧振子，振幅為0.8 cm，周期為0.5 s，初始時具有負(fù)方向的最大加速度，則它的振動方程是( )
A．x＝8×10－3sin(4πt＋eq \f(π,2)) m
B．x＝8×10－3sin(4πt－eq \f(π,2)) m
C．x＝8×10－3sin(4πt＋eq \f(3π,2)) m
D．x＝8×10－3sin(eq \f(π,4)t＋eq \f(π,2)) m
答案 A
解析 由題可知，A＝0.8 cm＝8×10－3 m，T＝0.5 s，則ω＝eq \f(2π,T)＝4π rad/s，初始時刻具有負(fù)方向的最大加速度，則初位移x0＝0.8 cm，初相位φ0＝eq \f(π,2)，得彈簧振子的振動方程為x＝8×10－3sin(4πt＋eq \f(π,2)) m，A正確．
三、簡諧運(yùn)動的周期性與對稱性
簡諧運(yùn)動是一種周期性的運(yùn)動，簡諧運(yùn)動的物理量隨時間周期性變化，如圖5所示，物體在A、B兩點(diǎn)間做簡諧運(yùn)動，O點(diǎn)為平衡位置，OC＝OD.
圖5
(1)時間的對稱
①物體來回通過相同兩點(diǎn)間的時間相等，即tDB＝tBD.
②物體經(jīng)過關(guān)于平衡位置對稱的等長的兩線段的時間相等，圖中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO.
(2)速度的對稱
①物體連續(xù)兩次經(jīng)過同一點(diǎn)(如D點(diǎn))的速度大小相等，方向相反．
②物體經(jīng)過關(guān)于O點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)(如C點(diǎn)與D點(diǎn))時，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．
(3)位移的對稱
①物體經(jīng)過同一點(diǎn)(如C點(diǎn))時，位移相同．
②物體經(jīng)過關(guān)于O點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)(如C點(diǎn)與D點(diǎn))時，位移大小相等、方向相反．
命題角度1 簡諧運(yùn)動的對稱性
(2020·吉林八校期中聯(lián)考)如圖6所示，彈簧振子以O(shè)點(diǎn)為平衡位置，在B、C兩點(diǎn)間做簡諧運(yùn)動，在t＝0時刻，振子從O、B間的P點(diǎn)以速度v向B點(diǎn)運(yùn)動；在t＝0.2 s時，振子速度第一次變?yōu)椋璿；在t＝0.5 s時，振子速度第二次變?yōu)椋璿，已知B、C之間的距離為25 cm.
圖6
(1)求彈簧振子的振幅A；
(2)求彈簧振子的振動周期T和頻率f.
答案 (1)12.5 cm (2)1 s 1 Hz
解析 (1)彈簧振子以O(shè)點(diǎn)為平衡位置，在B、C兩點(diǎn)間做簡諧運(yùn)動，所以振幅是B、C之間距離的一半，
所以A＝eq \f(25,2) cm＝12.5 cm.
(2)由簡諧運(yùn)動的對稱性可知從P到B的時間與從B返回到P的時間是相等的，
所以tBP＝eq \f(0.2,2) s＝0.1 s
同理可知：tPO＝eq \f(0.5－0.2,2) s＝0.15 s，
又tBP＋tPO＝eq \f(T,4)
可得：T＝1 s，
則f＝eq \f(1,T)＝1 Hz.
命題角度2 簡諧運(yùn)動的多解性
一質(zhì)點(diǎn)在平衡位置O附近做簡諧運(yùn)動，從它經(jīng)過平衡位置起開始計時，經(jīng)0.13 s質(zhì)點(diǎn)第一次通過M點(diǎn)，再經(jīng)0.1 s第二次通過M點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)振動周期的可能值為多大？
答案 0.72 s或0.24 s
解析 將物理過程模型化，畫出具體的圖景．
第一種可能是M點(diǎn)在O點(diǎn)右方，質(zhì)點(diǎn)從O到M運(yùn)動時間為0.13 s，再由M經(jīng)最右端A返回M經(jīng)歷時間為0.1 s，如圖甲所示．
另有一種可能是M點(diǎn)在O點(diǎn)左方，如圖乙所示，質(zhì)點(diǎn)由O點(diǎn)經(jīng)最右端A點(diǎn)后向左經(jīng)過O點(diǎn)到達(dá)M點(diǎn)歷時0.13 s，再由M向左經(jīng)最左端A′點(diǎn)返回M歷時0.1 s.
根據(jù)以上分析，質(zhì)點(diǎn)振動周期共存在兩種可能性．
第一種情況，由圖甲可以看出質(zhì)點(diǎn)從O→M→A歷時0.18 s，根據(jù)簡諧運(yùn)動的對稱性可得eq \f(T1,4)＝0.18 s，得T1＝0.72 s．另一種情況，由圖乙可知，質(zhì)點(diǎn)從O→A→M歷時t1＝0.13 s，質(zhì)點(diǎn)從M→A′歷時t2＝0.05 s，則eq \f(3,4)T2＝t1＋t2，解得T2＝0.24 s.
1．周期性造成多解：物體經(jīng)過同一位置可以對應(yīng)不同的時刻，物體的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，這樣就形成簡諧運(yùn)動的多解問題．
2．對稱性造成多解：由于簡諧運(yùn)動具有對稱性，因此當(dāng)物體通過兩個對稱位置時，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，這種也形成多解問題.
1．(描述簡諧運(yùn)動的物理量)彈簧振子在A、B間做簡諧運(yùn)動，O為平衡位置，A、B間的距離是20 cm，振子由A運(yùn)動到B的時間是2 s，如圖7所示，則( )
圖7
A．從O→B→O振子做了一次全振動
B．振動周期為2 s，振幅是10 cm
C．從B開始經(jīng)過6 s，振子通過的路程是60 cm
D．從O開始經(jīng)過3 s，振子處在平衡位置
答案 C
解析 振子從O→B→O只完成半個全振動，A錯誤；從A→B振子也只完成了半個全振動，半個全振動的時間是2 s，所以振動周期是4 s，振幅是振動物體離開平衡位置的最大距離，振幅A＝10 cm，B錯誤；t＝6 s＝1eq \f(1,2)T，所以振子經(jīng)過的路程為4A＋2A＝6A＝60 cm，C正確；從O開始經(jīng)過3 s，振子處在位置A或B，D錯誤．
2．(簡諧運(yùn)動的表達(dá)式)(多選)(2020·山東省實驗中學(xué)檢測)一彈簧振子A的位移x隨時間t變化的關(guān)系式為x＝0.1sin 2.5πt，位移x的單位為m，時間t的單位為s.則( )
A．彈簧振子的振幅為0.2 m
B．彈簧振子的周期為1.25 s
C．在t＝0.2 s時，振子的運(yùn)動速度為零
D．若另一彈簧振子B的位移x隨時間t變化的關(guān)系式為x＝0.2sin (2.5πt＋eq \f(π,4))(m)，則A滯后Beq \f(π,4)
答案 CD
解析 由振動方程可知振幅為0.1 m，圓頻率ω＝2.5π rad/s，故周期T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,2.5π) s＝0.8 s，故A、B錯誤；在t＝0.2 s時，x＝0.1 m，即振子的位移最大，速度最小，為零，故C正確；兩振動的相位差Δφ＝φ2－φ1＝2.5πt＋eq \f(π,4)－2.5πt＝eq \f(π,4)，即B超前Aeq \f(π,4)，或者說A滯后Beq \f(π,4)，故D正確．
3．(簡諧運(yùn)動的周期性和對稱性)如圖8所示，一質(zhì)點(diǎn)沿水平直線做簡諧運(yùn)動，先后以相同速度通過a、b兩點(diǎn)，經(jīng)歷時間tab＝1 s，過b點(diǎn)后再經(jīng)t′＝1 s質(zhì)點(diǎn)第一次反向通過b點(diǎn)．O點(diǎn)為平衡位置，若在這兩秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)通過的路程是8 cm，求該質(zhì)點(diǎn)的振動周期和振幅．
圖8
答案 4 s 4 cm
解析 簡諧運(yùn)動是以平衡位置為中心的對稱運(yùn)動，因為通過a、b兩點(diǎn)時的速度相同，根據(jù)簡諧運(yùn)動的對稱性，可知質(zhì)點(diǎn)從b點(diǎn)返回a點(diǎn)所用的時間必與從a點(diǎn)到b點(diǎn)所用的時間相同，即tba＝tab＝1 s，質(zhì)點(diǎn)從a點(diǎn)經(jīng)最左端位置d再返回a點(diǎn)所用的時間tada必與質(zhì)點(diǎn)從b點(diǎn)經(jīng)最右端位置c再返回b點(diǎn)所用的時間tbcb相等，即tada＝tbcb＝t′＝1 s.
綜上所述，質(zhì)點(diǎn)的振動周期為T＝tab＋tbcb＋tba＋tada＝4 s．由題圖和簡諧運(yùn)動的對稱性可知，質(zhì)點(diǎn)在一個周期內(nèi)通過的路程為s＝2eq \x\t(ab)＋2eq \x\t(bc)＋2eq \x\t(ad)＝2(eq \x\t(ab)＋2eq \x\t(bc))＝2×8 cm＝16 cm.所以質(zhì)點(diǎn)的振幅為A＝eq \f(s,4)＝4 cm.
考點(diǎn)一 簡諧運(yùn)動的振幅、周期和頻率
1．(多選)下列關(guān)于簡諧運(yùn)動的振幅、周期和頻率的說法中正確的是( )
A．振幅是矢量，方向從平衡位置指向最大位移處
B．周期和頻率的乘積是一個常數(shù)
C．振幅增加，周期必然增加，而頻率減小
D．做簡諧運(yùn)動的物體，其頻率固定，與振幅無關(guān)
答案 BD
解析 振幅是振動物體離開平衡位置的最大距離，是標(biāo)量，A錯誤；周期和頻率互為倒數(shù)，即T＝eq \f(1,f)，故T·f＝1，B正確；做簡諧運(yùn)動的物體的振動周期和頻率只與振動系統(tǒng)本身有關(guān)，與振幅無關(guān)，C錯誤，D正確．
2.(多選)(2020·江蘇蘇州高二下期中)如圖1所示，彈簧振子在A、B之間做簡諧運(yùn)動，O為平衡位置，測得A、B間距為8 cm，小球完成30次全振動所用時間為60 s，則( )
圖1
A．振動周期是2 s，振幅是8 cm
B．振動頻率是2 Hz
C．小球完成一次全振動通過的路程是16 cm
D．小球過O點(diǎn)時開始計時，3 s內(nèi)通過的路程為24 cm
答案 CD
解析 由題意可知T＝eq \f(60,30) s＝2 s，A＝eq \f(8,2) cm＝4 cm，A錯誤；頻率f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,2) Hz＝0.5 Hz，B錯誤；小球完成一次全振動通過的路程為振幅的4倍，即4×4 cm＝16 cm，C正確；小球在3 s內(nèi)通過的路程為s＝eq \f(t,T)×4A＝eq \f(3,2)×4×4 cm＝24 cm，D正確．
3．(2021·臨漳一中月考)如圖2甲所示，彈簧振子在豎直方向做簡諧運(yùn)動．以其平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向上為正方向建立坐標(biāo)軸，振子的位移x隨時間t的變化如圖乙所示，下列說法正確的是( )
甲 乙
圖2
A．振子的振幅為4 cm
B．振子的振動周期為1 s
C．t＝1 s時，振子的速度為正的最大值
D．t＝1 s時，振子的加速度為正的最大值
答案 C
解析 由振動圖像可知，振子的振幅為2 cm，周期為2 s，故A、B錯誤；t＝1 s時，振子處于平衡位置，加速度為0，速度為正的最大值，故C正確，D錯誤．
4．(多選)如圖3是一做簡諧運(yùn)動的物體的振動圖像，下列說法正確的是( )
圖3
A．振動周期是2×10－2 s
B．物體振動的頻率為25 Hz
C．物體振動的振幅為10 cm
D．在6×10－2 s內(nèi)通過的路程是60 cm
答案 BCD
解析 由題圖知周期是4×10－2 s，A項錯誤；又f＝eq \f(1,T)，所以f＝25 Hz，B項正確；由題圖知物體振動的振幅A＝10 cm，C項正確；t＝6×10－2 s＝1eq \f(1,2)T，所以物體通過的路程為4A＋2A＝6A＝60 cm，D項正確．
5．關(guān)于彈簧振子的位置和路程，下列說法中正確的是( )
A．運(yùn)動一個周期，位置一定不變，路程一定等于振幅的4倍
B．運(yùn)動半個周期，位置一定不變，路程一定等于振幅的2倍
C．運(yùn)動eq \f(3,4)個周期，位置可能不變，路程一定等于振幅的3倍
D．運(yùn)動一段時間位置不變時，路程一定等于振幅的4倍
答案 A
解析 運(yùn)動一個周期，振子完成一次全振動，回到起始位置，故位置一定不變，路程是振幅的4倍，故A正確；例如：振子從一端開始運(yùn)動，經(jīng)過半個周期，則振子恰好到達(dá)另一端點(diǎn)，位置變化，故B錯誤；若從最大位移處與平衡位置之間的某點(diǎn)開始運(yùn)動，運(yùn)動eq \f(3,4)周期時由于速度不是均勻變化的，路程并不等于振幅的3倍，故C錯誤；只有振子振動一個周期時，路程才等于振幅的4倍，例如：振子回到出發(fā)點(diǎn)，但速度反向，則不是一個周期，路程不等于振幅的4倍，故D錯誤．
考點(diǎn)二 簡諧運(yùn)動的相位及表達(dá)式
6．某質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動，其位移隨時間變化的關(guān)系式為x＝3sin(eq \f(2π,3)t＋eq \f(π,2)) cm，則( )
A．質(zhì)點(diǎn)的振幅為3 m
B．質(zhì)點(diǎn)的振動周期為eq \f(2,3) s
C．t＝0.75 s時，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)距平衡位置最遠(yuǎn)處
D．質(zhì)點(diǎn)前2 s內(nèi)的位移為－4.5 cm
答案 D
解析 從關(guān)系式可知A＝3 cm，ω＝eq \f(2π,3) rad/s，故周期為T＝eq \f(2π,ω)＝3 s，A、B錯誤；t＝0.75 s時，質(zhì)點(diǎn)的位移為x＝3sin(eq \f(2π,3)×eq \f(3,4)＋eq \f(π,2)) cm＝0，質(zhì)點(diǎn)在平衡位置處，C錯誤；在t＝0時刻質(zhì)點(diǎn)的位移x＝3 cm,2 s時質(zhì)點(diǎn)的位移x′＝3sin(eq \f(2π,3)×2＋eq \f(π,2)) cm＝－1.5 cm，故前2 s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移為－4.5 cm，D正確．
7.(多選)如圖4所示，A、B為兩簡諧運(yùn)動的圖像，下列說法正確的是( )
圖4
A．A、B之間的相位差是eq \f(π,2)
B．A、B之間的相位差是π
C．B比A超前eq \f(T,4)
D．A比B超前eq \f(T,4)
答案 AD
解析 由題圖可知A比B超前eq \f(T,4)，相位差為Δφ＝eq \f(π,2)，選項A、D正確．
8．(多選)某質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動，其位移隨時間變化的關(guān)系式為x＝Asin eq \f(π,4)t，則質(zhì)點(diǎn)( )
A．第1 s末與第3 s末的位移相同
B．第1 s末與第3 s末的速度相同
C．第3 s末與第5 s末的位移方向相同
D．第3 s末與第5 s末的速度方向相同
答案 AD
解析 根據(jù)x＝Asin eq \f(π,4)t可求得該質(zhì)點(diǎn)的振動周期為T＝8 s，則該質(zhì)點(diǎn)的振動圖像如圖所示．圖像中圖線切線的斜率為正表示速度為正，反之為負(fù)，由圖可以看出第1 s末和第3 s末的位移相同，但斜率一正一負(fù)，故速度方向相反，選項A正確，B錯誤；第3 s末和第5 s末的位移方向相反，但兩點(diǎn)的斜率均為負(fù)，故速度方向相同，選項C錯誤，D正確．
考點(diǎn)三 簡諧運(yùn)動的周期性與對稱性
9．一質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動，它從最大位移處經(jīng)0.3 s第一次到達(dá)某點(diǎn)M處，再經(jīng)0.2 s第二次到達(dá)M點(diǎn)，則其振動頻率為( )
A．0.4 Hz B．0.8 Hz C．2.5 Hz D．1.25 Hz
答案 D
解析 由題意知，從M位置沿著原路返回到起始最大位移處的時間也為0.3 s，故完成一個全振動的時間為：T＝0.3 s＋0.2 s＋0.3 s＝0.8 s，故頻率為f＝eq \f(1,T)＝1.25 Hz，D正確．
10.一個做簡諧運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)，先后以同樣的速度通過相距10 cm的A、B兩點(diǎn)，歷時0.5 s(如圖5所示)．過B點(diǎn)后再經(jīng)過t＝0.5 s，質(zhì)點(diǎn)以大小相等、方向相反的速度再次通過B點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)振動的周期是( )
圖5
A．0.5 s B．1.0 s
C．2.0 s D．4.0 s
答案 C
解析 根據(jù)題意，由振動的對稱性可知：AB的中點(diǎn)(設(shè)為O)為平衡位置，A、B兩點(diǎn)對稱分布于O點(diǎn)兩側(cè)，如圖所示．質(zhì)點(diǎn)從平衡位置O向右運(yùn)動到B的時間為tOB＝eq \f(1,2)×0.5 s＝0.25 s．質(zhì)點(diǎn)從B向右到達(dá)右方最遠(yuǎn)位置(設(shè)為D)的時間tBD＝eq \f(1,2)×0.5 s＝0.25 s，所以，質(zhì)點(diǎn)從O到D的時間：tOD＝eq \f(1,4)T＝0.25 s＋0.25 s＝0.5 s，所以T＝2.0 s，C正確．
11．(多選)如圖6甲所示，彈簧振子以O(shè)點(diǎn)為平衡位置，在M、N兩點(diǎn)之間做簡諧運(yùn)動，以向右為正方向．振動物體的位移x隨時間t變化的圖像如圖乙所示．下列判斷正確的是( )
圖6
A．t＝0.8 s時，振動物體的速度方向向左
B．振動物體做簡諧運(yùn)動的表達(dá)式為x＝12sin (1.25πt) cm
C．t＝0.4 s和t＝1.2 s時，振動物體的加速度相同
D．從t＝0.4 s到t＝0.8 s時間內(nèi)，振動物體的速度逐漸增大
答案 ABD
解析 t＝0.8 s時，x－t圖像中圖線切線的斜率為負(fù)，說明振動物體的速度為負(fù)，即速度方向向左，A正確；由題圖乙可知，ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,1.6) rad/s＝1.25π rad/s，振幅為A＝12 cm，振動物體做簡諧運(yùn)動的表達(dá)式為x＝Asin ωt＝12sin (1.25πt) cm，B正確；t＝0.4 s和t＝1.2 s時，振動物體分別在正向最大位移處和負(fù)向最大位移處，位移方向相反，其加速度方向相反，C錯誤；從t＝0.4 s到t＝0.8 s時間內(nèi)，振動物體由正向最大位移處向平衡位置靠近，速度逐漸增大，D正確．
12．(多選)彈簧振子以O(shè)點(diǎn)為平衡位置做簡諧運(yùn)動，從振子通過O點(diǎn)時開始計時，振子第一次到達(dá)M點(diǎn)用了0.3 s，又經(jīng)過0.2 s第二次通過M點(diǎn)，則振子第三次通過M點(diǎn)還要經(jīng)過的時間可能是( )
A.eq \f(1,3) s B.eq \f(8,15) s C．1.4 s D．1.6 s
答案 AC
解析 假設(shè)彈簧振子在B、C之間振動，如圖甲，若振子開始先向左振動，振子的振動周期為T＝eq \f(0.3＋\f(0.2,2),3)×4 s＝eq \f(1.6,3) s，則振子第三次通過M點(diǎn)還要經(jīng)過的時間是t＝eq \f(1.6,3) s－0.2 s＝eq \f(1,3) s．如圖乙，若振子開始先向右振動，振子的振動周期為T＝4×(0.3＋eq \f(0.2,2)) s＝1.6 s，則振子第三次通過M點(diǎn)還要經(jīng)過的時間是t＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s，A、C正確．
13．如圖7所示為A、B兩質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動的位移－時間圖像．試根據(jù)圖像求：
圖7
(1)質(zhì)點(diǎn)A、B的振幅和周期；
(2)這兩個質(zhì)點(diǎn)簡諧運(yùn)動的位移隨時間變化的關(guān)系式；
(3)在時間t＝0.05 s時兩質(zhì)點(diǎn)的位移分別為多少．
答案 見解析
解析 (1)由題圖知質(zhì)點(diǎn)A的振幅是0.5 cm，周期為0.4 s，質(zhì)點(diǎn)B的振幅是0.2 cm，周期為0.8 s.
(2)由題圖知，質(zhì)點(diǎn)A的初相φA＝π，
由TA＝0.4 s得ωA＝eq \f(2π,TA)＝5π rad/s，
則質(zhì)點(diǎn)A的位移表達(dá)式為xA＝0.5sin (5πt＋π) cm，
質(zhì)點(diǎn)B的初相φB＝eq \f(π,2)，
由TB＝0.8 s得ωB＝eq \f(2π,TB)＝2.5π rad/s，
則質(zhì)點(diǎn)B的位移表達(dá)式為xB＝0.2sin (2.5πt＋eq \f(π,2)) cm.
(3)將t＝0.05 s分別代入兩個表達(dá)式得
xA＝0.5sin (5π×0.05＋π) cm
＝－0.5×eq \f(\r(2),2) cm＝－eq \f(\r(2),4) cm，
xB＝0.2sin (2.5π×0.05＋eq \f(π,2)) cm＝0.2sin (eq \f(5,8)π) cm.
14.(多選)如圖8所示，輕彈簧上端固定，下端連接一小物塊，物塊沿豎直方向做簡諧運(yùn)動．以豎直向上為正方向，物塊做簡諧運(yùn)動的表達(dá)式為x＝0.1sin (2.5πt) m．t＝0時刻，一小球從距物塊平衡位置h高處自由落下；t＝0.6 s時，小球恰好與物塊處于同一高度．取重力加速度的大小g＝10 m/s2.以下判斷正確的是( )
圖8
A．h＝1.7 mB．簡諧運(yùn)動的周期是0.8 s
C．0.6 s內(nèi)物塊運(yùn)動的路程是0.2 mD．t＝0.4 s時，物塊與小球運(yùn)動方向相反
答案 AB
解析 簡諧運(yùn)動的周期是T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,2.5π) s＝0.8 s，選項B正確；t＝0.6 s時，物塊的位移為x＝0.1sin (2.5π×0.6) m＝－0.1 m，則對小球h＋|x|＝eq \f(1,2)gt2，解得h＝1.7 m，選項A正確；t＝0.6 s＝eq \f(3,4)T，則0.6 s內(nèi)物塊運(yùn)動的路程是3A＝0.3 m，選項C錯誤；t＝0.4 s＝eq \f(T,2)，此時物塊在平衡位置向下振動，則此時物塊與小球運(yùn)動方向相同，選項D錯誤．