?2017-2018學(xué)年天津市河北區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
　
一、選擇題：共10小題，每小題3分，共30分．
1．（3分）二次函數(shù)y=3x2的對(duì)稱(chēng)軸是（　?。?br /> A．x=3 B．x=﹣3 C．x=0 D．y=0
2．（3分）在拋物線y=x2+2x﹣1上的一個(gè)點(diǎn)是（　?。?br /> A．（1，2） B．（0，1） C．（0，0） D．（﹣1，2）
3．（3分）下列圖形中既是中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
4．（3分）二次函數(shù)y=﹣（x﹣1）2+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（　?。來(lái)源:Z.xx.k.Com]
A．（﹣1，5） B．（1，5） C．（﹣1，﹣5） D．（1，﹣5）
5．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，已知∠BCE=70°，則∠A的度數(shù)是（　　）

A．110° B．70° C．55° D．35°
6．（3分）如圖，在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為24圓心O到AB的距離為5，則⊙O的半徑為（　?。?br />
A．12 B．12 C．13 D．12
7．（3分）已知圓的直徑為10cm，如果圓心與直線的距離是6cm，那么直線和圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（　?。?br /> A．0 B．1 C．2 D．3
8．（3分）以原點(diǎn)為中心，把點(diǎn)A（3，6）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（　　）
A．（6，3） B．（﹣3，﹣6） C．（6，﹣3） D．（﹣6，3）
9．（3分）下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為：①在等圓中，等弦對(duì)等??；②直徑是圓的對(duì)稱(chēng)軸；③平分弦的直徑垂直于這條弦．（　?。?br /> A．0 B．1 C．2 D．3
10．（3分）已知兩點(diǎn)M（6，y1），N（2，y2）均在拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）上，點(diǎn)P（x0，y0）是拋物線的頂點(diǎn)，若y0≤y2＜y1，則x0的取值范圍是（　?。?br /> A．x0＜4 B．x0＞﹣2 C．﹣6＜x0＜﹣2 D．﹣2＜x0＜2
　
二、填空題：共8小題，每小題3分，共24分．
11．（3分）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣2，5）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為　 ?。?br /> 12．（3分）二次函數(shù)y=x2+6x﹣7與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為　 ?。?br /> 13．（3分）已知二次函數(shù)y=﹣2x2+x+4，當(dāng)x＜　 　時(shí)，y隨x的增大而增大．
14．（3分）在“線段、等腰三角形、四邊形、圓”這幾個(gè)圖形中，中心對(duì)稱(chēng)圖形是　 ?。?br /> 15．（3分）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點(diǎn)，若∠P=52°，則∠C的度數(shù)為　 　．

16．（3分）已知⊙O的直徑為10，圓心O（4，5），則⊙O截y軸所得的弦長(zhǎng)為　 ?。?br /> 17．（3分）已知點(diǎn)P（m，1）與點(diǎn)P′（5，n）關(guān)于點(diǎn)A（﹣2，3）對(duì)稱(chēng)，則m﹣n=　 　．
18．（3分）定義[a，b，c]為函數(shù)y=ax2+bx+c的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函數(shù)的一些結(jié)論：
①當(dāng)m=﹣3時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）；
②當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長(zhǎng)度大于；
③當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)在時(shí)，y隨x的增大而減??；
④當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)x軸上一個(gè)定點(diǎn)．
其中正確的結(jié)論有　 　．（只需填寫(xiě)序號(hào)）
　
三、解答題：共46分．
19．（5分）已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0），若自變量x一函數(shù)值y的部分對(duì)應(yīng)值如表所示，求拋物線的解析式．
x
…
﹣1
0
3
…
y1=ax2+bx+c
…
0

0
…
20．（6分）如圖，已知△ABC是等腰三角形，AD為中線，⊙O的圓心在AD上且與腰AB相切于點(diǎn)E，求證：AC是⊙O的切線．

21．（7分）如圖，△ABD，△ACE都是等邊三角形，求證：BE=DC．

22．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（6，0），B（0，6），點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，當(dāng)矩形PCOD面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

23．（10分）如圖，AB、BC、CD分別與⊙O相切于E、F、G三點(diǎn)，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm．
（Ⅰ）求證：OB⊥OC；
（Ⅱ）求CG的長(zhǎng)．

24．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+2ax﹣3a與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．
（Ⅰ）求拋物線的對(duì)稱(chēng)軸及線段AB的長(zhǎng)；
（Ⅱ）如拋物線的頂點(diǎn)為P，若∠APB=120°，求頂點(diǎn)P的坐標(biāo)及a的值；
（Ⅲ）若a＞0，且在拋物線上存在點(diǎn)N，使得∠ANB=90°，是直接寫(xiě)出a的取值范圍．
　

2017-2018學(xué)年天津市河北區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
　
一、選擇題：共10小題，每小題3分，共30分．
1．（3分）二次函數(shù)y=3x2的對(duì)稱(chēng)軸是（　?。?br /> A．x=3 B．x=﹣3 C．x=0 D．y=0
【解答】解：∵a=3，b=0，
∴二次函數(shù)y=3x2的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=﹣=﹣=0．
故選：C．
　
2．（3分）在拋物線y=x2+2x﹣1上的一個(gè)點(diǎn)是（　?。?br /> A．（1，2） B．（0，1） C．（0，0） D．（﹣1，2）
【解答】解：
當(dāng)x=1時(shí)，y=1+2﹣1=2，故意點(diǎn)（1，2）在拋物線上，故A正確；
當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣1≠1，故點(diǎn)（0，1）和（0，0）不在拋物線上，故B、C不正確；
當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=1﹣2﹣1=﹣2≠2，故點(diǎn)（﹣1，2）不在拋物線上，故D不正確；
故選：A．
　
3．（3分）下列圖形中既是中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】解：A、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；
B、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；
C、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也是中心對(duì)稱(chēng)圖形，符合題意；
D、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意．
故選：C．
　
4．（3分）二次函數(shù)y=﹣（x﹣1）2+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（　?。?br /> A．（﹣1，5） B．（1，5） C．（﹣1，﹣5） D．（1，﹣5）
【解答】解：因?yàn)閥=﹣（x﹣1）2+5是拋物線的頂點(diǎn)式，
根據(jù)頂點(diǎn)式的坐標(biāo)特點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，5）．
故選：B．
　
5．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，已知∠BCE=70°，則∠A的度數(shù)是（　　）

A．110° B．70° C．55° D．35°
【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠A=∠BCE=70°，
故選：B．
　
6．（3分）如圖，在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為24圓心O到AB的距離為5，則⊙O的半徑為（　?。?br />
A．12 B．12 C．13 D．12
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AC=BC=AB=12，
則OA==13，
故選：C．
　
7．（3分）已知圓的直徑為10cm，如果圓心與直線的距離是6cm，那么直線和圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（　?。?br /> A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：根據(jù)題意，可知圓的半徑為5cm．
因?yàn)閳A心到直線l的距離為6cm，
d＞r，[來(lái)源:Zxxk.Com]
直線和圓相離，
所以直線和圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0，
故選：A．
　
8．（3分）以原點(diǎn)為中心，把點(diǎn)A（3，6）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（　?。?br /> A．（6，3） B．（﹣3，﹣6） C．（6，﹣3） D．（﹣6，3）
【解答】解：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣6，3）．

故選：D．
　
9．（3分）下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為：①在等圓中，等弦對(duì)等弧；②直徑是圓的對(duì)稱(chēng)軸；③平分弦的直徑垂直于這條弦．（　?。來(lái)源:Z。xx。k.Com]
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：在等圓中，等弦對(duì)的弧不一定是等弧，①錯(cuò)誤；
直徑所在的直線是圓的對(duì)稱(chēng)軸，②錯(cuò)誤；
平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，③錯(cuò)誤；
故選：A．
　
10．（3分）已知兩點(diǎn)M（6，y1），N（2，y2）均在拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）上，點(diǎn)P（x0，y0）是拋物線的頂點(diǎn)，若y0≤y2＜y1，則x0的取值范圍是（　?。來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]
A．x0＜4 B．x0＞﹣2 C．﹣6＜x0＜﹣2 D．﹣2＜x0＜2
【解答】解：∵點(diǎn)C（x0，y0）是拋物線的頂點(diǎn)，y1＞y2≥y0，
∴拋物線有最小值，函數(shù)圖象開(kāi)口向上，
∴a＞0，36a+6b+c＞4a+2b+c，
∴8a＞﹣b，
∴﹣＜=4，
∴x0＜4．
故選：A．
　
二、填空題：共8小題，每小題3分，共24分．
11．（3分）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣2，5）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為?。?，﹣5）?。?br /> 【解答】解：點(diǎn)P（﹣2，5）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣5），
故答案為：（2，﹣5）．
　
12．（3分）二次函數(shù)y=x2+6x﹣7與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為?。ī?，0）和（1，0）?。?br /> 【解答】解：當(dāng)y=0時(shí)，有x2+6x﹣7=0，即（x+7）（x﹣1）=0，
解得：x1=﹣7，x2=1，
∴二次函數(shù)y=x2+6x﹣7與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣7，0）和（1，0）．
故答案為：（﹣7，0）和（1，0）．
　
13．（3分）已知二次函數(shù)y=﹣2x2+x+4，當(dāng)x＜　　時(shí)，y隨x的增大而增大．
【解答】解：
∵y=﹣2x2+x+4=﹣2（x﹣）2+，
∴拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為x=，
∴當(dāng)x＜時(shí)，y隨x的增大而增大，
故答案為：．
　
14．（3分）在“線段、等腰三角形、四邊形、圓”這幾個(gè)圖形中，中心對(duì)稱(chēng)圖形是　線段、圓?。?br /> 【解答】解：在“線段、等腰三角形、四邊形、圓”這幾個(gè)圖形中，中心對(duì)稱(chēng)圖形是：線段、圓．
故答案為：線段、圓．
　
15．（3分）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點(diǎn)，若∠P=52°，則∠C的度數(shù)為　64°?。?br />
【解答】解：∵PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點(diǎn)，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=180°﹣∠P=180°﹣52°=128°，
∴∠C=∠AOB=×128°=64°．
故答案為64°．
　
16．（3分）已知⊙O的直徑為10，圓心O（4，5），則⊙O截y軸所得的弦長(zhǎng)為　6?。?br /> 【解答】解：
∵⊙O的直徑為10，
∴OA=5，
∵OD=4，
∴AD=，
∴⊙O截y軸所得的弦長(zhǎng)為6，
故答案為：6．
　
17．（3分）已知點(diǎn)P（m，1）與點(diǎn)P′（5，n）關(guān)于點(diǎn)A（﹣2，3）對(duì)稱(chēng)，則m﹣n=　﹣14?。?br /> 【解答】解：∵點(diǎn)P（m，1）與點(diǎn)P′（5，n）關(guān)于點(diǎn)A（﹣2，3）對(duì)稱(chēng)，
∴=﹣2， =3，
∴m=﹣9，n=5，
則m﹣n=﹣9﹣5=﹣14．
故答案為﹣14．
　
18．（3分）定義[a，b，c]為函數(shù)y=ax2+bx+c的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函數(shù)的一些結(jié)論：
①當(dāng)m=﹣3時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）；
②當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長(zhǎng)度大于；
③當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)在時(shí)，y隨x的增大而減??；
④當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)x軸上一個(gè)定點(diǎn)．
其中正確的結(jié)論有?、佗冖堋。ㄖ恍杼顚?xiě)序號(hào)）
【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)y=ax2+bx+c的特征數(shù)為[2m，1﹣m，﹣1﹣m]；
①當(dāng)m=﹣3時(shí)，y=﹣6x2+4x+2=﹣6（x﹣）2+，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）；此結(jié)論正確；
②當(dāng)m＞0時(shí)，令y=0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=0，解得x=，x1=1，x2=﹣﹣，
|x2﹣x1|=+＞，所以當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長(zhǎng)度大于，此結(jié)論正確；
③當(dāng)m＜0時(shí)，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m） 是一個(gè)開(kāi)口向下的拋物線，其對(duì)稱(chēng)軸是：，在對(duì)稱(chēng)軸的右邊y隨x的增大而減?。?yàn)楫?dāng)m＜0時(shí)， =﹣＞，即對(duì)稱(chēng)軸在x=右邊，因此函數(shù)在x=右邊先遞增到對(duì)稱(chēng)軸位置，再遞減，此結(jié)論錯(cuò)誤；
④當(dāng)x=1時(shí)，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）=0 即對(duì)任意m，函數(shù)圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）那么同樣的：當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)圖象都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)（1，0），當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)（1，0），故當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)x軸上一個(gè)定點(diǎn)此結(jié)論正確．
根據(jù)上面的分析，①②④都是正確的，③是錯(cuò)誤的．
故答案為：①②④．
　
三、解答題：共46分．
19．（5分）已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0），若自變量x一函數(shù)值y的部分對(duì)應(yīng)值如表所示，求拋物線的解析式．
x
…
﹣1
0
3
…
y1=ax2+bx+c
…
0

0
…
【解答】解：由題意拋物線與x軸交于點(diǎn)（﹣1，0），（3，0），設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣3），
把（0，）代入，得﹣3a=，解得a=﹣，
所以拋物線的解析式為y=﹣（x+1）（x﹣3），
即y=﹣x2+x+．
　
20．（6分）如圖，已知△ABC是等腰三角形，AD為中線，⊙O的圓心在AD上且與腰AB相切于點(diǎn)E，求證：AC是⊙O的切線．

【解答】證明：過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，連結(jié)OD，OA，
∵AB與⊙O相切于點(diǎn)D，
∴AB⊥OD，
∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，
∴AO是∠BAC的平分線，
∴OE=OD，即OE是⊙O的半徑，
∵AC經(jīng)過(guò)⊙O的半徑OE的外端點(diǎn)且垂直于OE，
∴AC是⊙O的切線．

　
21．（7分）如圖，△ABD，△ACE都是等邊三角形，求證：BE=DC．

【解答】證明：∵△ABD、△AEC都是等邊三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，
∴∠DAC=∠BAC+60°，
∠BAE=∠BAC+60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE=DC．
　
22．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（6，0），B（0，6），點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，當(dāng)矩形PCOD面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【解答】解：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，則OD=PC=t，
∵OA=6、OB=6，OA⊥OB，
∴∠B=30°，PC⊥OB，
∴BC===t，
∴OC=OB﹣BC=6﹣t，[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)]
則S矩形OCPD=OD?OC=t（6﹣t）=﹣t2+6t=﹣（t﹣3）2+9，
∴當(dāng)t=3時(shí)，S矩形OCPD取得最大值，
當(dāng)t=3時(shí)，OC=6﹣3=3，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，3）．
　
23．（10分）如圖，AB、BC、CD分別與⊙O相切于E、F、G三點(diǎn)，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm．
（Ⅰ）求證：OB⊥OC；
（Ⅱ）求CG的長(zhǎng)．

【解答】解：（Ⅰ）連接OF；根據(jù)切線長(zhǎng)定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBE+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠BOC=90°．
∵OB=6cm，OC=8cm，
∴由勾股定理得到：BC==10cm，
∴OF=4.8cm．
∴BF=3.6cm，
∵CF、CG分別與⊙O相切于F、G，
∴CG=CF=6.4cm．

　
24．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+2ax﹣3a與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．
（Ⅰ）求拋物線的對(duì)稱(chēng)軸及線段AB的長(zhǎng)；
（Ⅱ）如拋物線的頂點(diǎn)為P，若∠APB=120°，求頂點(diǎn)P的坐標(biāo)及a的值；
（Ⅲ）若a＞0，且在拋物線上存在點(diǎn)N，使得∠ANB=90°，是直接寫(xiě)出a的取值范圍．
【解答】解：（Ⅰ）令y=0得：ax2+2ax﹣3a=0，即a（x+3）（x﹣1）=0，
解得：x=﹣3或x=1，
∴A（﹣3，0）、B（1，0）．
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=﹣1，AB=4．

（Ⅱ）如圖1所示：

設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)H．
∵∠APB=120°，AB=4，PH在對(duì)稱(chēng)軸上，
∴AH=2，∠APH=60°．
∴PH=．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，±）．
將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得：±=﹣4a，解得a=±．

（Ⅲ）如圖2所示：以AB為直徑作⊙H．

∵當(dāng)∠ANB=90°，
∴點(diǎn)N在⊙H上．
∵點(diǎn)N在拋物線上，
∴點(diǎn)N為拋物線與⊙H的交點(diǎn)．
∴點(diǎn)P在圓上或點(diǎn)P在圓外．
∴HP≥2．
∵將x=﹣1代入得：y=﹣4a．
∴HP=4a．
∴4a≥2，解得a≥．
∴a的取值范圍是a≥．
　

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