?2017-2018學(xué)年福建省福州市鼓樓區(qū)三牧中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
　
一、選擇題（本題共10題，每小題4分，共40分）
1．（4分）下面的圖形中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）方程x2=2x的解是（　?。?br /> A．x=0 B．x=2 C．x=0或x=2 D．x=±
3．（4分）下列事件中，是不可能事件的是（　?。?br /> A．買一張電影票，座位號(hào)是奇數(shù)
B．射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中9環(huán)
C．明天會(huì)下雨
D．度量三角形的內(nèi)角和，結(jié)果是360°
4．（4分）二次函數(shù)y=（x+3）2+7的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（　　）
A．（﹣3，7） B．（3，7） C．（﹣3，﹣7） D．（3，﹣7）
5．（4分）如圖，⊙O是△AB C外接圓，∠A=40°，則∠OBC=（　?。?br />
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．（4分）興化市“菜花節(jié)”觀賞人數(shù)逐年增加，據(jù)有關(guān)部門統(tǒng)計(jì)，2015年約為20萬(wàn)人次，2017年約為28.8萬(wàn)人次，設(shè)觀賞人數(shù)年均增長(zhǎng)率為x，則下列方程中正確的是（　　）
A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20
C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8
7．（4分）如圖，圓錐的底面半徑r為6cm，高h(yuǎn)為8cm，則圓錐的側(cè)面積為（　　）

A．30πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm2
8．（4分）如圖，在?ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，連接AE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，S△DEF：S△ABF=4：25，則DE：EC=（　?。?br />
A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2
9．（4分）如圖，已知菱形OABC的頂點(diǎn)O（0，0），B（2，2），若菱形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45°，則第60秒時(shí)，菱形的對(duì)角線交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（　　）

A．（1，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（，0） D．（0，﹣）
10．（4分）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖，圖象過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x=2，下列結(jié)論：
①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y的值隨x值的增大而增大．
其中正確的結(jié)論有（　?。?br />
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
　
二、填空題（本題共6題，每小題4分，共24分）
11．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（3，0）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是　 ?。?br /> 12．（4分）在一個(gè)不透明的盒子里有2個(gè)紅球和n個(gè)白球，這些球除顏色外其余完全相同，搖勻后隨機(jī)摸出一個(gè)，摸到紅球的概率是，則n的值是　 　．
13．（4分）如圖，把Rt△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)44°，得到Rt△AB′C′，點(diǎn)C′恰好落在邊AB上，連接BB′，則∠BB′C′=　 　．

14．（4分）如圖，利用標(biāo)桿BE測(cè)量建筑物的高度．若標(biāo)桿BE的高為1.2m，測(cè)得AB=1.6m，BC=12.4m，則樓高CD為　 　m．

15．（4分）如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知折痕AE=5cm，且tan∠EFC=，那么矩形ABCD的周長(zhǎng)為　 　cm．

16．（4分）如圖，M為雙曲線y=上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸、y軸的垂線，分別交直線y=﹣x+m于D、C兩點(diǎn)，若直線y=﹣x+m與y軸交于點(diǎn)A，與x軸相交于點(diǎn)B．則AD?BC的值為　 　．

　
三、解答題（共8小題，滿分72分）
17．（8分）計(jì)算：．
18．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4），將△ABC繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1BC1，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出△A1BC1，并求出線段BC旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積（結(jié)果保留π）

19．（8分）在一個(gè)箱子中放有三張完全相同的卡片，卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3．從箱子中任意取出一張卡片，用卡片上的數(shù)字作為十位數(shù)字，放回后攪勻，再取出一張卡片，用卡片上的數(shù)字作為個(gè)位數(shù)字，這樣組成一個(gè)兩位數(shù)．
（1）請(qǐng)你用畫樹狀圖或列表的方法表示所有等可能的結(jié)果；
（2）組成的兩位數(shù)是偶數(shù)的概率是多少？
20．（8分）已知關(guān)于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．
（1）求證：無(wú)論m取何值方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若此方程的一個(gè)根是1，請(qǐng)求出方程的另一個(gè)根，并求以此兩根為邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)．
21．（8分）如圖，點(diǎn)A（m，6）、B（n，1）在反比例函數(shù)圖象上，AD⊥x軸于點(diǎn)D，BC⊥x軸于點(diǎn)C，DC=5．
（1）求m、n的值并寫出該反比例函數(shù)的解析式．
（2）點(diǎn)E在線段CD上，S△ABE=10，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

22．（10分）某進(jìn)口專營(yíng)店銷售一種“特產(chǎn)”，其成本價(jià)是20元/千克，根據(jù)以往的銷售情況描出銷量y（千克/天）與售價(jià)x（元/千克）的關(guān)系，如圖所示．
（1）試求出y與x之間的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用（1）的結(jié)論：
①求每千克售價(jià)為多少元時(shí)，每天可以獲得最大的銷售利潤(rùn)．
②進(jìn)口產(chǎn)品檢驗(yàn)、運(yùn)輸?shù)冗^(guò)程需耗時(shí)5天，該“特產(chǎn)”最長(zhǎng)的保存期為一個(gè)月（30天），若售價(jià)不低于30元/千克，則一次進(jìn)貨最多只能多少千克？

23．（10分）如圖，在△ABC中，AB=AC，角平分線AE，BD相交于M，點(diǎn)O在AB邊上，以O(shè)B為半徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，且與AB相交于另一點(diǎn)F．
（1）判斷AE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）當(dāng)BC=4，cosC=，求⊙O的半徑．

24．（12分）如圖，在矩形ABCD中，AD=4，AB=1，點(diǎn)E是AD上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)BE，作點(diǎn)A關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)F，且點(diǎn)F落在矩形ABCD的內(nèi)部，連結(jié)AF、BF、EF，過(guò)點(diǎn)GF⊥AF交AD于點(diǎn)G．
（1）求證：AE=GE；
（2）當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時(shí)，求AE的長(zhǎng)；
（3）若△FCG為直角三角形，求AE的長(zhǎng)．

　

2017-2018學(xué)年福建省福州市鼓樓區(qū)三牧中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析[來(lái)源:學(xué)#科#網(wǎng)Z#X#X#K]
　
一、選擇題（本題共10題，每小題4分，共40分）
1．（4分）下面的圖形中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確；
D、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：C．
　
2．（4分）方程x2=2x的解是（　?。?br /> A．x=0 B．x=2 C．x=0或x=2 D．x=±
【解答】解：方程變形得：x2﹣2x=0，
分解因式得：x（x﹣2）=0，
解得：x1=0，x2=2．
故選：C．
　
3．（4分）下列事件中，是不可能事件的是（　?。?br /> A．買一張電影票，座位號(hào)是奇數(shù)
B．射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中9環(huán)
C．明天會(huì)下雨
D．度量三角形的內(nèi)角和，結(jié)果是360°
【解答】解：A、買一張電影票，座位號(hào)是奇數(shù)，是隨機(jī)事件，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中9環(huán)，是隨機(jī)事件，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、明天會(huì)下雨，是隨機(jī)事件，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、度量一個(gè)三角形的內(nèi)角和，結(jié)果是360°，是不可能事件，故D選項(xiàng)正確．
故選：D．
　
4．（4分）二次函數(shù)y=（x+3）2+7的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（　?。?br /> A．（﹣3，7） B．（3，7） C．（﹣3，﹣7） D．（3，﹣7）
【解答】解：∵二次函數(shù)y=（x+3）2+7是頂點(diǎn)式，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，7）．
故選：A．
　
5．（4分）如圖，⊙O是△AB C外接圓，∠A=40°，則∠OBC=（　?。?br />
A．30° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：根據(jù)圓周角定理，得
∠BOC=2∠A=80°
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB==50°．
故選：C．
　
6．（4分）興化市“菜花節(jié)”觀賞人數(shù)逐年增加，據(jù)有關(guān)部門統(tǒng)計(jì)，2015年約為20萬(wàn)人次，2017年約為28.8萬(wàn)人次，設(shè)觀賞人數(shù)年均增長(zhǎng)率為x，則下列方程中正確的是（　　）
A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20
C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8
【解答】解：設(shè)觀賞人數(shù)年均增長(zhǎng)率為x，那么依題意得20（1+x）2=28.8，
故選：C．
　
7．（4分）如圖，圓錐的底面半徑r為6cm，高h(yuǎn)為8cm，則圓錐的側(cè)面積為（　　）

A．30πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm2
【解答】解：∵h(yuǎn)=8，r=6，
可設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為l，
由勾股定理，l==10，
圓錐側(cè)面展開圖的面積為：S側(cè)=×2×6π×10=60π，
所以圓錐的側(cè)面積為60πcm2．
故選：C．
　
8．（4分）如圖，在?ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，連接AE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，S△DEF：S△ABF=4：25，則DE：EC=（　?。?br />
A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，
∴△DEF∽△BAF，
∵S△DEF：S△ABF=4：25，
∴DE：AB=2：5，
∵AB=CD，
∴DE：EC=2：3．
故選：B．
　
9．（4分）如圖，已知菱形OABC的頂點(diǎn)O（0，0），B（2，2），若菱形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45°，則第60秒時(shí)，菱形的對(duì)角線交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（　　）

A．（1，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（，0） D．（0，﹣）
【解答】解：菱形OABC的頂點(diǎn)O（0，0），B（2，2），得
D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）．
每秒旋轉(zhuǎn)45°，則第60秒時(shí)，得
45°×60=2700°，
2700°÷360=7.5周，
OD旋轉(zhuǎn)了7周半，菱形的對(duì)角線交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，﹣1），
故選：B．
　
10．（4分）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖，圖象過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x=2，下列結(jié)論：[來(lái)源:Zxxk.Com]
①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y的值隨x值的增大而增大．
其中正確的結(jié)論有（　　）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)[來(lái)源:Z+xx+k.Com]
【解答】解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣=2，
∴b=﹣4a，即4a+b=0，（故①正確）；
∵當(dāng)x=﹣3時(shí)，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，
即9a+c＜3b，（故②錯(cuò)誤）；
∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，
而b=﹣4a，
∴a+4a+c=0，即c=﹣5a，
∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，
∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，（故③正確）；
∵對(duì)稱軸為直線x=2，
∴當(dāng)﹣1＜x＜2時(shí)，y的值隨x值的增大而增大，
當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而減小，（故④錯(cuò)誤）．
故選：B．
　
二、填空題（本題共6題，每小題4分，共24分）
11．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（3，0）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是?。ī?，0）　．
【解答】解：點(diǎn)（3，0）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是：（﹣3，0）．
故答案為：（﹣3，0）．
　
12．（4分）在一個(gè)不透明的盒子里有2個(gè)紅球和n個(gè)白球，這些球除顏色外其余完全相同，搖勻后隨機(jī)摸出一個(gè)，摸到紅球的概率是，則n的值是　8?。?br /> 【解答】解：∵在一個(gè)不透明的盒子里有2個(gè)紅球和n個(gè)白球，這些球除顏色外其余完全相同，搖勻后隨機(jī)摸出一個(gè)，摸到紅球的概率是，
∴=，
解得n=8．
故答案為：8．
　
13．（4分）如圖，把Rt△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)44°，得到Rt△AB′C′，點(diǎn)C′恰好落在邊AB上，連接BB′，則∠BB′C′=　22°?。?br />
【解答】解：解：∵Rt△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°得到Rt△AB′C′，
∴AB=AB′，∠BAB′=44°，
在△ABB′中，∠ABB′=（180°﹣∠BAB′）=（180°﹣44°）=68°，
∵∠AC′B′=∠C=90°，
∴B′C′⊥AB，
∴∠BB′C′=90°﹣∠ABB′=90°﹣68°=22°．
故答案為：22°．
　
14．（4分）如圖，利用標(biāo)桿BE測(cè)量建筑物的高度．若標(biāo)桿BE的高為1.2m，測(cè)得AB=1.6m，BC=12.4m，則樓高CD為　10.5　m．

【解答】解：∵EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴=，即=，
∴CD=10.5（米）．
故答案為10.5．
　
15．（4分）如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知折痕AE=5cm，且tan∠EFC=，那么矩形ABCD的周長(zhǎng)為　36　cm．

【解答】解：∵tan∠EFC=，
∴設(shè)CE=3k，則CF=4k，
由勾股定理得EF=DE=5k，
∴DC=AB=8k，
∵∠AFB+∠BAF=90°，∠AFB+∠EFC=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
∴tan∠BAF=tan∠EFC=，
∴BF=6k，AF=BC=AD=10k，
在Rt△AFE中由勾股定理得AE===5，
解得：k=1，
故矩形ABCD的周長(zhǎng)=2（AB+BC）=2（8k+10k）=36cm，
故答案為：36．
　
16．（4分）如圖，M為雙曲線y=上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸、y軸的垂線，分別交直線y=﹣x+m于D、C兩點(diǎn)，若直線y=﹣x+m與y軸交于點(diǎn)A，與x軸相交于點(diǎn)B．則AD?BC的值為　2?。?br />
【解答】解：設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，），則C（m﹣，）、D（a，m﹣a），
∵直線y=﹣x+m與y軸交于點(diǎn)A，與x軸相交于點(diǎn)B，
∴A（0，m）、B（m，0），
∴AD?BC=?=a?=2．
故答案為：2．
　
三、解答題（共8小題，滿分72分）
17．（8分）計(jì)算：．
【解答】解：原式=﹣1+3﹣=2．
　
18．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4），將△ABC繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1BC1，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出△A1BC1，并求出線段BC旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積（結(jié)果保留π）

【解答】解：圖象如右圖．
在RT△ABC中，∵AB=2，AC=3，
∴BC==，
∴線段BC旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積==．

　
19．（8分）在一個(gè)箱子中放有三張完全相同的卡片，卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3．從箱子中任意取出一張卡片，用卡片上的數(shù)字作為十位數(shù)字，放回后攪勻，再取出一張卡片，用卡片上的數(shù)字作為個(gè)位數(shù)字，這樣組成一個(gè)兩位數(shù)．
（1）請(qǐng)你用畫樹狀圖或列表的方法表示所有等可能的結(jié)果；
（2）組成的兩位數(shù)是偶數(shù)的概率是多少？
【解答】解：（1）畫樹形圖得：

∴能組成的兩位數(shù)有：11，12，13，21，22，23，31，32，33；

（2）∵組成的兩位數(shù)是偶數(shù)，一共有3個(gè)：12，22，32；
又∵數(shù)據(jù)總個(gè)數(shù)是9個(gè)，
∴組成的兩位數(shù)是偶數(shù)的概率是=．
　
20．（8分）已知關(guān)于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．
（1）求證：無(wú)論m取何值方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若此方程的一個(gè)根是1，請(qǐng)求出方程的另一個(gè)根，并求以此兩根為邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：∵△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=（m﹣2）2+4，
∴在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，m無(wú)論取何值，（m﹣2）2+4≥4，
即△≥4，
∴關(guān)于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）根據(jù)題意，得12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）=0，
解得，m=2，
則方程的另一根為：m+2﹣1=2+1=3；
①當(dāng)該等腰三角形的腰為1、底邊為3時(shí)，
∵1+1＜3
∴構(gòu)不成三角形；
②當(dāng)該等腰三角形的腰為3、底邊為1時(shí)，等腰三角形的周長(zhǎng)=3+3+1=7．
　
21．（8分）如圖，點(diǎn)A（m，6）、B（n，1）在反比例函數(shù)圖象上，AD⊥x軸于點(diǎn)D，BC⊥x軸于點(diǎn)C，DC=5．
（1）求m、n的值并寫出該反比例函數(shù)的解析式．
（2）點(diǎn)E在線段CD上，S△ABE=10，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）由題意得：，
解得：，
∴A（1，6），B（6，1），
設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=，
將A（1，6）代入得：k=6，
則反比例解析式為y=；
（2）設(shè)E（x，0），則DE=x﹣1，CE=6﹣x，
∵AD⊥x軸，BC⊥x軸，
∴∠ADE=∠BCE=90°，
連接AE，BE，
則S△ABE=S四邊形ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE
=（BC+AD）?DC﹣DE?AD﹣CE?BC
=×（1+6）×5﹣（x﹣1）×6﹣（6﹣x）×1
=﹣x
=10，
解得：x=3，
則E（3，0）．

　
22．（10分）某進(jìn)口專營(yíng)店銷售一種“特產(chǎn)”，其成本價(jià)是20元/千克，根據(jù)以往的銷售情況描出銷量y（千克/天）與售價(jià)x（元/千克）的關(guān)系，如圖所示．
（1）試求出y與x之間的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用（1）的結(jié)論：
①求每千克售價(jià)為多少元時(shí)，每天可以獲得最大的銷售利潤(rùn)．
②進(jìn)口產(chǎn)品檢驗(yàn)、運(yùn)輸?shù)冗^(guò)程需耗時(shí)5天，該“特產(chǎn)”最長(zhǎng)的保存期為一個(gè)月（30天），若售價(jià)不低于30元/千克，則一次進(jìn)貨最多只能多少千克？

【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，則，
解得．
故函數(shù)關(guān)系式為y=﹣2x+112；

（2）依題意有
w=（x﹣20）（﹣2x+112）=﹣2（x﹣38）2+648，
故每千克售價(jià)為38元時(shí)，每天可以獲得最大的銷售利潤(rùn)；

（3）由題意可得，售價(jià)越低，銷量越大，即能最多的進(jìn)貨，
設(shè)一次進(jìn)貨最多m千克，
則≤30﹣5，
解得：m≤1300．
故一次進(jìn)貨最多只能是1300千克．
　
23．（10分）如圖，在△ABC中，AB=AC，角平分線AE，BD相交于M，點(diǎn)O在AB邊上，以O(shè)B為半徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，且與AB相交于另一點(diǎn)F．
（1）判斷AE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）當(dāng)BC=4，cosC=，求⊙O的半徑．

【解答】（1）證明：連接OM．
∵AC=AB，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，CE=BE=BC，
∵OB=OM，
∴∠OBM=∠OMB，
∵BM平分∠ABC，
∴∠OBM=∠CBM，
∴∠OMB=∠CBM，
∴OM∥BC，
又∵AE⊥BC，
∴AE⊥OM，
∴AE是⊙O的切線；

（2）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵cosC=，
∴cosB=，[來(lái)源:Z*xx*k.Com]
∵CE=BE=BC=2，
∴=，
∴AB=6，[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)]
設(shè)⊙O的半徑為R，
∵OM∥BE，
∴△OMA∽△BEA，
∴=即 =，
解得R=，
∴⊙O的半徑為．

　
24．（12分）如圖，在矩形ABCD中，AD=4，AB=1，點(diǎn)E是AD上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)BE，作點(diǎn)A關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)F，且點(diǎn)F落在矩形ABCD的內(nèi)部，連結(jié)AF、BF、EF，過(guò)點(diǎn)GF⊥AF交AD于點(diǎn)G．
（1）求證：AE=GE；
（2）當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時(shí)，求AE的長(zhǎng)；
（3）若△FCG為直角三角形，求AE的長(zhǎng)．

【解答】解：（1）由對(duì)稱知，AE=FE，
∴∠EAF=∠EFA，
∵GF⊥AF，
∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°，
∴∠FGA=∠EFG，
∴EG=EF，
∴AE=EG；

（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時(shí)，
由對(duì)稱知，BE⊥AF，
∴∠ABE+∠BAC=90°，
∵∠DAC+∠BAC=90°，
∴∠ABE=∠DAC，
∵∠BAE=∠D=90°，
∴△ABE∽△DAC，
∴，∵AB=DC，
∴AB2=AD?AE，
∵AB=1，AD=4，
∴AE=

（3）AD=4，AB=1，
如圖2，當(dāng)點(diǎn)F落在線段BC上時(shí)，EF=AE=AB=1，
∴當(dāng)點(diǎn)F落在矩形內(nèi)部時(shí)，且AE＜1
∵點(diǎn)G在AD上，
∴∠FCG＜∠BCD，
∴∠FCG＜90°，
∵△FCG為直角三角形，
∴①當(dāng)∠CFG=90°時(shí)，∵∠AFG=90°，
∴點(diǎn)F落在AC上，如圖1，
由（2）知，AE=，
②當(dāng)∠CGF=90°時(shí)，則∠CGD+∠AGF=90°，
∵∠FAG+∠AGF=90°，
∴∠CGD=∠FAG=∠ABE，
∵∠BAE=∠D=90°，
∴△ABE∽△DGC，
∴，
∴AB?DC=DG?AE，
即：DG?AE=1，
由（1）知，AE=EG，
∴DG=AD﹣AE﹣EG=AD﹣2AE=4﹣2AE，
∴（4﹣2AE）×AE=1，
∴AE=（舍）或AE=．



　

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