?2021-2022學(xué)年內(nèi)蒙古鄂爾多斯市部分中學(xué)八年級第一學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（10小題，每小題3分，共30分）
1．下列手機(jī)屏幕解鎖圖案中，不是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
2．下列每組數(shù)分別是三根小木棒的長度，它們首尾順次相接能擺成三角形的是（　?。?br /> A．1cm，2cm，4cm B．12cm，13cm，20cm
C．5cm，5cm，11cm D．14cm，16cm，30cm
3．若一個多邊形的內(nèi)角和與外角和之差是720°，則此多邊形是（　　）邊形．
A．6 B．7 C．8 D．9
4．如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA的長分別為8，12，10，其三條角平分線將△ABC分為三個三角形，則S△ABO：S△BCO：S△AOC等于（　?。?br />
A．1：1：1 B．2：4：3 C．4：6：5 D．4：6：10
5．△ABC的三角之比是1：2：3，則△ABC是（　?。?br /> A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法確定
6．如圖，已知∠C＝∠D＝90°，有四個可添加的條件：①AC＝BD；②BC＝AD；③∠CAB＝∠DBA；④∠CBA＝∠DAB．能使△ABC≌△BAD的條件有（　?。?br />
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
7．如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D、E、F分別為邊BC、AD、CE的中點(diǎn)，且S陰影＝3cm2，則△ABC的面積為（　?。┢椒嚼迕祝?br />
A．9 B．12 C．15 D．18
8．如圖，在△MPN中，H是高M(jìn)Q和NR的交點(diǎn)，且MQ＝NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，則MH長為（　?。?br />
A．3 B．4 C．5 D．6
9．用直尺和圓規(guī)作一個角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC＝∠BOC的依據(jù)是（　?。?br />
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等
10．如圖，D為△BAC的外角∠FAC平分線上一點(diǎn)并且滿足BD＝CD，過點(diǎn)D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延長線于F，則下列結(jié)論：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠ABD＝∠BDE．其中正確的結(jié)論有（　?。?br />
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題：（3×6＝18分
11．下列是利用了三角形的穩(wěn)定性的有 　 　個．
①自行車的三角形車架；②校門口的自動伸縮柵欄門；③照相機(jī)的三腳架；④長方形門框的斜拉條．
12．如圖，一個等邊三角形紙片，剪去一個角后得到一個四邊形，則圖中∠α+∠β＝　 ?。?br />
13．如圖，將一副直角三角板如圖所示放置，使含30°角的三角板的一條直角邊和含45°的三角板的一條直角邊重合，則∠1的度數(shù)為　 ?。?br />
14．如圖，已知AB＝AC，AD＝AE和∠A＝54°，∠B＝28°，則∠ODB度數(shù)為　 ?。?br />
15．已知BD是△ABC的一條中線，△ABD與△BCD的周長分別為21，12，則AB﹣BC的長是　 　．
16．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD于E，若BD＝8，則CE為 　 ?。?br />
三.簡答題：
17．已知：如圖，△ABC中，AD是高，AE平分∠BAC，∠B＝50°，∠C＝80°．
（1）求∠DAC的度數(shù)；
（2）求∠AED的度數(shù)．

18．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE平分∠ADC交AB邊于點(diǎn)E，BF平分∠ABC交DC邊于點(diǎn)F．
求證：DE∥BF．

19．觀察探究及應(yīng)用．
（1）如圖，觀察圖形并填空：

一個四邊形有 　 　條對角線；一個五邊形有 　 　條對角線；一個六邊形有 　 　條對角線；
（2）分析探究：
由凸n邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)，可作 　 　條對角線，多邊形有n個頂點(diǎn)，若允許重復(fù)計數(shù)，共可作 　 　條對角線；
（3）結(jié)論：一個凸n邊形有 　 　條對角線；
（4）應(yīng)用：一個凸十二邊形有多少條對角線？
20．如圖，在邊長為1的方格紙上，直線AB和直線AC交于點(diǎn)A，點(diǎn)A、B、C都是格點(diǎn)．
（1）尺規(guī)作圖，在網(wǎng)格中找到點(diǎn)D，使點(diǎn)D到直線AB和直線AC的距離相等，且點(diǎn)D到點(diǎn)B、C的距離相等；
（2）在（1）的情況下，直接寫出∠BAC和∠BDC的數(shù)量關(guān)系 　 ?。?br />
21．如圖，點(diǎn)C、E、F、B在同一直線上，AB∥CD，CE＝BF，∠A＝∠D．求證：AB＝CD．

22．如圖，△ABC的邊AB與△EDC的邊ED相交于點(diǎn)F，連接CF．已知AC＝EC，BC＝DC，∠BCD＝∠ACE．
（1）求證：AB＝ED；
（2）求證：FC平分∠BFE．

23．在學(xué)習(xí)完“探索三角形全等的條件”一節(jié)后，小麗總結(jié)出很多全等三角形的模型，她設(shè)計了以下問題給同桌解決：做一個“U”字形框架PABQ，其中AB＝20cm，AP，BQ足夠長，PA⊥AB于點(diǎn)A，QB⊥AB于點(diǎn)B，點(diǎn)M從B出發(fā)向A運(yùn)動，同時點(diǎn)N從B出發(fā)向Q運(yùn)動，速度之比為2：3，運(yùn)動到某一瞬間兩點(diǎn)同時停止，在AP上取點(diǎn)C，使△ACM與△BMN全等，求AC的長．

24．如圖所示，在人教版八年級上冊數(shù)學(xué)教材P53的數(shù)學(xué)活動中有這樣一段描述：

（1）D為△ABC外一點(diǎn)，若AD＝CD，AB＝CB，則我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，試猜想箏形的角、對角線有什么性質(zhì)？然后選擇其中一條性質(zhì)用全等三角形的知識證明你的猜想．
（2）知識拓展：如果D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD平分∠ABC，且AD＝CD，試證明：AB＝CB．
25．在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種類型的方法是倍延中線．
（1）如圖1，AD是△ABC的中線，AB＝7，AC＝5，求AD的取值范圍，我們可以延長AD到點(diǎn)M，使DM＝AD，連接BM，易證△ADC≌△MDB，所以BM＝AC．接下來，在△ABM中利用三角形的三邊關(guān)系可求得AM的取值范圍，從而得到中線AD的取值范圍是 　 　；
（2）如圖2，AD是△ABC的中線，點(diǎn)E在邊AC上，BE交AD于點(diǎn)F，且AE＝EF，求證：AC＝BF；
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，連接CE，ED，CE⊥DE，試猜想線段BC，CD，AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．



參考答案
一、選擇題（10小題，每小題3分，共30分）
1．下列手機(jī)屏幕解鎖圖案中，不是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項(xiàng)分析判斷即可得解．
解：A、是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
2．下列每組數(shù)分別是三根小木棒的長度，它們首尾順次相接能擺成三角形的是（　?。?br /> A．1cm，2cm，4cm B．12cm，13cm，20cm
C．5cm，5cm，11cm D．14cm，16cm，30cm
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，進(jìn)行分析即可求解．
解：A、1+2＜4，不能組成三角形，不符合題意；
B、13+12＞20，能夠組成三角形，符合題意；
C、5+5＜11，不能組成三角形，不符合題意；
D、14+16＝30，不能組成三角形，不符合題意；
故選：B．
3．若一個多邊形的內(nèi)角和與外角和之差是720°，則此多邊形是（　?。┻呅危?br /> A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】先求出多邊形的內(nèi)角和，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出邊數(shù)即可．
解：∵一個多邊形的內(nèi)角和與外角和之差為720°，多邊形的外角和是360°，
∴這個多邊形的內(nèi)角和為720°+360°＝1080°，
設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，
則（n﹣2）×180°＝1080°，
解得：n＝8，
即多邊形是八邊形，
故選：C．
4．如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA的長分別為8，12，10，其三條角平分線將△ABC分為三個三角形，則S△ABO：S△BCO：S△AOC等于（　?。?br />
A．1：1：1 B．2：4：3 C．4：6：5 D．4：6：10
【分析】利用角平分線上的一點(diǎn)到角兩邊的距離相等的性質(zhì)，可知三個三角形高相等，底分別是8，10，12，所以面積之比就是4：6：5．
解：過點(diǎn)O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，

∵點(diǎn)O是內(nèi)心，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△AOC＝?AB?OE：?BC?OF：?AC?OD＝AB：BC：AC＝8：12：10＝4：6：5，
故選：C．
5．△ABC的三角之比是1：2：3，則△ABC是（　?。?br /> A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法確定
【分析】設(shè)∠A＝x，則∠B＝2x，∠C＝3x，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出x的值，進(jìn)而可得出結(jié)論．
解：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴設(shè)∠A＝x，則∠B＝2x，∠C＝3x，
∴x+2x+3x＝180°，
解得x＝30°，
∴∠C＝3x＝90°，
∴此三角形是直角三角形．
故選：B．
6．如圖，已知∠C＝∠D＝90°，有四個可添加的條件：①AC＝BD；②BC＝AD；③∠CAB＝∠DBA；④∠CBA＝∠DAB．能使△ABC≌△BAD的條件有（　?。?br />
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】要確定添加的條件，首先要看現(xiàn)有的已知條件，∠C＝∠D＝90°，還有一條公共邊AB＝AB，具備一角，一邊分別對應(yīng)相等，只要再添加任意一邊或任意一角都能使得三角形全等，于是答案可得．
解：添加①AC＝BD，可根據(jù)HL判定△ABC≌△BAD；
添加②BC＝AD，可根據(jù)HL判定△ABC≌△BAD
添加③∠CAB＝∠DBA，可根據(jù)AAS判定△ABC≌△BAD；
添加④∠CBA＝∠DAB，可根據(jù)AAS判定△ABC≌△BAD．
故選：D．
7．如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D、E、F分別為邊BC、AD、CE的中點(diǎn)，且S陰影＝3cm2，則△ABC的面積為（　?。┢椒嚼迕祝?br />
A．9 B．12 C．15 D．18
【分析】由于三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，則S△CFB＝S△EFB＝3cm2，于是得到S△CEB＝6cm2，再求出S△BDE＝3cm2，利用E點(diǎn)為AD的中點(diǎn)得到S△ABD＝2S△BDE＝6cm2，然后利用S△ABC＝2S△ABD求解．
解：∵F點(diǎn)為CE的中點(diǎn)，
∴S△CFB＝S△EFB＝3cm2，
∴S△CEB＝6cm2，
∵D點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，
∴S△BDE＝S△BCE＝3cm2，
∵E點(diǎn)為AD的中點(diǎn)，
∴S△ABD＝2S△BDE＝6cm2，
∴S△ABC＝2S△ABD＝12cm2．
故選：B．
8．如圖，在△MPN中，H是高M(jìn)Q和NR的交點(diǎn)，且MQ＝NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，則MH長為（　?。?br />
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】證明△MQP≌△NQH，由全等三角形的性質(zhì)可得PQ＝QH＝5，根據(jù)MQ＝NQ＝9，即可解決問題．
解：∵M(jìn)Q⊥PN，NR⊥PM，
∴∠NQH＝∠NRP＝∠HRM＝90°，
∵∠RHM＝∠QHN，
∴∠PMH＝∠HNQ，
在△MQP和△NQH中，
，
∴△MQP≌△NQH（ASA），
∴PQ＝QH＝5，
∵NQ＝MQ＝9，
∴MH＝MQ﹣HQ＝9﹣5＝4，
故選：B．
9．用直尺和圓規(guī)作一個角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC＝∠BOC的依據(jù)是（　?。?br />
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等
【分析】連接NC，MC，根據(jù)SSS證△ONC≌△OMC，即可推出答案．
解：連接NC，MC，
在△ONC和△OMC中
，
∴△ONC≌△OMC（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
故選：A．
10．如圖，D為△BAC的外角∠FAC平分線上一點(diǎn)并且滿足BD＝CD，過點(diǎn)D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延長線于F，則下列結(jié)論：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠ABD＝∠BDE．其中正確的結(jié)論有（　?。?br />
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】由角平分線的性質(zhì)得DE＝DF，證明Rt△CDE≌△Rt△BDF（HL），故①正確；再證Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），得AE＝AF，故②正確；由∠DBF＝∠DCE，得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，可證③正確；由∠DEA＝90°，而∠BAC≠90°，則BA與DE不平行，可知④錯誤．
解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，
在Rt△CDE與Rt△BDF中，
，
∴Rt△CDE≌△Rt△BDF（HL），
故①正確；
∴CE＝AF，
在Rt△ADE與Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴CE＝AB+AF＝AB+AE，
故②正確；
∵Rt△CDE≌Rt△BDF，
∴∠DBF＝∠DCE，
∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓，
∴∠BDC＝∠BAC，
故③正確；
∵DE⊥AC，
∴∠DEA＝90°，
而∠BAC≠90°，
∴BA與DE不平行，
∴∠ABD≠∠BDE，
故④錯誤．
∴正確的結(jié)論有3個，
故選：C．
二、填空題：（3×6＝18分
11．下列是利用了三角形的穩(wěn)定性的有 　3　個．
①自行車的三角形車架；②校門口的自動伸縮柵欄門；③照相機(jī)的三腳架；④長方形門框的斜拉條．
【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性解決此題．
解：利用三角形的穩(wěn)定性的有①③④，共3個．
故答案為：3．
12．如圖，一個等邊三角形紙片，剪去一個角后得到一個四邊形，則圖中∠α+∠β＝　240°　．

【分析】本題可先根據(jù)等邊三角形頂角的度數(shù)求出兩底角的度數(shù)和，然后在四邊形中根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°，求出∠α+∠β的度數(shù)．
解：∵等邊三角形的頂角為60°，
∴兩底角和＝180°﹣60°＝120°；
∴∠α+∠β＝360°﹣120°＝240°
故答案是：240°．
13．如圖，將一副直角三角板如圖所示放置，使含30°角的三角板的一條直角邊和含45°的三角板的一條直角邊重合，則∠1的度數(shù)為　75°?。?br />
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠DMC，求出∠AMF，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠1＝∠A+∠AMF，代入求出即可．
【解答】
解：∵∠ACB＝90°，
∴∠MCD＝90°，
∵∠D＝60°，
∴∠DMC＝30°，
∴∠AMF＝∠DMC＝30°，
∵∠A＝45°，
∴∠1＝∠A+∠AMF＝45°+30°＝75°，
故答案為75°．
14．如圖，已知AB＝AC，AD＝AE和∠A＝54°，∠B＝28°，則∠ODB度數(shù)為　82°?。?br />
【分析】由“SAS”可證△ABE≌△ACD，可得∠B＝∠C＝28°，由外角的性質(zhì)可求解．
解：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠B＝∠C＝28°，
∴∠ODB＝∠A+∠C＝28°+54°＝82°，
故答案為：82°．
15．已知BD是△ABC的一條中線，△ABD與△BCD的周長分別為21，12，則AB﹣BC的長是　9?。?br /> 【分析】由于BD是△ABC的一條中線，由此可以得到AD＝CD，而△ABD與△BCD的周長分別為21，12，并且BD公共，利用三角形的周長公式即可求出AB﹣BC的長．
解：∵BD是△ABC的一條中線，
∴AD＝CD，
而△ABD與△BCD的周長分別為21，12，并且BD公共，
∴AB﹣BC的長＝21﹣12＝9．
16．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD于E，若BD＝8，則CE為 　4　．

【分析】延長BA，CE交于點(diǎn)F，證△BEF≌△BEC，△ABD≌△ACF，得出EF＝EC，EC＝CF，及BD＝CF，則CE＝BD，可以求出其值．
解：延長BA，CE交于點(diǎn)F，
∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠CDE+∠ACF＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF，
∵AB＝AC，
∵CE⊥BD，
∴∠BEC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠BEC，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵CE⊥BD，
∴∠BEF＝∠BEC＝90°
在△BEF和△BEC中，
，
∴△BEF≌△BEC（ASA），
∴EF＝EC，
∴EC＝CF，
∴CE＝BD，
∵BD＝8，
∴CE＝4
故答案為：4．

三.簡答題：
17．已知：如圖，△ABC中，AD是高，AE平分∠BAC，∠B＝50°，∠C＝80°．
（1）求∠DAC的度數(shù)；
（2）求∠AED的度數(shù)．

【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可求得∠BAC的度數(shù)，由AE是∠BAC的平分線，可得∠EAC的度數(shù)，在直角△ADC中，可求出∠DAC的度數(shù)；
（2）得出∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC，進(jìn)而即可解答．
解：（1）∵△ABC中，∠B＝50°，∠C＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C
＝180°﹣50°﹣80°
＝50°，
∵AE是∠BAC的平分線，
∴∠EAC＝∠BAC＝25°，
∵AD是BC邊上的高，
∴在直角△ADC中，
∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣80°＝10°，
（2）∵∠DAC＝10°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝25°﹣10°＝15°，
∴∠AED＝90°﹣∠DAE＝90°﹣15°＝75°．
18．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE平分∠ADC交AB邊于點(diǎn)E，BF平分∠ABC交DC邊于點(diǎn)F．
求證：DE∥BF．

【分析】由四邊形的內(nèi)角和為360度求出∠ADC+∠ABC度數(shù)，由DE、BF分別為角平分線，利用角平分線定義及等量代換得到∠ADE+∠FBC為90度，再由直角三角形ADE兩銳角互余及∠ADE＝∠EDC，利用等量代換得到一對同位角相等，利用同位角相等兩直線平行即可得證．
【解答】證明：∵四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵DE平分∠ADC交AB邊于點(diǎn)E，BF平分∠ABC交DC邊于點(diǎn)F，
∴∠ADE＝∠EDC，∠ABF＝∠CBF，
∴∠ADE+∠FBC＝90°，
∵∠AED+∠ADE＝90°，∠ADE＝∠EDC，
∴∠AED＝∠ABF，
∴DE∥BF．
19．觀察探究及應(yīng)用．
（1）如圖，觀察圖形并填空：

一個四邊形有 　2　條對角線；一個五邊形有 　5　條對角線；一個六邊形有 　9　條對角線；
（2）分析探究：
由凸n邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)，可作 ?。╪﹣3）　條對角線，多邊形有n個頂點(diǎn)，若允許重復(fù)計數(shù)，共可作 　n（n﹣3）　條對角線；
（3）結(jié)論：一個凸n邊形有 　　條對角線；
（4）應(yīng)用：一個凸十二邊形有多少條對角線？
【分析】（1）根據(jù)圖形數(shù)出對角線條數(shù)即可；
（2）根據(jù)n邊形從一個頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n﹣3）條對角線即可求解；
（3）由（2）可知，任意凸n邊形的對角線有條，即可解答；
（4）由（3）把n＝12代入計算即可．
解：（1）根據(jù)圖形數(shù)出對角線條數(shù)，一個四邊形有2條對角線，一個五邊形有5條對角線，一個六邊形有9對角線，一個七邊形有14對角線；
故答案為：2，5，9；
（2）n邊形從一個頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n﹣3）條對角線，若允許重復(fù)計數(shù)，共可作n（n﹣3）條對角線；
故答案為：（n﹣3），n（n﹣3）；
（3）由（2）可知，任意凸n邊形的對角線有條，
故答案為：；
（4）把n＝12代入計算得：＝54．
故答案為：54．
20．如圖，在邊長為1的方格紙上，直線AB和直線AC交于點(diǎn)A，點(diǎn)A、B、C都是格點(diǎn)．
（1）尺規(guī)作圖，在網(wǎng)格中找到點(diǎn)D，使點(diǎn)D到直線AB和直線AC的距離相等，且點(diǎn)D到點(diǎn)B、C的距離相等；
（2）在（1）的情況下，直接寫出∠BAC和∠BDC的數(shù)量關(guān)系 　∠BAC+∠BDC＝180°?。?br />
【分析】（1）∠BAC的角平分線，線段BC的垂直平分線的交點(diǎn)D即可所求．
（2）結(jié)論：∠BAC+∠BDC＝180°，構(gòu)造全等三角形證明即可．
解：（1）如圖，點(diǎn)D即為所求．


（2）結(jié)論；∠BAC+∠BDC＝180°．
理由：過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．
∵∠AMD＝∠AND＝90°，
∴∠BAC+∠MDN＝180°，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，
，
∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），
∴∠MDB＝∠NDC，
∴∠BDC＝∠MDN，
∴∠BAC+∠BDC＝180°．
故答案為：∠BAC+∠BDC＝180°．
21．如圖，點(diǎn)C、E、F、B在同一直線上，AB∥CD，CE＝BF，∠A＝∠D．求證：AB＝CD．

【分析】由“AAS”可證△AEB≌△DFC，可得AB＝CD．
【解答】證明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵CE＝BF，
∴CE+EF＝BF+EF，
∴CF＝BE，
在△AEB和△DFC中，
，
∴△AEB≌△DFC（AAS），
∴AB＝CD．
22．如圖，△ABC的邊AB與△EDC的邊ED相交于點(diǎn)F，連接CF．已知AC＝EC，BC＝DC，∠BCD＝∠ACE．
（1）求證：AB＝ED；
（2）求證：FC平分∠BFE．

【分析】（1）根據(jù)SAS證明△ABC與△EDC全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；
（2）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出CG＝CH，進(jìn)而利用角平分線的性質(zhì)解答即可．
【解答】證明：（1）∵∠BCD＝∠ACE，
∴∠BCD+∠ACD＝∠ACE+∠ACD，
即∠BCA＝∠DCE，
在△ABC與△EDC中
，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴AB＝ED；
（2）過點(diǎn)C作CG⊥AB，CH⊥DE，垂足分別為G，H，
∵△ABC≌△EDC，
∴∠B＝∠D，
∵CG⊥AB，CH⊥DE，
∴∠BGC＝∠DHC＝90°，
在△BCG與△DCH中
，
∴△BCG≌△DCH（AAS），
∴CG＝CH，
∴FC平分∠BFE．
23．在學(xué)習(xí)完“探索三角形全等的條件”一節(jié)后，小麗總結(jié)出很多全等三角形的模型，她設(shè)計了以下問題給同桌解決：做一個“U”字形框架PABQ，其中AB＝20cm，AP，BQ足夠長，PA⊥AB于點(diǎn)A，QB⊥AB于點(diǎn)B，點(diǎn)M從B出發(fā)向A運(yùn)動，同時點(diǎn)N從B出發(fā)向Q運(yùn)動，速度之比為2：3，運(yùn)動到某一瞬間兩點(diǎn)同時停止，在AP上取點(diǎn)C，使△ACM與△BMN全等，求AC的長．

【分析】設(shè)BM＝2t，則BN＝3t，使△ACM與△BMN全等，由∠A＝∠B＝90°可知，分兩種情況：
情況一：當(dāng)BM＝AC，BN＝AM時，列方程解得t，可得AC；
情況二：當(dāng)BM＝AM，BN＝AC時，列方程解得t，可得AC．
解：設(shè)BM＝2tcm，則BN＝3tcm，因?yàn)椤螦＝∠B＝90°，使△ACM與△BMN全等，可分兩種情況：
情況一：當(dāng)BM＝AC，BN＝AM時，
∵BN＝AM，AB＝20cm，
∴3t＝20﹣2t，
解得：t＝4，
∴AC＝BM＝2t＝2×4＝8cm；
情況二：當(dāng)BM＝AM，BN＝AC時，
∵BM＝AM，AB＝20cm，
∴2t＝20﹣2t，
解得：t＝5，
∴AC＝BN＝3t＝3×5＝15cm，
綜上所述，AC＝8cm或AC＝15cm．
24．如圖所示，在人教版八年級上冊數(shù)學(xué)教材P53的數(shù)學(xué)活動中有這樣一段描述：

（1）D為△ABC外一點(diǎn)，若AD＝CD，AB＝CB，則我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，試猜想箏形的角、對角線有什么性質(zhì)？然后選擇其中一條性質(zhì)用全等三角形的知識證明你的猜想．
（2）知識拓展：如果D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD平分∠ABC，且AD＝CD，試證明：AB＝CB．
【分析】（1）根據(jù)已知條件可證得△ADB≌△CDB，利用全等三角形的性質(zhì)和已知條件可得△AOD≌△COD，從而可得∠AOD＝∠COD，OA＝OC，由此可得結(jié)論；
（2）過點(diǎn)D分別作DE⊥AB，DF⊥ACA，垂足分別為E，F(xiàn)，然后由角平分線的性質(zhì)得DE＝DF，根據(jù)直角三角形全等的判定與性質(zhì)可得結(jié)論．
解：（1）猜想BD⊥AC，∠AOD＝∠COD，AO＝OC．
∵AD＝CD，AB＝CB，
在△ADB和△BCD中，
，
∴△ADB≌△CDB（SSS），
∴∠ADO＝∠ODC，
在△AOD和△ODC中，
，
∴△AOD≌△COD（SAS），
∴∠AOD＝∠COD，OA＝OC，
∴∠DOC＝90°，
∴BD⊥AC．
（2）如圖，過點(diǎn)D分別作DE⊥AB，DF⊥ACA，垂足分別為E，F(xiàn)，

∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DF，
∵BD＝BD，
∴Rt△BDE≌Rt△BDF（HL），
∴BE＝BF，
∵ED＝FD，AD＝CD，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），
∴AE＝CF，
∴BE+AE＝CF+BF，即AB＝CB．
25．在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種類型的方法是倍延中線．
（1）如圖1，AD是△ABC的中線，AB＝7，AC＝5，求AD的取值范圍，我們可以延長AD到點(diǎn)M，使DM＝AD，連接BM，易證△ADC≌△MDB，所以BM＝AC．接下來，在△ABM中利用三角形的三邊關(guān)系可求得AM的取值范圍，從而得到中線AD的取值范圍是 　1＜AD＜6??；
（2）如圖2，AD是△ABC的中線，點(diǎn)E在邊AC上，BE交AD于點(diǎn)F，且AE＝EF，求證：AC＝BF；
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，連接CE，ED，CE⊥DE，試猜想線段BC，CD，AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．

【分析】（1）如圖1中，延長AD到點(diǎn)M，使DM＝AD，連接BM．證明△ADC≌△MDB（SAS），推出AC＝BM＝5，再根據(jù)AB﹣BM≤AM≤AB+BM，可得結(jié)論；
（2）如圖2中，延長AD到T，使得DT＝AD，連接BT．由△ADC≌△TDB，推出AC＝BT，∠C＝∠TBD，推出BT∥AC，再證明BF＝BT，可得結(jié)論；
（3）結(jié)論：CD＝AD+BC．如圖3中，延長CE交DA的延長線于點(diǎn)G．利用全等三角形的性質(zhì)證明BC＝AG，DC＝DG，可得結(jié)論．
【解答】（1）解：如圖1中，延長AD到點(diǎn)M，使DM＝AD，連接BM．

∵AD是△ABC的中線，
∴BD＝CD，
在△ADC和△MDB中，
，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴AC＝BM＝5，
∵AB＝7，
∴AB﹣BM＜AM＜AB+BM．
∴2＜AM＜12，
∴2＜2AD＜12，
∴1＜AD＜6．
故答案為：1＜AD＜6；

（2）證明：如圖2中，延長AD到T，使得DT＝AD，連接BT．

同法可證△ADC≌△TDB，
∴AC＝BT，∠C＝∠TBD，
∴BT∥AC，
∴∠T＝∠DAC，
∵EA＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，
∵∠EFA＝∠BFT，
∴∠T＝∠BFT，
∴BF＝BT，
∴AC＝BF；

（3）解：結(jié)論：CD＝AD+BC．
理由：如圖3中，延長CE交DA的延長線于點(diǎn)G．

∵AD∥BC，
∴∠G＝∠ECB，
∵E 是AB的中點(diǎn)，
∴AE＝EB，
在△AEG和△BEC中，
，
∴△AEG≌△BEC（AAS），
∴AG＝BC．EC＝EG，
∵DE⊥CG，
∴CD＝GD，
∵DG＝AD+AG＝AD+BC，
∴CD＝AD+BG．



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