?2021年湖北省荊州市中考數(shù)學真題及答案
一、選擇題(本大題共有10個小題，每小題3分，共30分)
1．在實數(shù)﹣1，0，，中，無理數(shù)是（　?。?br /> A．﹣1 B．0 C． D．
2．如圖是由一個圓柱和一個長方體組成的幾何體，則該幾何體的俯視圖是（　?。?br />
A． B．
C． D．
3．若等式2a2?a+□＝3a3成立，則□填寫單項式可以是（　?。?br /> A．a(chǎn) B．a(chǎn)2 C．a(chǎn)3 D．a(chǎn)4
4．閱讀下列材料，其①～④步中數(shù)學依據(jù)錯誤的是（　　）
如圖：已知直線b∥c，a⊥b，求證：a⊥c．
證明：①∵a⊥b（已知）
∴∠1＝90°（垂直的定義）
②又∵b∥c（已知）
∴∠1＝∠2（同位角相等，兩直線平行）
③∴∠2＝∠1＝90°（等量代換）
④∴a⊥c（垂直的定義）

A．① B．② C．③ D．④
5．若點P（a+1，2﹣2a）關(guān)于x軸的對稱點在第四象限，則a的取值范圍在數(shù)軸上表示為（　?。?br /> A．
B．
C．
D．
6．已知：如圖，直線y1＝kx+1與雙曲線y2＝在第一象限交于點P（1，t），與x軸、y軸分別交于A，B兩點，則下列結(jié)論錯誤的是（　?。?br />
A．t＝2 B．△AOB是等腰直角三角形
C．k＝1 D．當x＞1時，y2＞y1
7．如圖，矩形OABC的邊OA，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，點D在OA的延長線上，若A（2，0），D（4，0），以O(shè)為圓心、OD長為半徑的弧經(jīng)過點B，交y軸正半軸于點E，連接DE，BE，則∠BED的度數(shù)是（　?。?br />
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，點D，P分別是圖中所作直線和射線與AB，CD的交點．根據(jù)圖中尺規(guī)作圖痕跡推斷，以下結(jié)論錯誤的是（　?。?br />
A．AD＝CD B．∠ABP＝∠CBP C．∠BPC＝115° D．∠PBC＝∠A
9．如圖，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B為圓心、BC長為半徑畫，點P為菱形內(nèi)一點，連接PA，PB，PC．當△BPC為等腰直角三角形時，圖中陰影部分的面積為（　　）

A． B． C．2π D．
10．定義新運算“※”：對于實數(shù)m，n，p，q．有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右邊是通常的加法和乘法運算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22．若關(guān)于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是（　?。?br /> A．k＜且k≠0 B．k C．k且k≠0 D．k≥
二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)
11．已知：a＝（）﹣1+（﹣）0，b＝（+）（﹣），則＝　 　．
12．有兩把不同的鎖和四把鑰匙，其中兩把鑰匙分別能打開這兩把鎖，另外兩把鑰匙不能打開這兩把鎖．隨機取出一把鑰匙開任意一把鎖，一次打開鎖的概率是 　 ?。?br /> 13．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，OD⊥AC于D，連接OC，過點D作DF∥OC交AB于F，過點B的切線交AC的延長線于E．若AD＝4，DF＝，則BE＝　 ?。?br />
14．如圖1是一臺手機支架，圖2是其側(cè)面示意圖，AB，BC可分別繞點A，B轉(zhuǎn)動，測量知BC＝8cm，AB＝16cm．當AB，BC轉(zhuǎn)動到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°時，點C到AE的距離為 　 　cm．（結(jié)果保留小數(shù)點后一位，參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，≈1.73）

15．若關(guān)于x的方程+＝3的解是正數(shù)，則m的取值范圍為 　 ?。?br /> 16．如圖，過反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）圖象上的四點P1，P2，P3，P4分別作x軸的垂線，垂足分別為A1，A2，A3，A4，再過P1，P2，P3，P4分別作y軸，P1A1，P2A2，P3A3的垂線，構(gòu)造了四個相鄰的矩形．若這四個矩形的面積從左到右依次為S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，則S1與S4的數(shù)量關(guān)系為 　 ?。?br />
三、解答題(本大題共有8個小題，共72分)
17．（8分）先化簡，再求值：÷（1+），其中a＝2．
18．（8分）已知：a是不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7的最小整數(shù)解，請用配方法解關(guān)于x的方程x2+2ax+a+1＝0．
19．（8分）如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格圖形中，小正方形的邊長都為1，線段ED與AD的端點都在網(wǎng)格小正方形的頂點（稱為格點）上．
請在網(wǎng)格圖形中畫圖：
（1）以線段AD為邊畫正方形ABCD，再以線段DE為斜邊畫等腰直角三角形DEF，其中頂點F在正方形ABCD外；
（2）在（1）中所畫圖形基礎(chǔ)上，以點B為其中一個頂點畫一個新正方形，使新正方形的面積為正方形ABCD和△DEF面積之和，其它頂點也在格點上．

20．（8分）高爾基說：“書，是人類進步的階梯．”閱讀可以啟智增慧，拓展視野，…為了解學生寒假閱讀情況，開學初學校進行了問卷調(diào)查，并對部分學生假期（24天）的閱讀總時間作了隨機抽樣分析．設(shè)被抽樣的每位同學寒假閱讀的總時間為t（小時），閱讀總時間分為四個類別：A（0≤t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），將分類結(jié)果制成兩幅統(tǒng)計圖（尚不完整）．

根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）本次抽樣的樣本容量為 　 ?。?br /> （2）補全條形統(tǒng)計圖；
（3）扇形統(tǒng)計圖中a的值為 　 　，圓心角β的度數(shù)為 　 ?。?br /> （4）若該校有2000名學生，估計寒假閱讀的總時間少于24小時的學生有多少名？對這些學生用一句話提一條閱讀方面的建議．
21．（8分）小愛同學學習二次函數(shù)后，對函數(shù)y＝﹣（|x|﹣1）2進行了探究．在經(jīng)歷列表、描點、連線步驟后，得到如圖的函數(shù)圖象．請根據(jù)函數(shù)圖象，回答下列問題：
（1）觀察探究：
①寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：　 　；
②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解為：　 　；
③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四個實數(shù)根，則a的取值范圍是 　 ?。?br /> （2）延伸思考：
將函數(shù)y＝﹣（|x|﹣1）2的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到函數(shù)y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的圖象？寫出平移過程，并直接寫出當2＜y1≤3時，自變量x的取值范圍．

22．（10分）小美打算買一束百合和康乃馨組合的鮮花，在“母親節(jié)”祝福媽媽．已知買2支百合和1支康乃馨共需花費14元，3支康乃馨的價格比2支百合的價格多2元．
（1）求買一支康乃馨和一支百合各需多少元？
（2）小美準備買康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支．設(shè)買這束鮮花所需費用為w元，康乃馨有x支，求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并設(shè)計一種使費用最少的買花方案，寫出最少費用．
23．（10分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，F(xiàn)是對角線AC上不與點A，C重合的一點，過F作FE⊥AD于E，將△AEF沿EF翻折得到△GEF，點G在射線AD上，連接CG．
（1）如圖1，若點A的對稱點G落在AD上，∠FGC＝90°，延長GF交AB于H，連接CH．
①求證：△CDG∽△GAH；
②求tan∠GHC．
（2）如圖2，若點A的對稱點G落在AD延長線上，∠GCF＝90°，判斷△GCF與△AEF是否全等，并說明理由．

24．（12分）已知：直線y＝﹣x+1與x軸、y軸分別交于A，B兩點，點C為直線AB上一動點，連接OC，∠AOC為銳角，在OC上方以O(shè)C為邊作正方形OCDE，連接BE，設(shè)BE＝t．
（1）如圖1，當點C在線段AB上時，判斷BE與AB的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）直接寫出點E的坐標（用含t的式子表示）；
（3）若tan∠AOC＝k，經(jīng)過點A的拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）頂點為P，且有6a+3b+2c＝0，△POA的面積為，當t＝時，求拋物線的解析式．


2021年湖北省荊州市中考數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題(本大題共有10個小題，每小題3分，共30分)
1．在實數(shù)﹣1，0，，中，無理數(shù)是（　?。?br /> A．﹣1 B．0 C． D．
【分析】根據(jù)有理數(shù)（包括整數(shù)和分數(shù)）和無理數(shù)（無限不循環(huán)的小數(shù)）的定義判斷即可．
【解答】解：選項A、B：∵﹣1、0是整數(shù)，∴﹣1、0是有理數(shù)，∴選項A、B不符合題意；
選項C：∵是分數(shù)，∴是有理數(shù)，∴選項C不符合題意；
選項D：∵是無限不循環(huán)的小數(shù)，∴是無理數(shù)，∴選項D符合題意．
故選：D．
2．如圖是由一個圓柱和一個長方體組成的幾何體，則該幾何體的俯視圖是（　?。?br />
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)俯視圖是從上邊看得到的圖形，可得答案．
【解答】解：從上邊看，是一個矩形，矩形的內(nèi)部有一個與矩形兩邊相切的圓．
故選：A．
3．若等式2a2?a+□＝3a3成立，則□填寫單項式可以是（　?。?br /> A．a(chǎn) B．a(chǎn)2 C．a(chǎn)3 D．a(chǎn)4
【分析】直接利用單項式乘單項式以及合并同類項法則計算得出答案．
【解答】解：∵等式2a2?a+□＝3a3成立，
∴2a3+□＝3a3，
∴□填寫單項式可以是：3a3﹣2a3＝a3．
故選：C．
4．閱讀下列材料，其①～④步中數(shù)學依據(jù)錯誤的是（　?。?br /> 如圖：已知直線b∥c，a⊥b，求證：a⊥c．
證明：①∵a⊥b（已知）
∴∠1＝90°（垂直的定義）
②又∵b∥c（已知）
∴∠1＝∠2（同位角相等，兩直線平行）
③∴∠2＝∠1＝90°（等量代換）
④∴a⊥c（垂直的定義）

A．① B．② C．③ D．④
【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠1＝90°，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等得到∠2＝90°，即可判定a⊥c．
【解答】證明：①∵a⊥b（已知），
∴∠1＝90°（垂直的定義），
②又∵b∥c（已知），
∴∠1＝∠2（兩直線平行，同位角相等），
③∴∠2＝∠1＝90°（等量代換），
∴a⊥c（垂直的定義），
①～④步中數(shù)學依據(jù)錯誤的是②，
故選：B．
5．若點P（a+1，2﹣2a）關(guān)于x軸的對稱點在第四象限，則a的取值范圍在數(shù)軸上表示為（　?。?br /> A．
B．
C．
D．
【分析】由P點關(guān)于x軸的對稱點在第四象限，得出不等式組，求出不等式組的解集，即可得出選項．
【解答】解：∵點P（a+1，2﹣2a）關(guān)于x軸的對稱點在第四象限，
∴點P在第一象限，
∴，
解得：﹣1＜a＜1，
在數(shù)軸上表示為：，
故選：C．
6．已知：如圖，直線y1＝kx+1與雙曲線y2＝在第一象限交于點P（1，t），與x軸、y軸分別交于A，B兩點，則下列結(jié)論錯誤的是（　?。?br />
A．t＝2 B．△AOB是等腰直角三角形
C．k＝1 D．當x＞1時，y2＞y1
【分析】利用待定系數(shù)法求得t，k，利用直線的解析式求得A，B的坐標，可得線段OA，OB的長度，利用圖象可以判斷函數(shù)值的大?。?br /> 【解答】解：∵點P（1，t）在雙曲線y2＝上，
∴t＝＝2，正確；
∴A選項不符合題意；
∴P（1，2）．
∵P（1，2）在直線y1＝kx+1上，
∴2＝k+1．
∴k＝1，正確；
∴C選項不符合題意；
∴直線AB的解析式為y＝x+1
令x＝0，則y＝1，
∴B（0，1）．
∴OB＝1．
令y＝0，則x＝﹣1，
∴A（﹣1，0）．
∴OA＝1．
∴OA＝OB．
∴△OAB為等腰直角三角形，正確；
∴B選項不符合題意；
由圖像可知，當x＞1時，y1＞y2．
∴D選項不正確，符合題意．
故選：D．
7．如圖，矩形OABC的邊OA，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，點D在OA的延長線上，若A（2，0），D（4，0），以O(shè)為圓心、OD長為半徑的弧經(jīng)過點B，交y軸正半軸于點E，連接DE，BE，則∠BED的度數(shù)是（　?。?br />
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【分析】連接OB，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系可求出∠BOC＝30°，進而求出∠BOD＝60°最后再由圓周角定理得出答案．
【解答】解：如圖，連接OB，
∵A（2，0），D（4，0），矩形OABC，
∴OA＝2，OD＝4＝OB，
∴∠OBA＝30°，
∴∠BOD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BED＝∠BOD＝×60°＝30°，
故選：C．

8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，點D，P分別是圖中所作直線和射線與AB，CD的交點．根據(jù)圖中尺規(guī)作圖痕跡推斷，以下結(jié)論錯誤的是（　?。?br />
A．AD＝CD B．∠ABP＝∠CBP C．∠BPC＝115° D．∠PBC＝∠A
【分析】利用線段的垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理一一判斷即可．
【解答】解：由作圖可知，點D在AC的垂直平分線上，
∴DA＝DC，故選項A正確，
∴∠A＝∠ACD＝40°，
由作圖可知，BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，故選項B正確，
∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣40°）＝70°，
∵∠PBC＝∠ABC＝35°，∠PCB＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，
∴∠BPC＝180°﹣35°﹣30°＝115°，故選項C正確，
若∠PBC＝∠A，則∠A＝36°，顯然不符合題意．
故選：D．
9．如圖，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B為圓心、BC長為半徑畫，點P為菱形內(nèi)一點，連接PA，PB，PC．當△BPC為等腰直角三角形時，圖中陰影部分的面積為（　?。?br />
A． B． C．2π D．
【分析】連接AC，延長AP，交BC于E，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出△ABC是等邊三角形，進而通過三角形全等證得AE⊥BC，從而求得AE、PE，利用S陰影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC即可求得．
【解答】解：連接AC，延長AP，交BC于E，
在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，
∴∠ABC＝∠D＝60°，AB＝BC＝2，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC，
在△APB和△APC中，
，
∴△APB≌△APC（SSS），
∴∠PAB＝∠PAC，
∴AE⊥BC，BE＝CE＝1，
∵△BPC為等腰直角三角形，
∴PE＝BC＝1，
在Rt△ABE中，AE＝AB＝，
∴AP＝﹣1，
∴S陰影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC＝﹣（﹣1）×1﹣＝π﹣，
故選：A．

10．定義新運算“※”：對于實數(shù)m，n，p，q．有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右邊是通常的加法和乘法運算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22．若關(guān)于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是（　?。?br /> A．k＜且k≠0 B．k C．k且k≠0 D．k≥
【分析】先根據(jù)新定理得到k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，再整理為一般式，接著根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到k≠0且△＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：根據(jù)題意得k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，
整理得kx2+（5﹣2k）x+k＝0，
因為方程有兩個實數(shù)解，
所以k≠0且△＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，解得k≤且k≠0．
故選：C．
二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)
11．已知：a＝（）﹣1+（﹣）0，b＝（+）（﹣），則＝　2　．
【分析】先計算出a，b的值，然后代入所求式子即可求得相應(yīng)的值．
【解答】解：∵a＝（）﹣1+（﹣）0＝2+1＝3，b＝（+）（﹣）＝3﹣2＝1，
∴
＝
＝
＝2，
故答案為：2．
12．有兩把不同的鎖和四把鑰匙，其中兩把鑰匙分別能打開這兩把鎖，另外兩把鑰匙不能打開這兩把鎖．隨機取出一把鑰匙開任意一把鎖，一次打開鎖的概率是 　?。?br /> 【分析】隨機事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．
【解答】解：由題意得，
共有2×4＝8種等可能情況，其中能打開鎖的情況有2種，
故一次打開鎖的概率為＝，
故答案為：．
13．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，OD⊥AC于D，連接OC，過點D作DF∥OC交AB于F，過點B的切線交AC的延長線于E．若AD＝4，DF＝，則BE＝　?。?br />
【分析】根據(jù)垂徑定理得到AD＝DC，根據(jù)三角形中位線定理求出OC，根據(jù)勾股定理求出OD，證明△AOD∽△AEB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可．
【解答】解：∵OD⊥AC，AD＝4，
∴AD＝DC＝4，
∵DF∥OC，DF＝，
∴OC＝2DF＝5，
在Rt△COD中，OD＝＝3，
∵BE是⊙O的切線，
∴AB⊥BE，
∵OD⊥AD，
∴∠ADO＝∠ABE，
∵∠OAD＝∠EAB，
∴△AOD∽△AEB，
∴＝，即＝，
解得：BE＝，
故答案為：．
14．如圖1是一臺手機支架，圖2是其側(cè)面示意圖，AB，BC可分別繞點A，B轉(zhuǎn)動，測量知BC＝8cm，AB＝16cm．當AB，BC轉(zhuǎn)動到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°時，點C到AE的距離為 　6.3　cm．（結(jié)果保留小數(shù)點后一位，參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，≈1.73）

【分析】通過作垂線構(gòu)造直角三角形，在在Rt△ABM中，求出BM，在Rt△BCD中，求出BD，即可求出CN，從而解決問題．
【解答】解：如圖，過點B、C分別作AE的垂線，垂足分別為M、N，過點C作CD⊥BM，垂足為D，
在Rt△ABM中，
∵∠BAE＝60°，AB＝16，
∴BM＝sin60°?AB＝×16＝8（cm），
∠ABM＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△BCD中，
∵∠DBC＝∠ABC﹣∠ABM＝50°﹣30°＝20°，
∴∠BCD＝90°﹣20°＝70°，
又∵BC＝8，
∴BD＝sin70°×8≈0.94×8＝7.52（cm），
∴CN＝DM＝BM﹣BD＝8﹣7.52≈6.3（cm），
即點C到AE的距離約為6.3cm，
故答案為：6.3．

15．若關(guān)于x的方程+＝3的解是正數(shù)，則m的取值范圍為 　m＞﹣7且m≠﹣3?。?br /> 【分析】先解分式方程，根據(jù)分式方程的解為正數(shù)和分式方程無意義的情況，即可得出m的取值范圍．
【解答】解：原方程左右兩邊同時乘以（x﹣2），得：2x+m﹣（x﹣1）＝3（x﹣2），
解得：x＝，
∵原方程的解為正數(shù)且x≠2，
∴，
解得：m＞﹣7且m≠﹣3，
故答案為：m＞﹣7且m≠﹣3．
16．如圖，過反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）圖象上的四點P1，P2，P3，P4分別作x軸的垂線，垂足分別為A1，A2，A3，A4，再過P1，P2，P3，P4分別作y軸，P1A1，P2A2，P3A3的垂線，構(gòu)造了四個相鄰的矩形．若這四個矩形的面積從左到右依次為S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，則S1與S4的數(shù)量關(guān)系為 　S1＝4S4?。?br />
【分析】過雙曲線上任意一點、向坐標軸作垂線所圍成的矩形面積S是個定值，S＝k，由OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，得出S1＝k，S2＝k，S3＝k，S4＝k，即可得出S1＝4S4．
【解答】解：∵過雙曲線上任意一點、向坐標軸作垂線所圍成的矩形面積S是個定值，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，
∴S1＝k，S2＝k，S3＝k，S4＝k，
∴S1＝4S4．
故答案為：S1＝4S4．
三、解答題(本大題共有8個小題，共72分)
17．（8分）先化簡，再求值：÷（1+），其中a＝2．
【分析】根據(jù)分式的加法和除法可以化簡題目中的式子，然后將a的值代入化簡后的式子即可解答本題．
【解答】解：÷（1+）
＝÷
＝
＝，
當a＝2時，原式＝＝．
18．（8分）已知：a是不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7的最小整數(shù)解，請用配方法解關(guān)于x的方程x2+2ax+a+1＝0．
【分析】解不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7，得a＞﹣3，所以最小整數(shù)解為﹣2，于是將a＝﹣2代入方程x2﹣4x﹣1＝0．利用配方法解方程即可．
【解答】解：解不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7，得a＞﹣3，
∴最小整數(shù)解為﹣2，
將a＝﹣2代入方程x2+2ax+a+1＝0，得x2﹣4x﹣1＝0，
配方，得（x﹣2）2＝5．
直接開平方，得x﹣2＝±．
解得x1＝2+，x2＝2﹣．
19．（8分）如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格圖形中，小正方形的邊長都為1，線段ED與AD的端點都在網(wǎng)格小正方形的頂點（稱為格點）上．
請在網(wǎng)格圖形中畫圖：
（1）以線段AD為邊畫正方形ABCD，再以線段DE為斜邊畫等腰直角三角形DEF，其中頂點F在正方形ABCD外；
（2）在（1）中所畫圖形基礎(chǔ)上，以點B為其中一個頂點畫一個新正方形，使新正方形的面積為正方形ABCD和△DEF面積之和，其它頂點也在格點上．

【分析】（1）根據(jù)正方形，等腰直角三角形的定義畫出圖形即可．
（2）畫出邊長為的正方形即可．
【解答】解：（1）如圖，正方形ABCD，△DEF即為所求．
（2）如圖，正方形BKFG即為所求．

20．（8分）高爾基說：“書，是人類進步的階梯．”閱讀可以啟智增慧，拓展視野，…為了解學生寒假閱讀情況，開學初學校進行了問卷調(diào)查，并對部分學生假期（24天）的閱讀總時間作了隨機抽樣分析．設(shè)被抽樣的每位同學寒假閱讀的總時間為t（小時），閱讀總時間分為四個類別：A（0≤t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），將分類結(jié)果制成兩幅統(tǒng)計圖（尚不完整）．

根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）本次抽樣的樣本容量為 　60??；
（2）補全條形統(tǒng)計圖；
（3）扇形統(tǒng)計圖中a的值為 　20　，圓心角β的度數(shù)為 　144°??；
（4）若該校有2000名學生，估計寒假閱讀的總時間少于24小時的學生有多少名？對這些學生用一句話提一條閱讀方面的建議．
【分析】（1）根據(jù)D組的人數(shù)和百分比即可求出樣本容量；
（2）根據(jù)C組所占的百分比即可求出C組的人數(shù)；
（3）根據(jù)A組的人數(shù)即可求出A組所占的百分比，根據(jù)C組所占的百分比即可求出對應(yīng)的圓心角；
（4）先算出低于24小時的學生的百分比，在估算出全校低于24小時的學生的人數(shù)．
【解答】解：（1）本次抽樣的人數(shù)為（人），
∴樣本容量為60，
故答案為60；
（2）C組的人數(shù)為40%×60＝24（人），
統(tǒng)計圖如下：

（3）A組所占的百分比為，
∴a的值為20，
β＝40%×360°＝144°，
故答案為20，144°；
（4）總時間少于24小時的學生的百分比為，
∴全校寒假閱讀的總時間少于24小時的學生有2000×50%＝1000（名），
建議：讀書是人類文明進步的階梯，建議每天讀書至少1小時．
21．（8分）小愛同學學習二次函數(shù)后，對函數(shù)y＝﹣（|x|﹣1）2進行了探究．在經(jīng)歷列表、描點、連線步驟后，得到如圖的函數(shù)圖象．請根據(jù)函數(shù)圖象，回答下列問題：
（1）觀察探究：
①寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：　函數(shù)關(guān)于y軸對稱?。?br /> ②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解為：　x＝﹣2或x＝0或x＝2?。?br /> ③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四個實數(shù)根，則a的取值范圍是 　﹣1＜a＜0?。?br /> （2）延伸思考：
將函數(shù)y＝﹣（|x|﹣1）2的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到函數(shù)y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的圖象？寫出平移過程，并直接寫出當2＜y1≤3時，自變量x的取值范圍．

【分析】（1）根據(jù)圖象即可求得；
（2）根據(jù)“上加下減”的平移規(guī)律，畫出函數(shù)y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的圖象，根據(jù)圖象即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）觀察探究：
①該函數(shù)的一條性質(zhì)為：函數(shù)關(guān)于y軸對稱；
②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解為：x＝﹣2或x＝0或x＝2；
③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四個實數(shù)根，則a的取值范圍是﹣1＜a＜0．
故答案為函數(shù)關(guān)于y軸對稱；x＝﹣2或x＝0或x＝2；﹣1＜a＜0．
（2）將函數(shù)y＝﹣（|x|﹣1）2的圖象向右平移2個單位，向上平移3個單位可得到函數(shù)y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的圖象，
當2＜y1≤3時，自變量x的取值范圍是0＜x＜4．

22．（10分）小美打算買一束百合和康乃馨組合的鮮花，在“母親節(jié)”祝福媽媽．已知買2支百合和1支康乃馨共需花費14元，3支康乃馨的價格比2支百合的價格多2元．
（1）求買一支康乃馨和一支百合各需多少元？
（2）小美準備買康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支．設(shè)買這束鮮花所需費用為w元，康乃馨有x支，求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并設(shè)計一種使費用最少的買花方案，寫出最少費用．
【分析】（1）設(shè)買一支康乃馨需x元，買一支百合需y元，根據(jù)題意列方程組求解即可；
（2）根據(jù)康乃馨和百合的費用之和列出函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和百合不少于2支求函數(shù)的最小值即可．
【解答】解：（1）設(shè)買一支康乃馨需x元，買一支百合需y元，
則根據(jù)題意得：，
解得：，
答：買一支康乃馨需4元，買一支百合需5元；
（2）根據(jù)題意得：w＝4x+5（11﹣x）＝﹣x+55，
∵百合不少于2支，
∴11﹣x≥2，
解得：x≤9，
∵﹣1＜0，
∴w隨x的增大而減小，
∴當x＝9時，w最小，
即買9支康乃馨，買11﹣9＝2支百合費用最少，wmin＝﹣9+55＝46（元），
答：w與x之間的函數(shù)關(guān)系式：w＝﹣x+55，買9支康乃馨，買2支百合費用最少，最少費用為46元．
23．（10分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，F(xiàn)是對角線AC上不與點A，C重合的一點，過F作FE⊥AD于E，將△AEF沿EF翻折得到△GEF，點G在射線AD上，連接CG．
（1）如圖1，若點A的對稱點G落在AD上，∠FGC＝90°，延長GF交AB于H，連接CH．
①求證：△CDG∽△GAH；
②求tan∠GHC．
（2）如圖2，若點A的對稱點G落在AD延長線上，∠GCF＝90°，判斷△GCF與△AEF是否全等，并說明理由．

【分析】（1）①由矩形的性質(zhì)和同角的余角相等證明△CDG與△GAH的兩組對應(yīng)角相等，從而證明△CDG∽△GAH；
②由翻折得∠AGB＝∠DAC＝∠DCG，而tan∠DAC＝，可求出DG的長，進而求出GA的長，由tan∠GHC即∠GHC的對邊與鄰邊的比恰好等于相似三角形△CDG與△GAH的一組對應(yīng)邊的比，由此可求出tan∠GHC的值；
（2）△GCF與△AEF都是直角三角形，由tan∠DAC＝可分別求出CG、AG、AE、EF、AF、CF的長，再由直角邊的比不相等判斷△GCF與△AEF不全等．
【解答】（1）如圖1，
①證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠GAH＝90°，
∴∠DCG+∠DGC＝90°，
∵∠FGC＝90°，
∴∠AGH+∠DGC＝90°，
∴∠DCG＝∠AGH，
∴△CDG∽△GAH．
②由翻折得∠EGF＝∠EAF，
∴∠AGH＝∠DAC＝∠DCG，
∵CD＝AB＝2，AD＝4，
∴＝tan∠DAC＝＝，
∴DG＝CD＝×2＝1，
∴GA＝4﹣1＝3，
∵△CDG∽△GAH，
∴，
∴tan∠GHC＝＝．
（2）不全等，理由如下：
∵AD＝4，CD＝2，
∴AC＝＝，
∵∠GCF＝90°，
∴＝tan∠DAC＝，
∴CG＝AC＝×2＝，
∴AG＝＝5，
∴EA＝AG＝，
∴EF＝EA?tan∠DAC＝＝，
∴AF＝＝，
∴CF＝2＝，
∵∠GCF＝∠AEF＝90°，而CG≠EA，CF≠EF，
∴△GCF與△AEF不全等．


24．（12分）已知：直線y＝﹣x+1與x軸、y軸分別交于A，B兩點，點C為直線AB上一動點，連接OC，∠AOC為銳角，在OC上方以O(shè)C為邊作正方形OCDE，連接BE，設(shè)BE＝t．
（1）如圖1，當點C在線段AB上時，判斷BE與AB的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）直接寫出點E的坐標（用含t的式子表示）；
（3）若tan∠AOC＝k，經(jīng)過點A的拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）頂點為P，且有6a+3b+2c＝0，△POA的面積為，當t＝時，求拋物線的解析式．

【分析】（1）證明△OAC≌△OBE（SAS），則∠OBE＝∠OAC＝45°，進而求解；
（2）∠EBH＝45°，則BH＝EH＝BE＝t，即可求解；
（3）由△POA的面積＝×AO×yP＝×1×yP＝＝，求出yP＝1＝c﹣，而拋物線過點A（1，0），故a+b+c＝0，進而求解．
【解答】解：（1）直線y＝﹣x+1與x軸、y軸分別交于A，B兩點，
則點A、B的坐標分別為（1，0）、（0，1），
則∠OBA＝∠OAB＝45°，
∵∠AOC+∠BOC＝90°，∠BOC+∠BOE＝90°，
∴∠AOC＝∠BOE，
∵AO＝BO，OC＝OE，
∴△OAC≌△OBE（SAS），
∴∠OBE＝∠OAC＝45°，AC＝BE＝t，
∴∠EBA＝∠EBO+∠OBA＝∠OAC+∠OBA＝45°+45°＝90°，
∴BE⊥AB；

（2）過點E作EH⊥OB于點H，

∵∠EBH＝45°，
∴BH＝EH＝BE＝t，
故點E的坐標為（﹣t，1﹣t）；

（3）如上圖，過點C作CN⊥OA于點N，
當t＝時，即AC＝t＝，
則CN＝AN＝t＝，
則ON＝OA﹣NA＝1﹣＝CN，
故tan∠AOC＝＝1＝k，
∵△POA的面積＝×AO×yP＝×1×yP＝＝，
解得yP＝1＝c﹣①，
∵拋物線過點A（1，0），故a+b+c＝0②，
而6a+3b+2c＝0③，
聯(lián)立①②③并解得，
故拋物線的表達式為y＝﹣x2+4x﹣3．


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