高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修第三冊(cè)第五章數(shù)列5.3 等比數(shù)列5.3.2 等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和精練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?5.3.2　等比數(shù)列的前n項(xiàng)和
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
題組一　等比數(shù)列前n項(xiàng)和的有關(guān)運(yùn)算
1.(2020山東臨沂蒙陰實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末)已知等比數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列,設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn,若a2=2,S3=7,則a5=(　　)
A.16 B.32 C.8 D.14
2.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a1=-2,an+1=Sn,那么a5=(　　)
A.-4 B.-8
C.-16 D.-32
3.(2020廣東廣州荔灣高二期末)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}為等比數(shù)列,Sn是它的前n項(xiàng)和,若S3=7a3,且a2與a4的等差中項(xiàng)為5,則S5=(　　)
A.29 B.31
C.33 D.35
4.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a5=12a3,則S8S4=(　　)
A.54 B.34 C.45 D.43
5.已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若存在m∈N+,滿(mǎn)足S2mSm=9,a2mam=5m+1m-1,則數(shù)列{an}的公比為(　　)
A.-2 B.2
C.-3 D.3
6.記Sn為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1+a2=3,a3+a4=12,則公比q=　　　　,S6=　　　　.?
7.數(shù)列a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1(n≥2),…是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列,那么an=　　　　.?
8.已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,Sn是{an}的前n項(xiàng)和,a2,a3是方程x2-4x+3=0的兩個(gè)實(shí)根,則S4=　　　　.?
9.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3+S6=2S9,則該數(shù)列的公比q=　　　　.?
10.(2020天津第一百中學(xué)高二期中)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)為Sn,已知S3=74,S6=634,則a8=　　　　.?
題組二　等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
11.(2020河南南陽(yáng)中學(xué)高二月考)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,則S12=(　　)
A.40 B.60
C.32 D.50
12.等比數(shù)列{an}共2n項(xiàng),其和為-240,且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80,則公比q=　　　　.?
題組三　分組求和法求和
13.(2020山東師范大學(xué)附中高二月考)數(shù)列{(-1)nn}的前2 019項(xiàng)的和是(　　)
A.-2 019 B.-1 010 C.1 010 D.2 019
14.(2020云南玉溪第一中學(xué)高二期末)在數(shù)列{an}中,a2a6=64,且log2an,12log2an+1,1(n∈N+)成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn=(2n+1)+an,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

15.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,且a1=11,b1=1,a2+b2=11,a3+b3=11.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Tn.

16.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,滿(mǎn)足a1=-1,a5=3,數(shù)列{bn-an}是公比為2的等比數(shù)列,且b2-2a2=2.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.

17.(2020北京西城三十一中高一期中)在等差數(shù)列{an}中,a2+a7=-23,a3+a8=-29.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{an+bn}是首項(xiàng)為1,公比為q的等比數(shù)列,求{bn}的前n項(xiàng)和Sn.

題組四　錯(cuò)位相減法求和
18.(2020寧夏石嘴山平羅中學(xué)高二期末)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,且an+1=2an+1.
(1)證明數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=n(an+1),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.

19.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=n2+2n(n∈N+),數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,且b1=a1-1,a4+b4=25.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn.

20.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,數(shù)列{bn}為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,已知a3=5,S3=9,b1=a1,b5=S4.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)記Tn為數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和,求Tn.

能力提升練
題組一　等比數(shù)列前n項(xiàng)和的有關(guān)運(yùn)算
1.(2020遼寧遼陽(yáng)高二期末,)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若1a1+1a2+1a3+1a4+1a5=10,a3=1,則S5=(　　)
A.10 B.15 C.20 D.25
2.(2020河南濮陽(yáng)高二期末,)中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)情境:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān).”其意思是“有一個(gè)人要去378里外的地方,第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程是前一天的一半,走了6天后到達(dá)目的地.”請(qǐng)問(wèn)他第三天走了(　　)
A.60里 B.48里 C.36里 D.24里
3.(2020四川南充高二期末,)已知{an}是等比數(shù)列,a2=2,a5=14,則a1a3+a2a4+…+anan+2=(　　)
A.16(1-4-n) B.16(1-2-n)
C.163(1-2-n) D.163(1-4-n)
4.(多選)(2020山東濟(jì)寧高二期末,)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,an+1=an2+3an(n∈N+),則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.1an+3為等差數(shù)列
B.{an}的通項(xiàng)公式為an=12n+1-3
C.{an}為遞增數(shù)列
D.1an的前n項(xiàng)和Tn=2n+2-3n-4
5.(2020湖南郴州高二期末,)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn-2an+1=0,則a2 020=　　　　.?
6.(2020江蘇淮安淮陰中學(xué)高三期中,)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S9=S3+2S6,則當(dāng)S6+1S3取得最小值時(shí),S9的值為　　　　.?
7.(2020江蘇南通高二期末,)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,前n項(xiàng)和Sn=3n2-pn,n∈N+.
(1)求實(shí)數(shù)p的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)在等比數(shù)列{bn}中,b1b2=a1,b4=a3+a4.若{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,求證:數(shù)列Tn+16為等比數(shù)列.

題組二　等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用
8.(2020寧夏銀川育才中學(xué)高二期中,)在等比數(shù)列{an}中,Sn為其前n項(xiàng)和,且S4=1,S8=3,則a13+a14+a15+a16的值是(　　)
A.8 B.15 C.18 D.20
9.(2020湖北部分重點(diǎn)中學(xué)高二期末聯(lián)考,)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,其中n∈N+,則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.若a3>a1>0,則an>0
B.若a3>a1>0,則Sn>0
C.若a3+a2+a1>a2+a1>0,則an>0
D.若a3+a2+a1>a2+a1>0,則Sn>0
10.(多選)(2020山東臨沂高二期末,)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,其前n項(xiàng)和為Sn,前n項(xiàng)積為T(mén)n,并且滿(mǎn)足條件a1>1,a7a8>1,a7-1a8-10且q≠1,所以S3=a1(1-q3)1-q=74①,S6=a1(1-q6)1-q=634②,②①得1-q61-q3=9,即1+q3=9,所以q3=8,所以q=2,代入①得a1=14,所以a8=14×27=25=32.
11.B　由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9構(gòu)成等比數(shù)列,即數(shù)列4,8,S9-S6,S12-S9構(gòu)成等比數(shù)列,所以S9-S6=16,S12-S9=32,因此S12=(S12-S9)+(S9-S6)+(S6-S3)+S3=32+16+8+4=60,故選B.
12.答案　2
解析　設(shè)各奇數(shù)項(xiàng)的和為S奇,各偶數(shù)項(xiàng)的和為S偶.根據(jù)題意得S奇+S偶=-240,S奇-S偶=80,
解得S奇=-80,S偶=-160,∴q=S偶S奇=-160-80=2.
13. B　設(shè)該數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn.由題意得
S2019=-1+2-3+4-5+6-…-2017+2018-2019=(-1+2)+(-3+4)+(-5+6)+…+(-2 017+2 018)-2 019=1 009×1-2 019=-1 010.
14.解析　(1)∵log2an,12log2an+1,1成等差數(shù)列,
∴2×12log2an+1=log2an+1,
∴an+1=2an,且an>0,
∴{an}是等比數(shù)列,且公比為2,
由a2a6=64,得a4=8,∴a1=1,
∴an=2n-1.
(2)∵bn=(2n+1)+2n-1,
∴Tn=[3+5+7+…+(2n+1)]+(1+21+22+…+2n-1)=n2+2n+2n-1.
15.解析　(1) 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q(q≠0),則由題意得11+d+q=11,11+2d+q2=11,所以d=-2,q=2,
所以an=11+(n-1)×(-2)=-2n+13,
bn=1×2n-1=2n-1.
(2)由(1)得an+bn=-2n+13+2n-1.
故Tn=[11+9+…+(-2n+13)]+(1+2+22+…+2n-1)
=n(11-2n+13)2+1×(1-2n)1-2=-n2+12n+2n-1.
16.解析　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則d=a5-a15-1=1,
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n-2.
所以a2=0.
因?yàn)閎2-2a2=2,
所以b2-a2=2,
又因?yàn)閿?shù)列{bn-an}是公比為2的等比數(shù)列,
所以bn-an=2n-1.
所以bn=2n-1+n-2.
(2)Sn=b1+b2+…+bn
=(1+21+22+…+2n-1)+[-1+0+1+…+(n-2)]
=2n+n(n-3)2-1.
17.解析　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,
∵a2+a7=-23,a3+a8=-29,∴2a1+7d=-23,2a1+9d=-29,
解得a1=-1,d=-3,
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-3n+2.
(2)由數(shù)列{an+bn}是首項(xiàng)為1,公比為q的等比數(shù)列得,
an+bn=qn-1,即-3n+2+bn=qn-1,
∴bn=3n-2+qn-1,
∴Sn=[1+4+7+…+(3n-2)]+(1+q+q2+…+qn-1)
=n(3n-1)2+(1+q+q2+…+qn-1).
∴當(dāng)q=1時(shí),Sn=n(3n-1)2+n=3n2+n2;
當(dāng)q≠1時(shí),Sn=n(3n-1)2+1-qn1-q.
18.解析　(1)∵an+1=2an+1,
∴an+1+1=2(an+1),∵a1+1=2≠0,
∴an+1+1an+1=2,
∴數(shù)列{an+1}是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,
∴an+1=2×2n-1=2n,∴an=2n-1.
(2)由(1)知bn=n·2n,
∴Sn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n,①
2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1,②
①-②得,-Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=2×(1-2n)1-2-n×2n+1=(1-n)×2n+1-2.
∴Sn=(n-1)×2n+1+2.
19.解析　(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=3,
當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=(n-1)2+2(n-1)=n2-1,
則an=Sn-Sn-1=2n+1.
當(dāng)n=1時(shí),a1=3也成立,則an=2n+1.
因?yàn)閎1=a1-1,a4+b4=25,
所以b1=2,9+b4=25,所以b4=16.
設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q,
則b4=b1q3=16,解得q=2,
故bn=b1qn-1=2n.
(2)由(1)可得anbn=(2n+1)×2n,
則Tn=3×2+5×22+7×23+…+(2n+1)×2n,①
2Tn=3×22+5×23+…+(2n-1)×2n+(2n+1)×2n+1,②
①-②得-Tn=6+23+24+…+2n+1-(2n+1)×2n+1=(1-2n)×2n+1-2,
故Tn=(2n-1)×2n+1+2.
20.解析　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q(q>0),
由a3=a1+2d=5和S3=3a1+3d=9,得a1=1,d=2,
所以an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1,
即數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1.
b1=a1=1,由b5=S4得b1·q4=4a1+6d=4+6×2=16,
因?yàn)閝>0,所以q=2,則bn=b1·qn-1=2n-1,
所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=2n-1.
(2)由(1)知anbn=(2n-1)×2n-1,
故Tn=1×20+3×21+5×22+…+(2n-1)×2n-1,①
2Tn=1×21+3×22+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n,②
①-②得-Tn=1+2×21+2×22+…+2×2n-1-(2n-1)×2n
=1+2×2×(1-2n-1)1-2-(2n-1)×2n
=-3-(2n-3)×2n,
所以Tn=(2n-3)×2n+3.
能力提升練
1.A　1a1+1a2+1a3+1a4+1a5=a1+a5a1a5+a2+a4a2a4+1a3=a1+a2+a3+a4+a5a32=S5a32=10,
又a3=1,所以S5=10.
2.B　依題意知每天步行的路程數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,設(shè)其首項(xiàng)為a1,公比為q,前n項(xiàng)和為Sn,則q=12,S6=378,故a11-1261-12=378,解得a1=192,故a3=a1q2=192×14=48.
3.D　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,
因?yàn)閍2=2,a5=14,
所以q3=a5a2=18,則q=12.
由a2=2,得a1=4,則an=4×12n-1.
所以anan+2=4×12n-1×4×12n+1=16×14n,
所以數(shù)列{anan+2}是以4為首項(xiàng),14為公比的等比數(shù)列,
所以a1a3+a2a4+…+anan+2=41-14n1-14=1631-14n.
4.BD　易知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均不為0.因?yàn)?an+1=2+3anan=2an+3,所以1an+1+3=21an+3,又1a1+3=4≠0,
所以1an+3是以4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,A錯(cuò)誤;1an+3=4×2n-1,即an=12n+1-3,B正確;易知{an}為遞減數(shù)列,C錯(cuò)誤;
1an的前n項(xiàng)和Tn=(22-3)+(23-3)+…+(2n+1-3)=2(21+22+…+2n)-3n
=2×2×(1-2n)1-2-3n=2n+2-3n-4,D正確.
5.答案　22 019
解析　當(dāng)n=1時(shí),S1-2a1+1=-a1+1=0,解得a1=1,
當(dāng)n≥2且n∈N+時(shí),Sn=2an-1,Sn-1=2an-1-1,∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,
即an=2an-1,
∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,∴an=2n-1,∴a2 020=22 019.
6.答案　733
解析　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.由S9=S3+2S6可知q≠1,所以a1(1-q9)1-q=a1(1-q3)1-q+2×a1(1-q6)1-q,
化簡(jiǎn)得1-q9=1-q3+2(1-q6),即q9-2q6-q3+2=0,即(q6-1)(q3-2)=0,得q3=2,
∴S6+1S3=a1(1-q6)1-q+1-qa1(1-q3)=3a1q-1+q-1a1≥23,
當(dāng)且僅當(dāng)3a1q-1=q-1a1,即a1=q-13時(shí),S6+1S3取得最小值,
此時(shí)S9=a1(1-q9)1-q=q-13×(q9-1)q-1=733.
7.解析　(1)依題意a1=S1=3-p=1,所以p=2,所以Sn=3n2-2n.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=3n2-2n-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5,當(dāng)n=1時(shí),a1=1也成立,所以an=6n-5.
(2)證明:設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q,由b1b2=a1=1,得b12q=1①,由b4=a3+a4,得b1q3=32②,聯(lián)立①②解得b1=12,q=4,所以Tn=12·(1-4n)1-4=16·(4n-1),所以Tn+16=16·4n.當(dāng)n≥2時(shí),Tn+16Tn-1+16=16·4n16·4n-1=4,又T1+16=23,所以數(shù)列Tn+16是以23為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列.
8.A　∵S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等比數(shù)列,且S4=1,S8-S4=2,∴S12-S8=4,S16-S12=8,即a13+a14+a15+a16=8.故選A.
9.D　對(duì)于A,若an=(-2)n-1,滿(mǎn)足a3>a1>0,但an>0不一定成立,故A錯(cuò)誤.
對(duì)于B, 若an=(-2)n-1,滿(mǎn)足a3>a1>0,但S2=(-2)0+(-2)1=-1,不滿(mǎn)足Sn>0,
故B錯(cuò)誤.
對(duì)于C, 若an=-12n-1,滿(mǎn)足a3+a2+a1>a2+a1>0,但an>0不一定成立,故C錯(cuò)誤.
對(duì)于D,設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,因?yàn)閍3+a2+a1>a2+a1,所以a3>0,
即a1q2>0?a1>0.又a2+a1>0?a2>-a1?q>-1.
則當(dāng)00,
當(dāng)q>1時(shí),Sn=a1(1-qn)1-q=a1(qn-1)q-1>0.
綜上有Sn>0.故D正確.
10.ABC　由a1>1,a7a8>1,a7-1a8-11,01(n≥2).
∵當(dāng)n≥2時(shí),3n-1>1顯然成立,
∴原不等式成立.
即n≥2時(shí),1an

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