?2019年湖南省株洲市中考數學試卷
一、選擇題（每小題有且只有一個正確答案，本題共10小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）﹣3的倒數是（　?。?br /> A．﹣ B． C．﹣3 D．3
2．（3分）×＝（　?。?br /> A．4 B．4 C． D．2
3．（3分）下列各式中，與3x2y3是同類項的是（　?。?br /> A．2x5 B．3x3y2 C．﹣x2y3 D．﹣y5
4．（3分）對于任意的矩形，下列說法一定正確的是（　?。?br /> A．對角線垂直且相等
B．四邊都互相垂直
C．四個角都相等
D．是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形
5．（3分）關于x的分式方程﹣＝0的解為（　?。?br /> A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
6．（3分）在平面直角坐標系中，點A（2，﹣3）位于哪個象限？（　?。?br /> A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（3分）若一組數據x，3，1，6，3的中位數和平均數相等，則x的值為（　?。?br /> A．2 B．3 C．4 D．5
8．（3分）下列各選項中因式分解正確的是（　?。?br /> A．x2﹣1＝（x﹣1）2 B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2）
C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2） D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2
9．（3分）如圖所示，在直角平面坐標系Oxy中，點A、B、C為反比例函數y＝（k＞0）上不同的三點，連接OA、OB、OC，過點A作AD⊥y軸于點D，過點B、C分別作BE，CF垂直x軸于點E、F，OC與BE相交于點M，記△AOD、△BOM、四邊形CMEF的面積分別為S1、S2、S3，則（　?。?br />
A．S1＝S2+S3 B．S2＝S3 C．S3＞S2＞S1 D．S1S2＜S32
10．（3分）從﹣1，1，2，4四個數中任取兩個不同的數（記作ak，bk）構成一個數組MK＝{ak，bk}（其中k＝1，2…S，且將{ak，bk}與{bk，ak}視為同一個數組），若滿足：對于任意的Mi＝{ai，bi}和Mj＝{ai，bj}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi≠aj+bj，則S的最大值（　?。?br /> A．10 B．6 C．5 D．4
二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）
11．（3分）若二次函數y＝ax2+bx的圖象開口向下，則a　 　0（填“＝”或“＞”或“＜”）．
12．（3分）若一個盒子中有6個白球，4個黑球，2個紅球，且各球的大小與質地都相同，現隨機從中摸出一個球，得到白球的概率是　 ?。?br /> 13．（3分）如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜邊AB上的中線，E、F分別為MB、BC的中點，若EF＝1，則AB＝　 ?。?br />
14．（3分）若a為有理數，且2﹣a的值大于1，則a的取值范圍為　 ?。?br /> 15．（3分）如圖所示，過正五邊形ABCDE的頂點B作一條射線與其內角∠EAB的角平分線相交于點P，且∠ABP＝60°，則∠APB＝　 　度．

16．（3分）如圖所示，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，且OC⊥AB，過點C的弦CD與線段OB相交于點E，滿足∠AEC＝65°，連接AD，則∠BAD＝　 　度．

17．（3分）《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？“其意思為：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，現速度慢的人先走100步，速度快的人去追趕，則速度快的人要走　 　步才能追到速度慢的人．
18．（3分）如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，在直線x＝1處放置反光鏡Ⅰ，在y軸處放置一個有缺口的擋板Ⅱ，缺口為線段AB，其中點A（0，1），點B在點A上方，且AB＝1，在直線x＝﹣1處放置一個擋板Ⅲ，從點O發(fā)出的光線經反光鏡Ⅰ反射后，通過缺口AB照射在擋板Ⅲ上，則落在擋板Ⅲ上的光線的長度為　 ?。?br />
三、解答題（本大題共8小題，共66分）
19．（6分）計算：|﹣|+π0﹣2cos30°．
20．（6分）先化簡，再求值：﹣，其中a＝．
21．（8分）小強的爸爸準備駕車外出．啟動汽車時，車載報警系統(tǒng)顯示正前方有障礙物，此時在眼睛點A處測得汽車前端F的俯角為α，且tanα＝，若直線AF與地面l1相交于點B，點A到地面l1的垂線段AC的長度為1.6米，假設眼睛A處的水平線l2與地面l1平行．

（1）求BC的長度；
（2）假如障礙物上的點M正好位于線段BC的中點位置（障礙物的橫截面為長方形，且線段MN為此長方形前端的邊），MN⊥l1，若小強的爸爸將汽車沿直線l1后退0.6米，通過汽車的前端F1點恰好看見障礙物的頂部N點（點D為點A的對應點，點F1為點F的對應點），求障礙物的高度．
22．（8分）某甜品店計劃訂購一種鮮奶，根據以往的銷售經驗，當天的需求量與當天的最高氣溫T有關，現將去年六月份（按30天計算）的有關情況統(tǒng)計如下：
（最高氣溫與需求量統(tǒng)計表）
最高氣溫T（單位：℃）
需求量（單位：杯）
T＜25
200
25≤T＜30
250
T≥30
400
（1）求去年六月份最高氣溫不低于30℃的天數；
（2）若以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率，求去年六月份這種鮮奶一天的需求量不超過200杯的概率；
（3）若今年六月份每天的進貨量均為350杯，每杯的進價為4元，售價為8元，未售出的這種鮮奶廠家以1元的價格收回銷毀，假設今年與去年的情況大致一樣，若今年六月份某天的最高氣溫T滿足25≤T＜30（單位：℃），試估計這一天銷售這種鮮奶所獲得的利潤為多少元？

23．（8分）如圖所示，已知正方形OEFG的頂點O為正方形ABCD對角線AC、BD的交點，連接CE、DG．
（1）求證：△DOG≌△COE；
（2）若DG⊥BD，正方形ABCD的邊長為2，線段AD與線段OG相交于點M，AM＝，求正方形OEFG的邊長．

24．（8分）如圖所示，在平面直角坐標系Oxy中，等腰△OAB的邊OB與反比例函數y＝（m＞0）的圖象相交于點C，其中OB＝AB，點A在x軸的正半軸上，點B的坐標為（2，4），過點C作CH⊥x軸于點H．
（1）已知一次函數的圖象過點O，B，求該一次函數的表達式；
（2）若點P是線段AB上的一點，滿足OC＝AP，過點P作PQ⊥x軸于點Q，連結OP，記△OPQ的面積為S△OPQ，設AQ＝t，T＝OH2﹣S△OPQ
①用t表示T（不需要寫出t的取值范圍）；
②當T取最小值時，求m的值．

25．（11分）四邊形ABCD是⊙O的圓內接四邊形，線段AB是⊙O的直徑，連結AC、BD．點H是線段BD上的一點，連結AH、CH，且∠ACH＝∠CBD，AD＝CH，BA的延長線與CD的延長線相交與點P．
（1）求證：四邊形ADCH是平行四邊形；
（2）若AC＝BC，PB＝PD，AB+CD＝2（+1）
①求證：△DHC為等腰直角三角形；
②求CH的長度．

26．（11分）已知二次函數y＝ax2+bx+c（a＞0）
（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1
①求該二次函數圖象的頂點坐標；
②定義：對于二次函數y＝px2+qx+r（p≠0），滿足方程y＝x的x的值叫做該二次函數的“不動點”．求證：二次函數y＝ax2+bx+c有兩個不同的“不動點”．
（2）設b＝c3，如圖所示，在平面直角坐標系Oxy中，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與x軸分別相交于不同的兩點A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0，x2＞0，與y軸相交于點C，連結BC，點D在y軸的正半軸上，且OC＝OD，又點E的坐標為（1，0），過點D作垂直于y軸的直線與直線CE相交于點F，滿足∠AFC＝∠ABC．FA的延長線與BC的延長線相交于點P，若＝，求二次函數的表達式．

2019年湖南省株洲市中考數學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題有且只有一個正確答案，本題共10小題，每小題3分，共30分）
1．解：∵﹣3×（﹣）＝1，
∴﹣3的倒數是﹣．
故選：A．
2．解：×＝＝4．
故選：B．
3．解：A、2x5與3x2y3不是同類項，故本選項錯誤；
B、3x3y2與3x2y3不是同類項，故本選項錯誤；
C、﹣x2y3與3x2y3是同類項，故本選項正確；
D、﹣y5與3x2y3是同類項，故本選項錯誤；
故選：C．
4．解：A、矩形的對角線相等，但不垂直，故此選項錯誤；
B、矩形的鄰邊都互相垂直，對邊互相平行，故此選項錯誤；
C、矩形的四個角都相等，正確；
D、矩形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項錯誤．
故選：C．
5．解：去分母得：2x﹣6﹣5x＝0，
解得：x＝﹣2，
經檢驗x＝﹣2是分式方程的解，
故選：B．
6．解：點A坐標為（2，﹣3），則它位于第四象限，
故選：D．
7．解：當x≤1時，中位數與平均數相等，則得到：（x+3+1+6+3）＝3，
解得x＝2（舍去）；
當1＜x＜3時，中位數與平均數相等，則得到：（x+3+1+6+3）＝3，
解得x＝2；
當3≤x＜6時，中位數與平均數相等，則得到：（x+3+1+6+3）＝3，
解得x＝2（舍去）；
當x≥6時，中位數與平均數相等，則得到：（x+3+1+6+3）＝3，
解得x＝2（舍去）．
所以x的值為2．
故選：A．
8．解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故此選項錯誤；
B、a3﹣2a2+a＝a2（a﹣1），故此選項錯誤；
C、﹣2y2+4y＝﹣2y（y﹣2），故此選項錯誤；
D、m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2，正確．
故選：D．
9．解：∵點A、B、C為反比例函數y＝（k＞0）上不同的三點，AD⊥y軸，BE，CF垂直x軸于點E、F，
∴S3＝k，S△BOE＝S△COF＝k，
∵S△BOE﹣SOME＝S△CDF﹣S△OME，
∴S1＝S2，
∴S1＜S3，S2＜S3，
∴A，B，C選項錯誤，
故選：D．
10．解：∵﹣1+1＝0，﹣1+2＝1，﹣1+4＝3，1+2＝3，1+4＝5，2+4＝6，
∴ai+bi共有5個不同的值．
又∵對于任意的Mi＝{ai，bi}和Mj＝{ai，bj}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi≠aj+bj，
∴S的最大值為5．
故選：C．
二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）
11．解：∵二次函數y＝ax2+bx的圖象開口向下，
∴a＜0．
故答案是：＜．
12．解：∵布袋中有6個白球，4個黑球，2個紅球，共有12個球，
∴摸到白球的概率是＝；
故答案為：．
13．解：∵E、F分別為MB、BC的中點，
∴CM＝2EF＝2，
∵∠ACB＝90°，CM是斜邊AB上的中線，
∴AB＝2CM＝4，
故答案為：4．
14．解：根據題意知2﹣a＞1，
解得a＜1，
故答案為：a＜1且a為有理數．
15．解：∵五邊形ABCDE為正五邊形，
∴∠EAB＝108度，
∵AP是∠EAB的角平分線，
∴∠PAB＝54度，
∵∠ABP＝60°，
∴∠APB＝180°﹣60°﹣54°＝66°．
故答案為：66．
16．解：連接OD，如圖：
∵OC⊥AB，
∴∠COE＝90°，
∵∠AEC＝65°，
∴∠OCE＝90°﹣65°＝25°，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCE＝25°，
∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
∴∠BOD＝∠DOC﹣∠COE＝40°，
∴∠BAD＝∠BOD＝20°，
故答案為：20．

17．解：設走路快的人追上走路慢的人所用時間為t，
根據題意得：（100﹣60）t＝100，
解得：t＝2.5，
∴100t＝100×2.5＝250．
答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．
故答案是：250．
18．解：當光線沿O、G、B、C傳輸時，
過點B作BF⊥GH于點F，過點C作CE⊥GH于點E，

則∠OGH＝∠CGE＝α，設GH＝a，則GF＝2﹣a，
則tan∠OGH＝tan∠CGE，即：，
即：，解得：a＝1，
則α＝45°，
∴GE＝CE＝2，yC＝1+2＝3，
當光線反射過點A時，
同理可得：yD＝1.5，
落在擋板Ⅲ上的光線的長度＝CD＝3﹣1.5＝1.5，
故答案為1.5．
三、解答題（本大題共8小題，共66分）
19．解：原式＝+1﹣2×
＝+1﹣
＝1．
20．解：﹣
＝
＝
＝
＝
＝，
當a＝時，原式＝＝﹣4．
21．解：（1）由題意得，∠ABC＝∠α，
在Rt△ABC中，AC＝1.6，tan∠ABC＝tanα＝，
∴BC＝＝＝4.8m，
答：BC的長度為4.8m；
（2）過D作DH⊥BC于H，
則四邊形ADHC是矩形，
∴AD＝CH＝BE＝0.6，
∵點M是線段BC的中點，
∴BM＝CM＝2.4米，
∴EM＝BM﹣BE＝1.8，
∵MN⊥BC，
∴MN∥DH，
∴△EMN∽△EHD，
∴＝，
∴＝，
∴MN＝0.6，
答：障礙物的高度為0.6米．

22．解：（1）由條形統(tǒng)計圖知，去年六月份最高氣溫不低于30℃的天數為6+2＝8（天）；
（2）去年六月份這種鮮奶一天的需求量不超過200杯的概率為＝；
（3）250×8﹣350×4+100×1＝730（元），
答：估計這一天銷售這種鮮奶所獲得的利潤為730元．
23．解：
（1）∵正方形ABCD與正方形OEFG，對角線AC、BD
∴DO＝OC
∵DB⊥AC，
∴∠DOA＝∠DOC＝90°
∵∠GOE＝90°
∴∠GOD+∠DOE＝∠DOE+∠COE＝90°
∴∠GOD＝∠COE
∵GO＝OE
∴在△DOG和△COE中

∴△DOG≌△COE（SAS）
（2）如圖，過點M作MH⊥DO交DO于點H
∵AM＝，DA＝2
∴DM＝
∵∠MDB＝45°
∴MH＝DH＝sin45°?DM＝，DO＝cos45°?DA＝
∴HO＝DO﹣DH＝﹣＝
∴在Rt△MHO中，由勾股定理得
MO＝＝＝
∵DG⊥BD，MH⊥DO
∴MH∥DG
∴易證△OHM∽△ODG
∴＝＝＝，得GO＝2
則正方形OEFG的邊長為2

24．解：（1）將點O、B的坐標代入一次函數表達式：y＝kx得：4＝2k，
解得：k＝2，
故一次函數表達式為：y＝2x，
（2）①過點B作BM⊥OA，

則∠OCH＝∠QPA＝∠OAB＝∠ABM＝α，
則tanα＝，sinα＝，
∵OB＝AB，則OM＝AM＝2，則點A（4，0），
設：AP＝a，則OC＝a，
在△APQ中，sin∠APQ＝＝＝sinα＝，
同理PQ＝＝2t，
則PA＝a＝t，OC＝t，
則點C（t，2t），
T＝OH2﹣S△OPQ＝（OC?sinα）2﹣×（4﹣t）×2t＝4t2﹣4t，
②∵4＞0，∴T有最小值，當t＝時，
T取得最小值，
而點C（t，2t），
故：m＝t×2t＝．
25．證明：（1）∵∠DBC＝∠DAC，∠ACH＝∠CBD
∴∠DAC＝∠ACH
∴AD∥CH，且AD＝CH
∴四邊形ADCH是平行四邊形
（2）①∵AB是直徑
∴∠ACB＝90°＝∠ADB，且AC＝BC
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∴∠CDB＝∠CAB＝45°
∵AD∥CH
∴∠ADH＝∠CHD＝90°，且∠CDB＝45°
∴∠CDB＝∠DCH＝45°
∴CH＝DH，且∠CHD＝90°
∴△DHC為等腰直角三角形；
②∵四邊形ABCD是⊙O的圓內接四邊形，
∴∠ADP＝∠PBC，且∠P＝∠P
∴△ADP∽△CBP
∴，且PB＝PD，
∴，AD＝CH，
∴
∵∠CDB＝∠CAB＝45°，∠CHD＝∠ACB＝90°
∴△CHD∽△ACB
∴
∴AB＝CD
∵AB+CD＝2（+1）
∴CD+CD＝2（+1）
∴CD＝2，且△DHC為等腰直角三角形
∴CH＝
26．解：（1）①∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1
∴y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2
∴該二次函數圖象的頂點坐標為（1，﹣2）

②證明：當y＝x時，x2﹣2x﹣1＝x
整理得：x2﹣3x﹣1＝0
∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0
∴方程x2﹣3x﹣1＝0有兩個不相等的實數根
即二次函數y＝x2﹣2x﹣1有兩個不同的“不動點”．

（2）把b＝c3代入二次函數得：y＝ax2+c3x+c
∵二次函數與x軸交于點A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0，x2＞0）
即x1、x2為方程ax2+c3x+c＝0的兩個不相等實數根
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝
∵當x＝0時，y＝ax2+c3x+c＝c
∴C（0，c）
∵E（1，0）
∴CE＝，AE＝1﹣x1，BE＝x2﹣1
∵DF⊥y軸，OC＝OD
∴DF∥x軸
∴
∴EF＝CE＝，CF＝2
∵∠AFC＝∠ABC，∠AEF＝∠CEB
∴△AEF∽△CEB
∴，即AE?BE＝CE?EF
∴（1﹣x1）（x2﹣1）＝1+c2
展開得：1+c2＝x2﹣1﹣x1x2+x1
1+c2＝﹣﹣1﹣
c3+2ac2+2c+4a＝0
c2（c+2a）+2（c+2a）＝0
（c2+2）（c+2a）＝0
∵c2+2＞0
∴c+2a＝0，即c＝﹣2a
∴x1+x2＝﹣＝4a2，x1x2＝＝﹣2，CF＝2＝2
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16a4+8
∴AB＝x2﹣x1＝
∵∠AFC＝∠ABC，∠P＝∠P
∴△PFC∽△PBA
∴
∴
解得：a1＝1，a2＝﹣1（舍去）
∴c＝﹣2a＝﹣2，b＝c3＝﹣4
∴二次函數的表達式為y＝x2﹣4x﹣2
聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網所有，未經書面同意，不得復制發(fā)布
日期：2019/6/25 9:08:06；用戶：15708455779；郵箱：15708455779；學號：24405846

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