絕密★啟用前1.6.3解三角形應(yīng)用舉例同步練習(xí)湘教版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊注意：本試卷包含Ⅰ、Ⅱ兩卷。第Ⅰ卷為選擇題，所有答案必須用2B鉛筆涂在答題卡中相應(yīng)的位置。第Ⅱ卷為非選擇題，所有答案必須填在答題卷的相應(yīng)位置。答案寫在試卷上均無效，不予記分。 第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）如圖是隋唐天壇，古叫圜丘，它位于唐長安城明德門遺址東約米，即今西安市雁塔區(qū)陜西師范大學(xué)以南．天壇初建于隋而廢棄于唐末，比北京明清天壇早多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之處．某數(shù)學(xué)興趣小組為了測得天壇的直徑，在天壇外圍測得米，米，米，，，據(jù)此可以估計(jì)天壇的最下面一層的直徑大約為     結(jié)果精確到米參考數(shù)據(jù)：，，，
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米已知在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，若此三角形有且只有一個(gè)，則的取值范圍是A.  B.
C. 或 D. 如下圖所示，為了測量山高，選擇和另一座山的山頂作為測量基點(diǎn)．從點(diǎn)測得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角，，從點(diǎn)測得已知山高，則山高單位：為  A.  B.  C.  D. 為加快推進(jìn)“光網(wǎng)”雙千兆城市建設(shè)．如圖，在東北某地地面有四個(gè)基站，，，已知，兩個(gè)基站建在松花江的南岸，距離為；基站，在江的北岸，測得，，，，則，兩個(gè)基站的距離為A.  B.  C.  D. 如圖，是某防汛抗洪大壩的坡面，大壩上有一高為米的監(jiān)測塔，若某科研小組在壩底點(diǎn)測得，沿著坡面前進(jìn)米到達(dá)點(diǎn)，測得，則大壩的坡角的余弦值為A.
B.
C.
D. 如圖，在山根處測得山頂的仰角，沿傾斜角為的山坡向山頂走米到達(dá)點(diǎn)，又測得山頂仰角，則山高為A. 米
B. 米
C. 米
D. 米設(shè)銳角三角形的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，則的取值范圍為    A.  B.  C.  D. 如圖，飛機(jī)飛行的航線和地面目標(biāo)在同一鉛直平面內(nèi)，在處測得目標(biāo)的俯角為，飛行千米到達(dá)處，測得目標(biāo)的俯角為，這時(shí)處與地面目標(biāo)的距離為
A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米如圖，為了測量河對岸電視塔的高度，測量者小張?jiān)诎哆咟c(diǎn)處測得塔頂的仰角為，塔底與的連線同河岸成角，小張沿河岸向前走了米到達(dá)處，測得塔底與的連線同河岸成角，則電視塔的高度為A. 米 B. 米 C. 米 D. 米如圖，測量河對岸的塔高時(shí)，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)與現(xiàn)測得，，，在點(diǎn)測得塔頂的仰角為，則塔高    A.
B.
C.
D. 魏晉時(shí)劉徽撰寫的海島算經(jīng)是關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點(diǎn)，，，在水平線上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的
A. 表距 B. 表距
C. 表高 D. 表高東寺塔與西寺塔為“昆明八景”之一，兩塔一西一東，遙遙相對，已有多年歷史東寺塔基座為正方形，塔身有級，塔頂四角立有四只銅皮做成的鳥，俗稱金雞，所以也有“金雞塔”之稱如圖，在點(diǎn)測得：塔在北偏東的點(diǎn)處，塔頂的仰角為，且點(diǎn)在北偏東相距單位：，在點(diǎn)測得塔在北偏西，則塔的高度約為     
A.  B.  C.  D. 第II卷（非選擇題）二、多空題（本大題共5小題，共25.0分）如圖，為測量山高，選擇和另一座山的山頂為測量觀測點(diǎn)．從點(diǎn)測得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角以及；從點(diǎn)測得已知山高，則山高          兩山山頂?shù)木嚯x          

                                                                                                      
我國的西氣東輸工程把西部的資源優(yōu)勢變?yōu)榻?jīng)濟(jì)優(yōu)勢，實(shí)現(xiàn)了氣能源需求與供給的東西部銜接，工程建設(shè)也加快了西部及沿線地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展輸氣管道工程建設(shè)中，某段管道鋪設(shè)要經(jīng)過一處峽谷，峽谷內(nèi)恰好有一處直角拐角，水平橫向移動(dòng)輸氣管經(jīng)過此拐角，從寬為米峽谷拐入寬為米的峽谷．如圖所示，位于峽谷懸崖壁上兩點(diǎn)、的連線恰好經(jīng)過拐角內(nèi)側(cè)頂點(diǎn)點(diǎn)、、在同一水平面內(nèi)，設(shè)與較寬側(cè)峽谷懸崖壁所成角為，則的長為          用表示米．要使輸氣管順利通過拐角，其長度不能低于          米．
為了更有效的防御新冠疫情，符合條件的公民推行疫苗接種工作，到年月日時(shí)，我國已接種新冠病毒疫苗超一億劑次．如圖，某市區(qū)有四個(gè)接種點(diǎn)，，，已知接種點(diǎn)，設(shè)在市區(qū)南部，距離為 ；接種點(diǎn)，在市區(qū)北部，測得，，，，則          ，，兩個(gè)接種點(diǎn)的距離為          ．某中學(xué)組隊(duì)到某村參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，村長讓學(xué)生測量河流兩岸與兩點(diǎn)間的距離．同學(xué)們各抒己見，但李明想到一種測量方法，同學(xué)們一致認(rèn)為很好．其方法是：在點(diǎn)處垂直地面豎立一根竹竿，在竹竿上取一點(diǎn)，使米，在處測得從看的俯角為．
 當(dāng)和在同一水平面上時(shí)如圖，測得          米；當(dāng)和不在同一水平面上和在同一水平面上時(shí)如圖，利用測角儀測得，此時(shí)，可測得          米．是水面下共線的三個(gè)聲波監(jiān)測點(diǎn)，兩點(diǎn)到的距離分別為千米和千米，某時(shí)刻，收到發(fā)自水面下靜止目標(biāo)的一個(gè)聲波信號，秒后，，同時(shí)接到該聲波信號，聲波在水中的傳播速度為千米秒．則到的距離為          千米；到直線的距離為          千米．三、解答題（本大題共6小題，共72.0分）如圖是一座斜拉索橋梁的簡圖，鋼索看作線段與橋面所成角為，其中，鋼索與橋面所成角為
若，求斜拉索與所成角的余弦值；若點(diǎn)到橋面的距離為米記，橋面長度為，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并計(jì)算時(shí)，的長度






 如圖，有一塊三棱錐形木塊，其中面內(nèi)有一點(diǎn)．若要在面內(nèi)過點(diǎn)畫一條線段，其中點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，且滿足與垂直，該如何求作？請?jiān)趫D中畫出線段并說明畫法，不必證明．經(jīng)測量，，，，，若恰為三角形的重心，為中所求線段，求三棱錐的體積．






 如圖，在直角三角形中，，，點(diǎn)，分別在邊和上點(diǎn)和點(diǎn)不重合，將沿翻折，變?yōu)?/span>，使頂點(diǎn)落在邊上點(diǎn)和點(diǎn)不重合設(shè)
用表示線段的長度，并寫出的取值范圍；
求線段長度的最小值．






 如圖，一個(gè)半圓和長方形組成的木塊，長方形的邊為半圓的直徑，為半圓的圓心，，，現(xiàn)要將此木塊鋸出一個(gè)等腰三角形，其底邊，點(diǎn)在半圓上．

設(shè)，求三角形木塊面積；
設(shè)，試用表示三角形木塊的面積，并求的最大值．






 如圖，我國南海某處的一個(gè)圓形海域上有四個(gè)小島，小島與小島、小島相距都為，與小島相距為小島對小島與的視角為鈍角，且．求小島與小島之間的距離和四個(gè)小島所形成的四邊形的面積；記小島對小島與的視角為，小島對小島與的視角為，求的值．






 如圖，我市某小區(qū)中有條長為米，寬為米的道路，在路的一側(cè)可以停放汽車，已知小型汽車的停車位是一個(gè)米寬，米長的矩形，如，這樣該段道路可以劃出個(gè)車位，隨著小區(qū)居民汽車擁有量的增加，停車難成為普遍現(xiàn)象．經(jīng)過各方協(xié)商，小區(qū)物業(yè)擬壓縮綠化，拓寬道路，改變車位方向增加停車位，如圖，改建后的通行寬度保持不變，即到的距離不變．
 綠化被壓縮的寬度與停車位的角度有關(guān)，記，，為停車方便，要求，寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；沿用的條件和記號，實(shí)際施工時(shí)，米，問改造后的停車位增加了多少個(gè)？







答案和解析1.【答案】
 【解析】【分析】
本題主要考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)題意得到米，進(jìn)而得到即可．
【解答】
解：在中，米，，
所以米，，
在中，，

，
所以米，
故選D．  2.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查正弦定理的應(yīng)用，考查三角形解得情況，考查特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)題意求出，然后數(shù)形結(jié)合可得的范圍．
【解答】
解：在中，，，
由正弦定理可得；

這樣的三角形有且只有一個(gè)，或；
故選：．  3.【答案】
 【解析】【分析】本題考查正弦定理在三角形的實(shí)際應(yīng)用，考查計(jì)算能力屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)點(diǎn)的仰角，山高，利用勾股定理求解出，正弦定理求解出，在中即可求解山高．【解答】解：由題意得點(diǎn)的仰角，山高，
由勾股定理，可得．
在中，，，那么，
又．
由正弦定理，得，
可得．
在中，，
可得．
故選A．  4.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，考查了正余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
由題意解三角形求出，在中，由正弦定理求出，在中，利用余弦定理求即可．
【解答】
解：由題意，得，
，
，
在中，由正弦定理可得：

在中，由余弦定理可得：
，
故選D．  5.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查了解三角形的應(yīng)用問題，涉及正弦定理，誘導(dǎo)公式，考查分析問題與解答問題的能力，是基礎(chǔ)題．
在中由正弦定理求得的值，在中由正弦定理求得，再利用誘導(dǎo)公式求出的值．
【解答】
解：因?yàn)?/span>，，所以；
在中，由正弦定理得，
解得米；
在中，由正弦定理得，
所以；
又，所以，
所以．
故選：．  6.【答案】
 【解析】解：依題意，過點(diǎn)作于，于，
，米，
米，
依題意，在中，，
，
在中，，
，
在中，



米．
米．
故選：．
作出圖形，過點(diǎn)作于，于，依題意可求得在中利用正弦定理可求的長，從而可得山頂高．
本題考查正弦定理的應(yīng)用，考查作圖與計(jì)算的能力，屬于中檔題．
 7.【答案】
 【解析】【分析】
本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合銳角三角形的性質(zhì)以及正弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．
根據(jù)銳角三角形的性質(zhì)，先求出的范圍，結(jié)合正弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】
解：在銳角三角形中，，即，且，則，即，
綜上，
則，
，，
由正弦定理得，
得，
，
，
即，
則的取值范圍是，
故選C．  8.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查了利用正弦定理解答實(shí)際應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．
由題意，利用正弦定理即可求得的值．
【解答】
解：由題意知，在中，，，，
由正弦定理得，
解得．
處與地面目標(biāo)的距離為千米．
故選B．  9.【答案】
 【解析】解：在中，，米，
則，，
由正弦定理，得，
即米，
在中，米，
所以塔高為米．
故選：．
本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用，正弦定理，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)正弦定理求得，進(jìn)而在中，根據(jù)求得．
 10.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查了正弦定理及解三角形的實(shí)際應(yīng)用 ，屬于基礎(chǔ)題．
先根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出，再根據(jù)正弦定理求得，進(jìn)而在直角三角形中根據(jù)及求得．
【解答】
解：，
根據(jù)正弦定理得，
 ，
故選D．  11.【答案】
 【解析】【解析】
本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)、比例的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．
解：，，
又，
所以
，即，
解得：，，
故：．
即海島的高表高
 12.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題．
由題意先求得三角形為直角三角形，且，進(jìn)而求得，再在直角三角形中，由題意得，即可求得．
【解答】
解：如圖所示：

由在點(diǎn)測得：在北偏東，且點(diǎn)在北偏東，
得：，則，所以，
又在點(diǎn)測得在北偏西，所以，
所以，所以，
在直角三角形中：，，
所以，
在直角三角形中，
由在點(diǎn)測得塔頂的仰角為，得，
又，
所以塔的高度．
故選B．  13.【答案】
 【解析】【分析】本題考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用，考查了正弦定理，屬于中檔題．
在三角形中，由正弦定理得，解得 ，在三角形中，，可得山高的值．
在三角形中，得 ，在三角形中由正弦定理得，可得．【解答】解：在三角形中，，，則 ，
在三角形中，，
，解得 ，
在三角形中，，
故，即山高為．
在三角形中，
由，
解得
 ，
故答案為 ．  14.【答案】
 【解析】【分析】
本題主要考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，求得函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于較難題．
分別計(jì)算出、，相加可得的長；設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，即可得解．
【解答】
解：如下圖所示，過點(diǎn)分別作，，則，在中，，則，同理可得，所以，．令，則，令，得，得，由，解得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．則．故答案為：；．  15.【答案】
 【解析】【分析】
本題主要考查了利用解三角形的知識求邊長問題，也考查了特殊三角函數(shù)的值和正弦、余弦定理的應(yīng)用問題，屬于中檔題．
利用的邊角關(guān)系求出，在中利用正弦定理求出，在中利用余弦定理求出即可．
【解答】
解：在中，，，
所以，即，
根據(jù)等角對等邊，得．
在中，，
．
．
在中由正弦定理得，．
解得．
在中，由余弦定理得，

．
解得，即兩個(gè)基站、之間的距離為．
故答案為：；．  16.【答案】．
 【解析】【分析】
本題主要考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，正弦定理及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
由題意，可得由，從而可求出；利用正弦定理及誘導(dǎo)公式求解即可．
【解答】
解：，由，得
，，
由正弦定理，得，
解得．
故答案為；．  17.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，屬于一般題．
設(shè)，由，利用余弦定理求出，即可求得到的距離和到直線的距離．
【解答】
解：設(shè)，則，
因?yàn)?/span>，，
所以，
即
即，
解得
故，

故到的距離為千米，到直線的距離為千米．
  18.【答案】解：因?yàn)?/span>，
所以，
所以，，
所以
；
由題意：，
所以，，
所以，
所以，
又，
所以，
即，．
當(dāng)時(shí)，米．
 【解析】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式、誘導(dǎo)公式、兩角和的余弦公式以及解三角形的實(shí)際應(yīng)用，屬于難題．
由分別求得、、，故；
由已知分別求得，，故，進(jìn)而得，，故當(dāng)時(shí)，米，問題得解．
 19.【答案】解：
如圖，在上任取一點(diǎn)；
過點(diǎn)在平面內(nèi)作的垂線，交于；
過點(diǎn)在平面內(nèi)作的垂線，交于；
連接，若過點(diǎn)，則就是所求線段；
若不過點(diǎn)，則過點(diǎn)作的平行線，與相交即得線段 
       
取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>為三角形的重心，故．
由題意知，，，故面，
于是，故三棱錐的體積為三棱錐體積的                  
由題意，，，，
于是，，                                                                        
故
 【解析】本題考查了立體幾何中的綜合知識，屬于中檔題．
在上任取一點(diǎn)，連接，若過點(diǎn)，則就是所求線段；若不過點(diǎn)，則過點(diǎn)作的平行線，與相交即得線段．
取中點(diǎn)，連接由題意，，，，故
 20.【答案】解：在直角三角形中，，，
，，，
設(shè)，則在中，，
即，
，
點(diǎn)在線段上，點(diǎn)和點(diǎn)不重合，點(diǎn)和點(diǎn)不重合，
，
．
由知，在中，，，
由正弦定理有，



，
，
，當(dāng)且僅當(dāng)，
即時(shí)，有最小值．
 【解析】設(shè)，則，在中，利用三角函數(shù)可求；
求線段長度的最小值，即求線段長度的最小值，利用三角恒等變換化簡，從而求最值．
本題主要考查在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型，從而利用三角函數(shù)中研究最值的方法解決最值問題，應(yīng)注意角的范圍的確定是關(guān)鍵，屬于中檔題．
 21.【答案】解：設(shè)交交于點(diǎn)，因?yàn)?/span>，

所以，，，
；
半圓和長方形組成的鐵皮具有對稱性，則分析，即可，
，，
所以


令，，
所以，
所以，當(dāng)，
的最大值為．
 【解析】本題主要考查了三角函數(shù)的定義的應(yīng)用及利用三角函數(shù)求解函數(shù)的最值，換元法的應(yīng)用是求解的關(guān)鍵，屬于中檔題．
根據(jù)題意，求得和，即可求得三角形木塊面積；
根據(jù)的思路，用表示出和，表示，換元，根據(jù)二次函數(shù)的最值，求得的最大值．
 22.【答案】解：，且角為鈍角，
，
在中，由余弦定理得：，
，，
解得或舍，
小島與小島之間的距離為 ，
，，，四點(diǎn)共圓，角與角互補(bǔ)．
，，
在中，由余弦定理得：，
，，
解得舍或，



，
四個(gè)小島所形成的四邊形的面積為平方 ；
在中，
由正弦定理得：，
，
為銳角，，
又，，


．
 【解析】本題主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面積公式的運(yùn)用，考查和角的三角函數(shù)公式，考查解三角形的應(yīng)用，屬于中檔題．
利用余弦定理求出，，結(jié)合三角形面積公式即可求小島與小島之間的距離和四個(gè)小島所形成的四邊形的面積；
由正弦定理求出，可得，由誘導(dǎo)公式求出，，利用和角的三角函數(shù)公式求的值．
 23.【答案】 解：，，
，，
又，得，
，
又得，
；
由得，
，，
又，可得，
因?yàn)?/span>，故 不符合舍去，
由，，
圖改造后的停車位個(gè)，由題意得：
，
即，
，
取整數(shù)，
圖車位數(shù)為個(gè)，改造后的停車位增加了個(gè)．
 【解析】本題考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用，是中檔題．
先得出，，，由，即可得出；
由，得，可得舍去，得出，由題意得，解出即可．
 

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高中數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修 第二冊電子課本

1.6 解三角形

版本： 湘教版（2019）

年級： 必修 第二冊

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