湘教版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)
注意：本試卷包含Ⅰ、Ⅱ兩卷。第Ⅰ卷為選擇題，所有答案必須用2B鉛筆涂在答題卡中相應(yīng)的位置。第Ⅱ卷為非選擇題，所有答案必須填在答題卷的相應(yīng)位置。答案寫在試卷上均無效，不予記分。
第I卷（選擇題）
一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）
已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且∠F1PF2=π3，記橢圓和雙曲線的離心率分別為e1，e2，則1e1e2的最大值為( )
A. 3B. 2C. 433D. 233
根據(jù)天文物理學(xué)和數(shù)學(xué)原理，月球繞地球運(yùn)行時(shí)的軌道是一個(gè)橢圓，地球位于橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)位置中的一個(gè)，橢圓上的點(diǎn)距離地球所在焦點(diǎn)最短距離約為36萬千米，月球軌道上點(diǎn)P與橢圓兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的三角形PF1F2面積約為4803(萬千米)2，，則月球繞地球運(yùn)行軌道的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A. x2382+y240×36=1B. x2362+y2142=1
C. x2482+y248×36=1D. x2482+y236×24=1
如圖，F(xiàn)1、F2分別為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上的點(diǎn)，Q是線段PF1上靠近F1的三等分點(diǎn)，△PQF2為正三角形，則橢圓C的離心率為( )
A. 22
B. 34
C. 23
D. 75
在ΔABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，S表示△ABC的面積，若ccsB+bcsC=asinA，S=34(b2+a2?c2)，則∠B=( )
A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°
已知雙曲線x2?y2=1，F(xiàn)1、F2為左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，若∠F1PF2=π3，則三角形F1PF2的面積為( )
A. 2B. 22C. 3D. 23
設(shè)F1，F(xiàn)2分別為曲線C1:x26+y22=1的左、右焦點(diǎn)，P是曲線C2:x23?y2=1與C1的一個(gè)交點(diǎn)，則cs∠F1PF2的值是( )
A. 14B. 13C. 23D. ?13
如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，則異面直線A1B與AC所成角的余弦值是( )
A. 65
B. 64
C. 63
D. 66
已知在△ABC中，a=1，b=2，C=60°，則c等于( )
A. 3B. 2C. 5D. 5
ΔABC中，三邊之比a:b:c=2:3:4，則sinA?2sinBsin2C等于( )
A. 12B. ?12C. 2D. ?2
△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，則△ABC的外接圓的直徑為( )
A. 43B. 5C. 52D. 62
在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知b-c=14a，2sinB=3sinC，則csA的值為( )
A. -14B. 14C. 13D. -13
已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且(a+b)2?c2=4，C=120°，則△ABC的面積為( )
A. 33B. 233C. 3D. 23
第II卷（非選擇題）
二、多空題（本大題共5小題，共25.0分）
在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，b=22且△ABC面積為，則角B= ，△ABC面積S的最大值為 ．
在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，點(diǎn)D在線段AC上.若∠BDC=45°，則BD= (1) ，cs∠ABD= (2) ．
已知△ABD和△CBD是同一平面內(nèi)共斜邊的兩個(gè)直角三角形，AB=1,BC=2，∠ABC=135°，則BD的長為 ，cs∠DBC=
為了給市民提供健身場所，某市因地制宜計(jì)劃在一個(gè)圓形的區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)如圖所示的內(nèi)接四邊形健身步道AB?BC?CD?DA，其中A，B，C，D為休息點(diǎn)，AC，BD為便捷通道，現(xiàn)已知|AB|+|AD|=4，∠DAB=120°，則|BD|的最小值為 ;若∠ADC=∠ABC，則|AC|的最小值為 ．
在△ABC中，三邊長分別為a=4，b=5，c=6，則△ABC的最大內(nèi)角的余弦值為 ，△ABC的面積為 ．
三、解答題（本大題共6小題，共72.0分）
在平面四邊形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．
(1)求cs∠ADB；
(2)若DC=22，求BC．
雙曲線C與橢圓x227+y236=1有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)(15,4)．
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C上，且∠F1PF2=120°，求△F1PF2的面積．
在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知bcs C+ccs B=?4cs A，a=2．
(1)求角A的值；
(2)若△ABC的面積為33，求△ABC的周長．
ΔABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c，已知cs2A+cs2B+2sinAsinB=1+cs2C．
(1)求角C．
(2)設(shè)D為邊AB的中點(diǎn)，ΔABC的面積為2，求CD2的最小值．
如圖，角A,B,C,D為平面四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角，AB=6,BC=3,CD=4．
(1)若B=60°,∠DAC=30°，求sinD；
(2)若∠BAD+∠BCD=180°,AD=5，求cs∠BAD．
△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知．
(Ⅰ)求角B的大小；
(Ⅱ)設(shè)a=2，c=3，求b和的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本題考查橢圓與雙曲線的定義和性質(zhì)，屬于中檔題．
先設(shè)橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的半實(shí)軸長a2，焦距2c，根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根據(jù)余弦定理可得到：1e12+3e22=4，利用基本不等式可得結(jié)論．
【解答】
解：不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，P為第一象限的點(diǎn)，如圖：
設(shè)橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的實(shí)半軸長為a2，
則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義知|PF1|+|PF2|=2a1，|PF1|?|PF2|=2a2，
∴|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1?a2．
設(shè)|F1F2|=2c，在△PF1F2中，∠F1PF2=π3，
由余弦定理得，4c2=(a1+a2)2+(a1?a2)2?2(a1+a2)(a1?a2)csπ3，
化簡得a12+3a22=4c2，即1e12+3e22=4，
∴1e12+3e22=4≥23e12e22，
∴1e1e2≤233，
當(dāng)且僅當(dāng)e1=22,e2=62時(shí)，等號(hào)成立，
則1e1e2的最大值為233，
故選D．

2.【答案】A
【解析】
【分析】
本題主要考查了橢圓的概念及標(biāo)準(zhǔn)方程，性質(zhì)及幾何意義，考查三角形面積公式、余弦定理，屬于中檔題．
由題意得a?c=36①，在三角形PF1F2中，由三角形面積公式和余弦定理得4c2=4a2?3×1920②，再結(jié)合b2=a2?c2，解得橢圓方程．
【解答】
解：設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1a>b>0，
依題意a?c=36，①
∵12PF1?PF2sinπ3=4803，∴PF1?PF2=1920，
由余弦定理得4c2=PF12+PF22?2PF1?PF2cs60°，
∴4c2=(PF1+PF2)2?3PF1?PF2，
∴4c2=4a2?3×1920，②，
由①②得a=38，c=2，
∴b2=a2?c2=382?4=40×36，
則月球繞地球運(yùn)行軌道的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2382+y240×36=1．
故選A．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本題考查橢圓的性質(zhì)和幾何意義，屬于中檔題．
由橢圓的定義結(jié)合已知求得32|PQ|+|PF2|=2a，又△PQF2為正三角形，可得|PF2|=4a5，|PF1|=6a5，在△PF1F2中，利用余弦定理，結(jié)合離心率公式可得e2=725，從而可求答案．
【解答】
解：由橢圓的定義知，|PF1|+|PF2|=2a，則32|PQ|+|PF2|=2a，
因?yàn)椤鱌QF2為正三角形，所以|PF2|=4a5，|PF1|=6a5．
在△PF1F2中，由余弦定理得 4c2=1625a2+3625a2?2×4a5×6a5×cs60°=2825a2，
則e2=725，∴e=75．
故答案選：D．

4.【答案】D
【解析】
【分析】
本題主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，屬于中檔題．
利用已知條件和正弦定理求得，再根據(jù)余弦定理和三角形面積公式解得C=π3，根據(jù)三角形內(nèi)角和，即可得到角B．
【解答】
解：∵ccsB+bcsC=asinA，
∴根據(jù)正弦定理：sinCcsB+sinBcsC=sin2A，
∴sin(B+C)=sin2A，∴sinA=sin2A，
∵A為△ABC內(nèi)角，∴sinA>0，
∴sinA=1，，
∵S=34b2+a2?c2，
∴根據(jù)余弦定理：
，
又，
則，
則，即，
又C∈0,π2，所以C=π3，
∵B為△ABC內(nèi)角，．
故選D．

5.【答案】C
【解析】解：由雙曲線x2?y2=1的a=b=1，c=2，
F1(?2,0)，F(xiàn)2(2,0)，
由余弦定理可得，
=(PF1?PF2)2+PF1?PF2=4+PF1?PF2，
∴PF1?PF2=4．
則
=12×4×32=3．
故選C．
由題意可得F1(?2,0)，F(xiàn)2(2,0)，由余弦定理可得PF1?PF2=4，由，計(jì)算即可得到所求．
本題考查雙曲線的性質(zhì)，余弦定理，三角形的面積公式，是中檔題．
6.【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查橢圓和雙曲線的定義及余弦定理的應(yīng)用．
不妨設(shè)P為第一象限的交點(diǎn).則|PF1|+|PF2|=26，|PF1|?|PF2|=23，解得|PF1|=6+3，|PF2|=6?3.又|F1F2|=4，再由余弦定理求出結(jié)果．
【解答】解：曲線C1:x26+y22=1與曲線C2:x23?y2=1的焦點(diǎn)重合，
兩曲線共有四個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)P為第一象限的交點(diǎn)．
則|PF1|+|PF2|=26，|PF1|?|PF2|=23，
解得|PF1|=6+3，|PF2|=6?3．
又|F1F2|=4，在△F1PF2中，由余弦定理可求得
cs∠F1PF2=(6+3)2+(6?3)2?422×(6+3)×(6?3)=13，故選B．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本題考查異面直線所成角的求法，考查了余弦定理，是基礎(chǔ)題．
由AC//A1C1，知∠C1A1B是異面直線A1B與AC所成角(或所成角的補(bǔ)角)，由此能求出異面直線A1B與AC所成角的余弦值．
【解答】
解：連接BC1，
∵AC//A1C1，
∴∠C1A1B是異面直線A1B與AC所成角或其補(bǔ)角，
∵在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，
∴AB=1+1=2，A1B=4+2=6，BC1=4+1=5，A1C1=1，
∴cs∠C1A1B=A1C12+A1B2?BC122×A1C1×A1B=1+6?52×1×6=66，
∴異面直線A1B與AC所成角的余弦值為66．
故選：D．
8.【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了余弦定理，根據(jù)余弦定理求解即可．
【解答】解：由余弦定理，得c2=12+22?2×1×2cs60°=3，所以c=3．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
先設(shè)出三邊長，由余弦定理求出csC，由正弦定理把角化成邊得sinA?2sinBsin2C=a?2b2ccsC，
代入數(shù)值即可．
【解答】
解：令a=2k，b=3k，c=4k (k>0)，
由余弦定理得csC=4k2+9k2?16k22×2×3k2=?14，
由正弦定理得sinA?2sinBsin2C=a?2b2ccsC=2?68×(?14)=2．
故選C．

10.【答案】C
【解析】
【分析】
本題主要考查正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式．
先由三角形的面積得到c=42，再由余弦定理得b=5，最后利用正弦定理bsinB=2R即可得解．
【解答】
解：∵S△ABC=2，
∴12acsinB=2，
∴12×1×c×22=2，
∴c=42．
∵b2=a2+c2?2accsB，
∴b2=12+(42)2?2×1×42×22=25，
∴b=5．
設(shè)△ABC的外接圓半徑為R．
∵bsinB=2R，
∴2R=5sin45°=52．
故選C．

11.【答案】A
【解析】
【分析】
本題考查正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，將a，b統(tǒng)一由c表示是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
由條件利用正弦定理求得a=2c，b=32c，再由余弦定理可得csA=b2+c2?a22bc的值．
【解析】
解：在△ABC中，∵b?c=14a，2sinB=3sinC，
利用正弦定理可得2b=3c，求得a=2c，b=32c.
再由余弦定理可得csA=b2+c2?a22bc
=(32c)2+c2?4c22×3c2×c=?14，
故選：A．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本題考查了余弦定理和三角形面積公式，由余弦定理得，得ab=4，再由三角形面積公式即可得出結(jié)果．
【解答】
解：由(a+b)2?c2=4，得c2=a2+b2+2ab?4，
又，C=120°，
，即，即ab=4，
，
故選C．

13.【答案】5π6
4?23
【解析】
【分析】
本題主要考查了三角形的面積公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
由已知利用三角形的面積公式可求tanB，從而得到B，可得csB，sinB的值，由余弦定理，基本不等式可求ac≤8(2?3)，根據(jù)三角形的面積公式即可求解其最大值．
【解答】
解：∵S=312(b2?a2?c2)=312?(?2accsB)=12acsinB，
∴tanB=?33，∵B∈(0,π)，則B=5π6，
csB=?32，sinB=12，
又∵b=22，由余弦定理可得：8=a2+c2+3ac≥(2+3)ac，
當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)，
∴ac≤82+3=8(2?3)，
∴S△ABC=12acsinB≤12×8(2?3)×12=4?23．
∴B=5π6，面積S的最大值為4?23．
故答案為5π6；4?23．
14.【答案】1225;7210
【解析】
【分析】本題考查正弦定理及兩角和的正弦公式的應(yīng)用．考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
在△BCD中，利用正弦定理計(jì)算BD，利用正弦的和角公式計(jì)算，再利用誘導(dǎo)公式即可得到cs∠ABD的值．
【解答】解：在Rt△ABC中，易得AC=5，sinC=ABAC=45．
在△BCD中，由正弦定理得
BD=BCsin∠BDC×sin∠BCD=322×45=1225，
sin∠DBC=sin[π?(∠BCD+∠BDC)]=sin(∠BCD+∠BDC)
=sin∠BCDcs∠BDC+cs∠BCDsin∠BDC=45×22+35×22=7210．
又∠ABD+∠DBC=π2，
所以cs∠ABD=sin∠DBC=210．
故答案為1225 ； 7210
15.【答案】10
55
【解析】
【分析】
本題主要考查正弦定理和余弦定理，熟記定理是解題的關(guān)鍵．
先由已知判斷A，B，C，D四點(diǎn)共圓，再根據(jù)正弦定理和余弦定理求解即可．
【解析】
解：△ABD和ΔCBD是同一平面內(nèi)共斜邊的兩個(gè)直角三
角形，所以A，B，C，D四點(diǎn)共圓，且BD為直徑，
又∠ABC=3π4，所以∠ADC=π4，
在△ABC中，由余弦定理得：
AC2=AB2+BC2?2AB?BC?cs3π4=5，所以AC=5，
設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，則
2R=ACsin∠ABC=522=10，所以BD=10．
在RtΔABD中，cs∠DBA=55?
又因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等，
所以∠DCA=∠DBA，所以cs∠DCA=55?
16.【答案】23
4
【解析】
【分析】
本題考查了余弦定理，正弦定理，利用基本不等式求最值，屬中檔題．
設(shè)AB=x，AD=y，則x+y=4，在△ABD中，利用余弦定理和基本不等式求最值可得|BD|的最小值，然后利用正弦定理求四邊形ABCD內(nèi)接圓的直徑，再進(jìn)行后面的求解可得．
【解答】
解：設(shè)AB=x，AD=y，則x+y=4，
在△ABD中，|BD|2=x2+y2?2xycs120°=x2+y2+xy，
=(x+y)2?xy≥(x+y)2?(x+y2)2=34(x+y)2=12，
(當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等)，|BD|min=23，
四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，且∠ADC=∠ABC，則∠ADC=∠ABC=90°，
則AC為該四邊形外接圓的直徑，由|BD|sinA=2R=|AC|，
所以|AC|min=4．
故答案為23；4．
17.【答案】18
1574
【解析】
【分析】
由題意可得，角C是△ABC的最大內(nèi)角，由余弦定理即可求出csC的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinC的值，從而得到△ABC的面積．
本題主要考查了余弦定理以及三角形面積公式，是基礎(chǔ)題．
【解答】
解：∵c>b>a，可知角C是△ABC的最大內(nèi)角，
由余弦定理可得：csC=a2+b2?c22ab=16+25?362×4×5=18，
又∵C∈(0,π)，∴sinC=1?(18)2=378，
∴△ABC的面積為12ab?sinC=1574，
故答案為：18，1574．

18.【答案】解：(1)∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．
∴由正弦定理得：ABsin∠ADB=BDsin∠A，即2sin∠ADB=5sin45°，
∴sin∠ADB=2sin45°5=25，
∵AB

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高中數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修 第二冊(cè)電子課本

1.6 解三角形

版本： 湘教版（2019）

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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