?2021年江蘇省鎮(zhèn)江市中考數(shù)學(xué)一模試卷
一、選擇題（本大題共有8小題，每小題0分，共24分.在每小題所給出的四個選項中，恰有一項符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）
1．|﹣5|的值是（　?。?br /> A．5 B．﹣5 C． D．
2．下面計算正確的是（　?。?br /> A．3a+2b＝5ab B．5a2b﹣2ba2＝3a2b
C．﹣（6x+2y）＝﹣6x+2y D．（﹣2a）2＝﹣4a2
3．如圖所示，該幾何體的俯視圖是（　　）

A． B． C． D．
4．如圖，在⊙O中，∠ACB＝67°，點P在劣弧上，∠AOP＝42°，則∠BOP的度數(shù)為（　?。?br />
A．25° B．90° C．92° D．109°
5．將二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3（0≤x≤4）位于x軸下方的圖象沿x軸向上翻折，與原二次函數(shù)位于x軸上方的部分組成一個新圖象，這個新圖象對應(yīng)的函數(shù)最大值與最小值之差為（　?。?br /> A．1 B．3 C．4 D．5
6．我們知道，△ABC的重心就是三條中線AD、BE、CF的交點G，如圖1，其中，如圖2，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8，將Rt△ABC繞其重心G旋轉(zhuǎn)，A、B、C的對應(yīng)點分別A1、B1、C1，與CA1的最大值最接近的是（　?。?br />
A．5.5 B．6.5 C．7.5 D．8.5
二、填空題（本大題共有10小題，每小題0分，共30分，不需要寫出解答過程，請把答案直接寫在答題卡相應(yīng)位置上）
7．2的相反數(shù)是　 ?。?br /> 8．若分式有意義，則x的取值范圍是　 ?。?br /> 9．4月24日是中國航天日，1970年的這一天，我國自行設(shè)計、制造的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”成功發(fā)射，標志著中國從此進入了太空時代，它的運行軌道，距地球最近點439000米，將439000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為　 ?。?br /> 10．飛鏢游戲板（5×5方格），中每一小塊正方形除標注的數(shù)字外都相同，假設(shè)飛鏢擊中每一小塊正方形是等可能的（擊中小正方形的邊界線或沒有擊中游戲版，則重投一次），任意投擲飛鏢一次，擊中標有數(shù)字“1”的小正方形的概率等于 　 ?。?
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11．因式分解：2a2+4a＝　 ?。?br /> 12．一組數(shù)據(jù)2，3，1，6，3的平均數(shù)為 　 ?。?br /> 13．如圖，△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，直尺的一邊與BC平行，則∠1＝　 　°．

14．已知一次函數(shù)y＝x+2，當﹣3≤x≤3時，y的最小值等于 　 ?。?br /> 15．已知一元二次方程x2+2x﹣m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是 　 ?。?br /> 16．如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，若S△ACD：S△BCD＝3：2，則cos∠ACB＝　 ?。?br />
17．公元前240年前后，在希臘的亞歷山大城圖書館當館長的埃拉托色尼（Eratosthenes）通過測得有關(guān)數(shù)據(jù)，求得了地球圓周的長度．他是如何測量的呢？如圖所示，由于太陽距離地球很遠，太陽射來的光線可以看作平行線，在同時刻，光線與A城和地心的連線OP所夾的銳角記為∠1，光線與B城和地心的連線OQ重合，通過測量A，B兩城間的距離（即AB）和∠1的度數(shù)，利用圓的有關(guān)知識，地球圓周的長度就可以大致算出來了．已知AB≈768km，若∠1≈7.2°，則地球的周長約為 　 　km．

18．在平面直角坐標系中，已知點A（1，﹣2），點B（2，1），點P在一次函數(shù)y＝x+b的圖象上，若滿足PAB＝45°的點P只有1個，則b的取值范圍是 　 　．
三、解答題（本大題共有10小題，共86分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（1）計算：．
（2）化簡：．
20．（1）解方程：；
（2）解不等式組：．
21．D是△ABC的邊AB上的一點，E是邊BC邊的中點，過點C作AB的平行線，交DE的延長線于點F，連接CD、BF．
（1）求證：DE＝EF．
（2）已知BC＝8，DF＝6，當DB＝　 　時，四邊形CDBF是菱形．

22．隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，移動支付已成為一種常見的支付方式．在一次購物中，馬老師和趙老師都隨機從“微信”、“支付寶”、“銀行卡”三種支付方式中選一種方式進行支付．求兩位老師恰好一人用“微信”支付，一人用“銀行卡”支付的概率．
23．如圖1，點C在線段AB上，圖中共有3條線段AB、AC和BC，若其中有一條線段的長度是另一條線段長度的兩倍，則稱點C是線段AB的“二倍點”；如圖2，一次函數(shù)y＝ax+2a（a＞0）與x軸交于點A，與y軸交于點B，與反比例函數(shù)y＝的圖象位于第一象限的部分相交于點C．
（1）求點A的坐標；
（2）若點B是線段AC的“二倍點”，則a＝　 ?。?br />
24．為增強同學(xué)們的科學(xué)防疫意識，學(xué)校開展了以“科學(xué)防疫，健康快樂”為主題的安全知識競賽，從全校學(xué)生中隨機抽取了男、女各40名，并將數(shù)據(jù)進行整理分析，得到如下信息．
信息一：女生成績扇形統(tǒng)計圖和男生成績頻數(shù)分布直方圖如圖；
（數(shù)據(jù)分組為A組：x＜70，B組：70≤x＜80，C組：80≤x＜90，D組：90≤x≤100）

信息二：女生C組中全部15名學(xué)生的成績?yōu)椋?br /> 86，87，81，83，88，84，85，87，86，89，82，88，89，85，89；
信息三：男、女生兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：（單位：分）

平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
滿分率
女生
90
b
c
25%
男生
90
88
98
15%
（1）扇形統(tǒng)計圖中A組學(xué)生有 　 　人，表格中的中位數(shù)b＝　 　，眾數(shù)c＝　 ?。?br /> （2）若成績在90分（包含90分）以上為優(yōu)秀，請估計該校1600名學(xué)生此次知識競賽中優(yōu)秀的人數(shù)．
25．如圖，公園里有一棵大樹（AB）與一棵小樹（CD），受測量工具、地理環(huán)境及安全等因素影響不能直接測量它們的高度之差，小明與小麗手中有一副含30°角的直角三角尺和一根皮尺，小明首先在與樹根B、D成一條直線的點E處用三角尺測得小樹CD頂部C的仰角為30°，然后他向后移動調(diào)整，在M處用三角尺測得大樹AB頂部A的仰角也是30°，點M仍然與B、D在一條直線上，然后他倆用皮尺測得BD＝4.5米，EM＝1.5米，求兩棵樹的高度之差．

26．閱讀材料：
《見微知著》談到：從一個簡單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特殊到一般，由簡單到復(fù)雜，從部分到整體，由低維到高維，知識與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方法．
例如：已知xy＝1，求+的值．
解：原式＝．
問題解決：
（1）已知xy＝1．
①代數(shù)式的值為 　 ?。?br /> ②求證．
（2）若x滿足（2021﹣x）2+（2020﹣x）2＝4043，求（2021﹣x）（2020﹣x）．
27．如圖1，△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，半徑為r的⊙O經(jīng)過點A且與BC相切，切點M在線段BC上（包含點M與點B、C重合的情況）．
（1）半徑r的最小值等于 　 ??；
（2）設(shè)BM＝x，求半徑r關(guān)于x的函數(shù)表達式；
（3）當BM＝1時，請在圖2中作點M及滿足條件的⊙O．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，并用2B鉛筆或黑色水筆加黑加粗）

28．如圖1，二次函數(shù)y＝（x﹣2）2的圖象記為C1，與y軸交于點A，其頂點為B，二次函數(shù)y＝（x﹣h）2﹣h+1（h＞2）的圖象記為C2，其頂點為D，圖象C1、C2相交于點P，設(shè)點P的橫坐標為m．
（1）求證：點D在直線AB上．
（2）求m和h的數(shù)量關(guān)系；
（3）平行于x軸的直線l1經(jīng)過點P與圖象C交于另一點E，與圖象C2交于另一點F，若＝2，求h的值．
（4）如圖2，過點P作平行于AB的直線l2，與圖象C2交于另一點Q，連接DQ，當DQ⊥AB時，h＝　 ?。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果）．


2021年江蘇省鎮(zhèn)江市中考數(shù)學(xué)一模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共有8小題，每小題0分，共24分.在每小題所給出的四個選項中，恰有一項符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）
1．|﹣5|的值是（　?。?br /> A．5 B．﹣5 C． D．
【分析】絕對值的性質(zhì)：正數(shù)的絕對值是它本身；負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．
【解答】解：根據(jù)負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，得：|﹣5|＝5．故選A．
2．下面計算正確的是（　　）
A．3a+2b＝5ab B．5a2b﹣2ba2＝3a2b
C．﹣（6x+2y）＝﹣6x+2y D．（﹣2a）2＝﹣4a2
【分析】根據(jù)合并同類項、去括號及積的乘方法則即可得到答案．
【解答】解：3a與2b不是同類項，故A不符合題意；
5a2b﹣2ba2＝3a2b，故B符合題意；
﹣（6x+2y）＝﹣6x﹣2y，故C不符合題意；
（﹣2a）2＝4a2，故D不符合題意；
故選：B．
3．如圖所示，該幾何體的俯視圖是（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)從上面看得到的圖形是俯視圖，可得答案．
【解答】解：從上面看，是一行兩個矩形．
故選：B．
4．如圖，在⊙O中，∠ACB＝67°，點P在劣弧上，∠AOP＝42°，則∠BOP的度數(shù)為（　　）

A．25° B．90° C．92° D．109°
【分析】根據(jù)圓周角定理得出∠AOB＝2∠ACB，求出∠AOB的度數(shù)，再求出答案即可．
【解答】解：∵∠ACB＝67°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝134°，
∵∠AOP＝42°，
∴∠BOP＝∠AOB﹣∠AOP＝134°﹣42°＝92°，
故選：C．
5．將二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3（0≤x≤4）位于x軸下方的圖象沿x軸向上翻折，與原二次函數(shù)位于x軸上方的部分組成一個新圖象，這個新圖象對應(yīng)的函數(shù)最大值與最小值之差為（　?。?br /> A．1 B．3 C．4 D．5
【分析】令 y＝0，則 x1＝﹣1，x2＝3，令x＝0，則y＝3，再求出拋物線于x軸右側(cè)的交點A（3，0），翻折后的函數(shù)表達式為：﹣y′＝﹣x2+2x+3，當 x＝4 時，y′＝5，當 0≤x≤4 時，函數(shù)的最小值為0，最大值為5，即可求出函數(shù)最大值與最小值之差．
【解答】解：如下圖，函數(shù)y＝﹣x2+2x+3的對稱軸為x＝1，故頂點P的坐標為（1，4），

令 y＝0，則 x1＝﹣1，x2＝3，
令x＝0，則y＝3，
設(shè)拋物線于x 軸右側(cè)的交點A（3，0），
根據(jù)點的對稱性，圖象翻折后圖象關(guān)于x 軸對稱，故翻折后的函數(shù)表達式為：﹣y′＝﹣x2+2x+3，當 x＝4 時，y′＝5，
∴當 0≤x≤4 時，函數(shù)的最小值為 0，最大值為5，
故函數(shù)最大值與最小值之差為5，
故選：D．
6．我們知道，△ABC的重心就是三條中線AD、BE、CF的交點G，如圖1，其中，如圖2，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8，將Rt△ABC繞其重心G旋轉(zhuǎn)，A、B、C的對應(yīng)點分別A1、B1、C1，與CA1的最大值最接近的是（　?。?br />
A．5.5 B．6.5 C．7.5 D．8.5
【分析】連接AG并延長交BC于點E，然后利用重心的性質(zhì)和已知條件求出AG的長度和CG的長度．再以點G為圓心，OG為半徑作圓，連接CG并延長交⊙G與點F，此時CF的長度即為CA1的最大值．
【解答】解：連接AG并延長交BC于點E，
∵點G為△ABC的重心，BC＝8，
∴CE＝4，AG：AE＝2：3，
∴AE＝＝4，
∴AG＝＝＝，
以點G為圓心，OG為半徑作圓，連接CG并延長交⊙G與點F，交AB于點H，此時CF的長即為CA1的最大值，
∵AC＝4，BC＝8，
∴AB＝4，
∵點G是△ABC的重心，∠ACB＝90°，
∴CH＝AB＝2，
∴CG＝CH＝×2＝，
∴CF＝CG+GF＝CG+GA＝+≈6.75，
故選：B．

二、填空題（本大題共有10小題，每小題0分，共30分，不需要寫出解答過程，請把答案直接寫在答題卡相應(yīng)位置上）
7．2的相反數(shù)是　﹣2?。?br /> 【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義可知．
【解答】解：2的相反數(shù)是﹣2．
故答案為：﹣2
8．若分式有意義，則x的取值范圍是　x≠﹣3?。?br /> 【分析】根據(jù)分式分母不等于零列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由題意得，x+3≠0，
解得，x≠﹣3，
故答案為：x≠﹣3．
9．4月24日是中國航天日，1970年的這一天，我國自行設(shè)計、制造的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”成功發(fā)射，標志著中國從此進入了太空時代，它的運行軌道，距地球最近點439000米，將439000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為　4.39×105　．
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．
【解答】解：439000用科學(xué)記數(shù)法表示為：4.39×105．
故答案為：4.39×105．
10．飛鏢游戲板（5×5方格），中每一小塊正方形除標注的數(shù)字外都相同，假設(shè)飛鏢擊中每一小塊正方形是等可能的（擊中小正方形的邊界線或沒有擊中游戲版，則重投一次），任意投擲飛鏢一次，擊中標有數(shù)字“1”的小正方形的概率等于 　?。?
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【分析】用標有數(shù)字“1”的小正方形的個數(shù)除以小正方形的總個數(shù)可得．
【解答】解：標有數(shù)字“1”的小正方形的概率等于，
故答案為：．
11．因式分解：2a2+4a＝　2a（a+2）?。?br /> 【分析】觀察發(fā)現(xiàn)，系數(shù)的最大公約數(shù)是2，相同字母的最低次冪是a．故公因式是2a．
【解答】解：原式＝2a（a+2）．
12．一組數(shù)據(jù)2，3，1，6，3的平均數(shù)為 　3?。?br /> 【分析】根據(jù)算術(shù)平均數(shù)的定義求解即可．
【解答】解：數(shù)據(jù)2，3，1，6，3的平均數(shù)為＝3，
故答案為：3．
13．如圖，△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，直尺的一邊與BC平行，則∠1＝　75　°．

【分析】如圖，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得∠1＝∠A+∠AME．欲求∠1，需求∠AME．根據(jù)平行線的性質(zhì)，由DE∥BC，得∠B＝∠AME＝30°，從而解決此題．
【解答】解：如圖．

由題意得：DE∥BC．
∴∠B＝∠AME＝30°．
∴∠1＝∠A+∠AME＝45°+30°＝75°．
故答案為：75．
14．已知一次函數(shù)y＝x+2，當﹣3≤x≤3時，y的最小值等于 　﹣3?。?br /> 【分析】由k＝＞0，利用一次函數(shù)的性質(zhì)可得出y隨x的增大而增大，結(jié)合﹣3≤x≤3，即可得出當x＝﹣3時y取得最小值，再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出y的最小值．
【解答】解：∵k＝＞0，
∴y隨x的增大而增大．
又∵﹣3≤x≤3，
∴當x＝﹣3時，y取得最小值，此時y＝×（﹣3）+2＝﹣3．
故答案為：﹣3．
15．已知一元二次方程x2+2x﹣m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是 　m＞﹣1?。?br /> 【分析】根據(jù)判別式的意義得到Δ＝22﹣4×（﹣m）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝22﹣4×1×（﹣m）＞0，
解得m＞﹣1．
故答案為：m＞﹣1．
16．如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，若S△ACD：S△BCD＝3：2，則cos∠ACB＝　?。?br />
【分析】如圖，過點A作AD⊥BC于點D，DN⊥AC于N，DM⊥BC于M．欲求cos∠ACB，需求CD：AC．根據(jù)角平分線的性質(zhì)，由CD平分∠ACB，DM⊥BC于M，DN⊥AC于點N，得DM＝DN．由，，得S△ACD：S△BCD＝AC：BC＝3：2．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由AB＝AC，AD⊥BC，得BD＝CD＝，那么CD：AC＝1：3，從而解決此題．
【解答】解：如圖，過點A作AE⊥BC于點E，DN⊥AC于N，DM⊥BC于M．

∵CD平分∠ACB，DM⊥BC于M，DN⊥AC于點N，
∴DM＝DN．
∵，，
∴S△ACD：S△BCD＝AC：BC＝3：2．
∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴BE＝CE＝．
∴CE：AC＝1：3．
∴COS∠ACB＝．
故答案為：．
17．公元前240年前后，在希臘的亞歷山大城圖書館當館長的埃拉托色尼（Eratosthenes）通過測得有關(guān)數(shù)據(jù)，求得了地球圓周的長度．他是如何測量的呢？如圖所示，由于太陽距離地球很遠，太陽射來的光線可以看作平行線，在同時刻，光線與A城和地心的連線OP所夾的銳角記為∠1，光線與B城和地心的連線OQ重合，通過測量A，B兩城間的距離（即AB）和∠1的度數(shù)，利用圓的有關(guān)知識，地球圓周的長度就可以大致算出來了．已知AB≈768km，若∠1≈7.2°，則地球的周長約為 　38400　km．

【分析】首先根據(jù)弧長公式求出地球的半徑，再利用圓的周長公式即可求解．
【解答】解：∵太陽射來的光線可以看作平行線，
∴∠AOB＝∠1≈7.2°．
設(shè)地球的半徑為R千米，由題意得
＝768，
解得R＝，
∴地球的周長約為2π×＝38400（千米）．
故答案為：38400．
18．在平面直角坐標系中，已知點A（1，﹣2），點B（2，1），點P在一次函數(shù)y＝x+b的圖象上，若滿足PAB＝45°的點P只有1個，則b的取值范圍是 　b＞﹣?。?br /> 【分析】連接AB，過點A作AC∥OB，證明△AOB是等腰直角三角形，然后結(jié)合一次函數(shù)圖象的平移，利用y＝x+b由y＝x 平移得到b的取值范圍．
【解答】解：如圖：連接AB，過點A作AC∥OB，

∵A（1，﹣2），點B（2，1），
∴AB＝，
AO＝，
BO＝，
∴AO2+BO2＝AB2，AO＝BO，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
又∵OB∥AC，
∴∠OBA＝∠BAC＝45°，
∴滿足PAB＝45°的點P在射線AC或射線AO上，
設(shè)直線OB的解析式為y＝kx，
把B（2，1）代入，得：2k＝1，
解得：k＝，
∴直線OB的解析式為y＝x，
所以直線AC的解析式為y＝x+m，
把A（1，﹣2）代入y＝x+m中，
+m＝﹣2，
解得：m＝﹣，
又∵滿足PAB＝45°的點P只有1個，且點P在一次函數(shù)y＝x+b上，
∴點P在射線AO上，且不與點A重合，
∴b＞﹣，
故答案為：b＞﹣．
三、解答題（本大題共有10小題，共86分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（1）計算：．
（2）化簡：．
【分析】（1）根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、算術(shù)平方根可以解答本題；
（2）先對括號內(nèi)的分式通分，然后作差，再計算括號外面的式子，將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后約分即可．
【解答】解：（1）
＝2+1﹣3
＝0；
（2）
＝?
＝（x+1）﹣（x﹣1）
＝x+1﹣x+1
＝2．
20．（1）解方程：；
（2）解不等式組：．
【分析】（1）方程兩邊都乘x﹣2得出x+x﹣2＝8，求出x，再進行檢驗即可；
（2）先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集即可．
【解答】解：（1）方程兩邊都乘x﹣2，得x+x﹣2＝8，
解得：x＝5，
檢驗：當x＝5時，x﹣2≠0，所以x＝5是原方程的解，
即原方程的解是x＝5；

（2），
解不等式①，得x≤﹣2，
解不等式②，得x＞﹣4，
所以不等式組的解集是﹣4＜x≤﹣2．
21．D是△ABC的邊AB上的一點，E是邊BC邊的中點，過點C作AB的平行線，交DE的延長線于點F，連接CD、BF．
（1）求證：DE＝EF．
（2）已知BC＝8，DF＝6，當DB＝　5　時，四邊形CDBF是菱形．

【分析】（1）欲證明四邊形CDBF是平行四邊形只要證明CF∥DB，CF＝DB即可；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到DE＝DF＝3，BE＝BC＝4，根據(jù)勾股定理的逆定理得到BC⊥DF，由菱形的判定定理即可得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵CF∥AB，
∴∠ECF＝∠EBD．
∵E是BC中點，
∴CE＝BE．
∵∠CEF＝∠BED，
∴△CEF≌△BED（ASA）．
∴CF＝BD．
∴四邊形CDBF是平行四邊形，
∴DE＝EF；
（2）解：當DB＝5時，四邊形CDBF是菱形，
理由：∵四邊形CDBF是平行四邊形，
∴DE＝DF＝3，BE＝BC＝4，
∵DE2+BE2＝32+42＝52＝BD2，
∴∠BED＝90°，
∴BC⊥DF，
∴四邊形CDBF是菱形，
故答案為：5．
22．隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，移動支付已成為一種常見的支付方式．在一次購物中，馬老師和趙老師都隨機從“微信”、“支付寶”、“銀行卡”三種支付方式中選一種方式進行支付．求兩位老師恰好一人用“微信”支付，一人用“銀行卡”支付的概率．
【分析】將“微信”記為A、“支付寶”記為B、“銀行卡”記為C，列表可得所有結(jié)果數(shù)，共有9種等可能的結(jié)果，其中一人選擇“微信”支付，一人選擇“銀行卡”支付的結(jié)果有2種，利用概率公式求解可得．
【解答】解：將“微信”記為A、“支付寶”記為B、“銀行卡”記為C，
列表法如下：

A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
∴共有9種等可能的結(jié)果，其中一人選擇“微信”支付，一人選擇“銀行卡”支付的結(jié)果有2種，
∴兩位老師恰好一人選擇“微信”支付，一人選擇“銀行卡”支付的概率為．
23．如圖1，點C在線段AB上，圖中共有3條線段AB、AC和BC，若其中有一條線段的長度是另一條線段長度的兩倍，則稱點C是線段AB的“二倍點”；如圖2，一次函數(shù)y＝ax+2a（a＞0）與x軸交于點A，與y軸交于點B，與反比例函數(shù)y＝的圖象位于第一象限的部分相交于點C．
（1）求點A的坐標；
（2）若點B是線段AC的“二倍點”，則a＝　　．

【分析】（1）把y＝0代入y＝ax+2a即可求得x＝﹣2，即可得到A（﹣2，0）；
（2）根據(jù)題意AB＝2BC，由OA＝2，即可求得C的橫坐標為1，代入反比例函數(shù)解析式求得C的坐標，把C的坐標代入y＝ax+2a，即可求得a的值．
【解答】解：（1）令y＝0，則ax+2a＝0，
∴x＝﹣2，
∴A（﹣2，0）；
（2）∵y＝ax+2a（a＞0）與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴B（0，2a），
∵點B是線段AC的“二倍點”，
∴AB＝2BC，
∴C的橫坐標為1，
把x＝1代入y＝，得y＝4，
∴C（1，4），
代入y＝ax+2a得，4＝a+2a，
解得a＝，
故答案為：．
24．為增強同學(xué)們的科學(xué)防疫意識，學(xué)校開展了以“科學(xué)防疫，健康快樂”為主題的安全知識競賽，從全校學(xué)生中隨機抽取了男、女各40名，并將數(shù)據(jù)進行整理分析，得到如下信息．
信息一：女生成績扇形統(tǒng)計圖和男生成績頻數(shù)分布直方圖如圖；
（數(shù)據(jù)分組為A組：x＜70，B組：70≤x＜80，C組：80≤x＜90，D組：90≤x≤100）

信息二：女生C組中全部15名學(xué)生的成績?yōu)椋?br /> 86，87，81，83，88，84，85，87，86，89，82，88，89，85，89；
信息三：男、女生兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：（單位：分）

平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
滿分率
女生
90
b
c
25%
男生
90
88
98
15%
（1）扇形統(tǒng)計圖中A組學(xué)生有 　1　人，表格中的中位數(shù)b＝　88　，眾數(shù)c＝　100?。?br /> （2）若成績在90分（包含90分）以上為優(yōu)秀，請估計該校1600名學(xué)生此次知識競賽中優(yōu)秀的人數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)扇形統(tǒng)計圖中，各個部分所占的百分比，可求出B組、D組人數(shù)，再由C組人數(shù)為15人，進而求出A組人數(shù)，然后再根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的意義求出中位數(shù)和眾數(shù)即可確定b、c的值；
（2）求出樣本中，優(yōu)秀所占的百分比即可估計總體中優(yōu)秀所占的百分比，進而求出相應(yīng)的人數(shù)．
【解答】解：（1）抽樣調(diào)查中40名女生的成績在“B組”的有40×20%＝8（人），
在“D組”的有40×40%＝16（人），
因為“C組”的有15人，
所以：“A組”的有40﹣8﹣16﹣15＝1（人），
將這40名女生成績從小到大排列，處在中間位置的兩個數(shù)都是88分，因此中位數(shù)是88分，即b＝88，
這40名女生成績出現(xiàn)次數(shù)最多的是滿分100，共出現(xiàn)40×25%＝10人次，因此眾數(shù)是100，即c＝100，
故答案為：1，88，100；
（2）1600×＝580（人），
答：該校1600名學(xué)生此次知識競賽中優(yōu)秀的人數(shù)為580人．
25．如圖，公園里有一棵大樹（AB）與一棵小樹（CD），受測量工具、地理環(huán)境及安全等因素影響不能直接測量它們的高度之差，小明與小麗手中有一副含30°角的直角三角尺和一根皮尺，小明首先在與樹根B、D成一條直線的點E處用三角尺測得小樹CD頂部C的仰角為30°，然后他向后移動調(diào)整，在M處用三角尺測得大樹AB頂部A的仰角也是30°，點M仍然與B、D在一條直線上，然后他倆用皮尺測得BD＝4.5米，EM＝1.5米，求兩棵樹的高度之差．

【分析】延長NF交AB于點G，交CD于點H，可得四邊形BGHD，四邊形DHFE，四邊形FNME是矩形，根據(jù)銳角三角函數(shù)表示AG＝（6+HF），CH＝HF，進而可得AB﹣CD＝（AG+BG）﹣（CH+DH）＝AG﹣CH＝（6+HF）﹣HF，可求大樹AB比小樹CD高多少米．
【解答】解：如圖，延長NF交AB于點G，交CD于點H，

根據(jù)題意可知：
四邊形BGHD，四邊形DHFE，四邊形FNME是矩形，
∴GH＝BD＝4.5米，HF＝DE，F(xiàn)N＝EM＝1.5米，
在Rt△ANG中，∠AGN＝90°，∠ANG＝30°，
∴AG＝GN?tan∠ANG
＝（GH+HF+FN）?tan30°
＝（4.5+HF+1.5）
＝（6+HF）（米），
在Rt△CFH中，∠CHF＝90°，∠CFH＝30°，
∴CH＝HF?tan∠CFH
＝HF?tan30°
＝HF，
∴AB﹣CD＝（AG+BG）﹣（CH+DH）
＝AG﹣CH
＝（6+HF）﹣HF
＝2 （米）．
答：大樹AB比小樹CD高2米．
26．閱讀材料：
《見微知著》談到：從一個簡單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特殊到一般，由簡單到復(fù)雜，從部分到整體，由低維到高維，知識與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方法．
例如：已知xy＝1，求+的值．
解：原式＝．
問題解決：
（1）已知xy＝1．
①代數(shù)式的值為 　1　．
②求證．
（2）若x滿足（2021﹣x）2+（2020﹣x）2＝4043，求（2021﹣x）（2020﹣x）．
【分析】（1）①由題意可得xy＝1，代入所求式中可求值；
②由題意可得xy＝1，則x2021y2021＝1，代入第1個加數(shù)中可求值；
（2）把2021﹣x看作a，把2020﹣x看作b，根據(jù)完全平方公式可得答案．
【解答】（1）①解：∵xy＝1，
∴+＝＝+＝+＝+＝1，
故答案為：1；
②證明：∵xy＝1，
∴x2021y2021＝1，
∴+
＝+
＝+
＝1；
（2）∵[（2021﹣x）﹣（2020﹣x）]2
＝（2021﹣x）2﹣2（2021﹣x）（2020﹣x）+（2020﹣x）2，
∵（2021﹣x）2+（2020﹣x）2＝4043，
∴4043﹣2（2021﹣x）（2020﹣x）＝1，
∴（2021﹣x）（2020﹣x）＝2021．
27．如圖1，△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，半徑為r的⊙O經(jīng)過點A且與BC相切，切點M在線段BC上（包含點M與點B、C重合的情況）．
（1）半徑r的最小值等于 　　；
（2）設(shè)BM＝x，求半徑r關(guān)于x的函數(shù)表達式；
（3）當BM＝1時，請在圖2中作點M及滿足條件的⊙O．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，并用2B鉛筆或黑色水筆加黑加粗）

【分析】（1）當AM⊥BC交BC于點M時，此時半徑r最小，設(shè)BM＝x，利用勾股定理列出方程52﹣x2＝（3）2﹣（7﹣x）2，即可解題；
（2）連接OM，過點A作AD⊥BC交BC于點D，過點O作OF⊥AD交AD于點F，在Rt△AOF中，由勾股定理得：即r2＝（4﹣x）2+（3﹣r）2，整理成一般式即可；
（3）過點M作BC的垂線MF，連接AM，作AM的垂直平分線HD，HD和MF的交點即是⊙O的位置，再以O(shè)為圓心，OM為半徑作圓即可．
【解答】解：（1）當AM⊥BC交BC于點M時，此時半徑r最小，
設(shè)BM＝x，如圖所示，

在Rt△ABM和Rt△ACM中，由勾股定理得：
∴52﹣x2＝（3）2﹣（7﹣x）2，
解得：x＝4，
∴AM＝＝3，
∴半徑r＝，
故答案為：；
（2）如圖所示，連接OM，過點A作AD⊥BC交BC于點D，過點O作OF⊥AD交AD于點F，

由（1）知，AD＝3，BM＝x，BD＝4，OA＝r，
∴OF＝MD＝4﹣x，AF＝AD﹣DF＝3﹣r，
在Rt△AOF中，由勾股定理得：
即r2＝（4﹣x）2+（3﹣r）2，
整理得：r＝，
∵點M在線段BC上，
∴0≤x≤7，
∴r＝（0≤x≤7）；
（3）如圖所示，過點M作BC的垂線MF，連接AM，
作AM的垂直平分線HD，HD和MF的交點即是⊙O的位置，
再以O(shè)為圓心，OM為半徑作圓即可．

28．如圖1，二次函數(shù)y＝（x﹣2）2的圖象記為C1，與y軸交于點A，其頂點為B，二次函數(shù)y＝（x﹣h）2﹣h+1（h＞2）的圖象記為C2，其頂點為D，圖象C1、C2相交于點P，設(shè)點P的橫坐標為m．
（1）求證：點D在直線AB上．
（2）求m和h的數(shù)量關(guān)系；
（3）平行于x軸的直線l1經(jīng)過點P與圖象C交于另一點E，與圖象C2交于另一點F，若＝2，求h的值．
（4）如圖2，過點P作平行于AB的直線l2，與圖象C2交于另一點Q，連接DQ，當DQ⊥AB時，h＝　4或20?。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果）．

【分析】（1）先求出A、B的坐標，再代入一次函數(shù)解析式，最后驗證即可；
（2）聯(lián)立一次函數(shù)的二次函數(shù)的解析式求出x與h的關(guān)系，再根據(jù)圖象交于點P即可得出結(jié)論；
（3）求出點P、E、F的橫坐標，即可得出結(jié)果；
（4）得出四邊形BPQD為矩形，再分兩種情況討論求解即可．
【解答】（1）證明：對y＝（x﹣2）2，
當x＝0時，y＝1，即A（0，1），
當y＝0時，（x﹣2）2＝0，解得x＝2，即B（2，0），
設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，則
，解得：，
∴直線AB的解析式為y＝﹣x+1，
∴當x＝h時，y＝﹣h+1，
∵y＝（x﹣h）2﹣h+1（h＞2）的頂點D的坐標為（h，﹣h+1），
∴點D在直線AB上．
（2）解：聯(lián)立，得x＝h，
∵圖象C1、C2相交于點P，點P的橫坐標為m，
∴m＝h．
（3）∵直線l1∥x軸，交拋物線y＝（x﹣2）2于點E和點P，交拋物線y＝（x﹣h）2﹣h+1（h＞2）于點F，點P的橫坐標為h，
∴點E的橫坐標為4﹣h，點F的橫坐標為h，
∴PF＝h﹣h＝h，PE＝h﹣（4﹣h）＝h﹣4，
∵＝2，
∴＝2，
解得：h＝8．
（4）由題意得，圖象C1平移得到圖象C2，
∴BD＝PQ，BD∥PQ，
∴當DQ⊥AB時，四邊形BPQD為矩形，
∴∠ABP＝90°，
作PM⊥x軸于點M，則∠BMP＝∠AOB＝90°，∠ABO+∠PBM＝90°，
∵∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠PBM＝90°，
∴△AOB∽△BMP，
∴，
∵A（0，1），B（2，0），
∴AO＝1，BO＝2，
∴，
由（2）得點P的坐標為（h，），
∴BM＝h﹣2，PM＝，
∴，
解得：h＝20或h＝4，
故答案為：4或20．



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