第2課時(shí)　集合的表示必備知識(shí)·探新知基礎(chǔ)知識(shí)知識(shí)點(diǎn)1　列舉法把集合的所有元素__一一列舉__出來，并用花括號(hào)“{　}”括起來表示集合的方法．思考1：哪些集合適合用列舉法表示？提示：(1)含有有限個(gè)元素且個(gè)數(shù)較少的集合．(2)元素較多，元素的排列又呈現(xiàn)一定的規(guī)律，在不至于發(fā)生誤解的情況下，也可列出幾個(gè)元素作代表，其他元素用省略號(hào)表示，如N可表示為{0,1,2，…，n，…}．(3)當(dāng)集合所含元素不易表述時(shí)，用列舉法表示方便．如集合{x2，x2＋y2，x3}．知識(shí)點(diǎn)2　描述法1．設(shè)A是一個(gè)集合，把集合A中所有具有__共同特征__P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}．2．具體步驟：(1)在花括號(hào)內(nèi)寫上表示這個(gè)集合的元素的一般符號(hào)及取值(或變化)范圍．(2)畫一條豎線．(3)在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征．思考2：什么類型的集合適合描述法表示？提示：描述法可以看清集合的元素特征，一般含較多元素或無數(shù)多個(gè)元素(無限集)且排列無明顯規(guī)律的集合，或者元素不能一一列舉的集合，宜用描述法．基礎(chǔ)自測(cè)1．判斷下列說法是否正確，正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”．(1)由1,1,2,3組成的集合可用列舉法表示為{1,1,2,3}．(　×　)(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.(　×　)(3)集合A＝{x|x－1＝0}與集合B＝{1}表示同一個(gè)集合．(　√　)2．不等式x－3<2且x∈N*的解集用列舉法可表示為__{1,2,3,4}__.3．方程組的解集可表示為__①②④__(填序號(hào))．①；②；③{1,2}；④{(x，y)|x＝1，y＝2}．4．說明下列各集合的含義：A＝{y|y＝}；B＝{(x，y)|＝1}；C＝{(0,1)}；D＝{x＋y＝1，x－y＝－1}．[解析]　A表示y的取值集合，由反比例函數(shù)的圖象，知A＝{y∈R|y≠0}，B的代表元素是點(diǎn)(x，y)，其表示直線y＝x－3上除去點(diǎn)(3,0)外所有點(diǎn)組成的集合．C表示一個(gè)單元素集，元素是一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(0,1)．D表示以方程“x＋y＝1”和“x－y＝－1”為元素的一個(gè)二元素集．關(guān)鍵能力·攻重難題型探究題型一　列舉法表示集合例1 用列舉法表示下列集合：(1)36與60的公約數(shù)組成的集合；(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根組成的集合；(3)一次函數(shù)y＝x－1與y＝－x＋的圖象的交點(diǎn)組成的集合．[分析]　(1)(2)可直接求出相應(yīng)元素，然后用列舉法表示；(3)聯(lián)立→求方程組的解→寫出交點(diǎn)坐標(biāo)→用集合表示．[解析]　(1)36與60的公約數(shù)有1,2,3,4,6,12，所求集合為{1,2,3,4,6,12}．(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根是4,2，所求集合為{2,4}．(3)方程組的解是，所求集合為{(，)}．[歸納提升]　1.用列舉法表示集合，要注意是數(shù)集還是點(diǎn)集．2．列舉法適合表示有限集，當(dāng)集合中元素個(gè)數(shù)較少時(shí)，用列舉法表示集合比較方便，且使人一目了然．因此，集合是有限集還是無限集，是選擇恰當(dāng)?shù)谋硎痉椒ǖ年P(guān)鍵．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】? 用列舉法表示下列集合：(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合；(2)方程x2＝x的所有實(shí)數(shù)解組成的集合；(3)直線y＝2x－3與y軸的交點(diǎn)所組成的集合．[解析]　(1)因?yàn)椴淮笥?/span>10是指小于或等于10，非負(fù)是大于或等于0的意思．所以不大于10的非負(fù)偶數(shù)集是{0,2,4,6,8,10}．(2)方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解組成的集合為{0,1}．(3)將x＝0代入y＝2x－3，得y＝－3，即交點(diǎn)是(0，－3)，故兩直線的交點(diǎn)組成的集合是{(0，－3)}．題型二　用描述法表示集合例2 用描述法表示下列集合：(1)所有不小于2，且不大于20的實(shí)數(shù)組成的集合；(2)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第二象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合；(3)使y＝有意義的實(shí)數(shù)x組成的集合；(4)200以內(nèi)的正奇數(shù)組成的集合；(5)方程x2－5x－6＝0的解組成的集合．[分析]　用描述法表示集合時(shí)，關(guān)鍵要弄清元素的屬性是什么，再給出其滿足的性質(zhì)，注意不要漏掉類似“x∈N”等條件．[解析]　(1)集合可表示為{x∈R|2≤x≤20}．(2)第二象限內(nèi)的點(diǎn)(x，y)滿足x<0，且y>0，故集合可表示為{(x，y)|x<0，y>0}．(3)要使該式有意義，需有，解得x≤2，且x≠0.故此集合可表示為{x|x≤2，且x≠0}．(4){x|x＝2k＋1，x<200，k∈N}．(5){x|x2－5x－6＝0}．[歸納提升]　用描述法表示集合應(yīng)注意的問題1．寫清楚該集合中的代表元素，即弄清代表元素是數(shù)、點(diǎn)還是其他對(duì)象．2．準(zhǔn)確說明集合中元素所滿足的特征．3．所有描述的內(nèi)容都要寫在集合符號(hào)內(nèi)，并且不能出現(xiàn)未被說明的符號(hào)．4．用于描述的語(yǔ)句力求簡(jiǎn)明、準(zhǔn)確，多層描述時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確使用“且”“或”等表示描述語(yǔ)句之間的關(guān)系．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】? 用描述法表示下列集合：(1)大于4的全體奇數(shù)組成的集合；(2)二次函數(shù)y＝3x2－1圖象上的所有點(diǎn)組成的集合；(3)所有的三角形組成的集合．[解析]　(1)奇數(shù)可表示為2k＋1，k∈Z，又因?yàn)榇笥?/span>4，故k≥2，故可用描述法表示為{x|x＝2k＋1，k∈N，且k≥2}．(2)點(diǎn)可用實(shí)數(shù)對(duì)表示，故可表示為{(x，y)|y＝3x2－1}．(3){x|x是三角形}．題型三　集合中的方程問題例3 設(shè)y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3,1}，試用列舉法表示集合B．[分析]　集合A，B都表示關(guān)于x的一元二次方程的解集，而A已知，可根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系確定a和b的值，再解集合B中的方程，從而求出B中的元素．[解析]　集合A中的方程為x2－ax＋b－x＝0，整理得x2－(a＋1)x＋b＝0.因?yàn)?/span>A＝{－3,1}，所以方程x2－(a＋1)x＋b＝0的兩根為－3,1.由根與系數(shù)的關(guān)系，得解得所以集合B中的方程為x2＋6x－3＝0，解得x＝－3±2，所以B＝{－3－2，－3＋2}．[歸納提升]　集合與方程的綜合問題的解題思路(1)弄清方程與集合的關(guān)系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的根．(2)當(dāng)方程中含有參數(shù)時(shí)，若方程是一元二次方程，則應(yīng)綜合應(yīng)用一元二次方程的相關(guān)知識(shí)求解．若知道其解集，利用根與系數(shù)的關(guān)系，可快速求出參數(shù)的值(或參數(shù)之間的關(guān)系)；若知道解集元素個(gè)數(shù)，利用判別式可求參數(shù)的取值范圍．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】? (1)已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，求a，b的值．(2)已知集合M＝{x|ax2－2x＋2＝0，a∈R}中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解析]　(1)由A＝{2,3}知，方程x2－ax＋b＝0的兩根為2,3，由根與系數(shù)的關(guān)系得因此a＝5，b＝6.(2)當(dāng)a＝0時(shí)，方程化為－2x＋2＝0，解得x＝1，此時(shí)M＝{1}，滿足條件．當(dāng)a≠0時(shí)，方程為一元二次方程，由題意得Δ＝4－8a≤0，即a≥，此時(shí)方程無實(shí)數(shù)根或有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．綜合(1)(2)可知，當(dāng)a≥或a＝0時(shí)，集合M中至多有一個(gè)元素．誤區(qū)警示忽視集合中元素的互異性例4 方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解集為__{1}(a＝1)或{1，a}(a≠1)__.[錯(cuò)解]　x2－(a＋1)x＋a＝0，即(x－a)(x－1)＝0，所以方程的實(shí)數(shù)根為x＝1或x＝a，則方程的解集為{1，a}．[錯(cuò)因分析]　錯(cuò)解中沒有注意到字母a的取值帶有不確定性，得到了錯(cuò)誤答案{1，a}．事實(shí)上，當(dāng)a＝1時(shí)，不滿足集合中元素的互異性．[正解]　x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，所以方程的解為x＝1或x＝a.若a＝1，則方程的解集為{1}；若a≠1，則方程的解集為{1，a}．故填{1}(a＝1)或{1，a}(a≠1)．[方法點(diǎn)撥]　在剛學(xué)習(xí)集合的相關(guān)概念時(shí)，對(duì)含有參數(shù)的集合問題容易出錯(cuò)，盡管知道集合中元素是互異的，也不會(huì)寫出{1,1}這種形式，但當(dāng)字母a出現(xiàn)時(shí)，就會(huì)忽略a＝1的情況，因此要重點(diǎn)注意．一定要記住：當(dāng)集合中的元素用字母表示時(shí)，求出參數(shù)后一定要代入檢驗(yàn)，確保集合中元素的互異性．學(xué)科素養(yǎng)解決集合的新定義問題的基本方法集合命題中與運(yùn)算法則相關(guān)的問題已經(jīng)成為新課標(biāo)高考的熱點(diǎn)．這類試題的特點(diǎn)：通過給出新的數(shù)學(xué)概念或新的運(yùn)算方法，在新的情況下完成某種推理證明或指定要求是集合命題的一個(gè)新方向．常見的有定義新概念、新公式、新運(yùn)算和新法則等類型．例5 當(dāng)x∈A時(shí)，若x－1?A且x＋1?A，則稱x為A的一個(gè)“孤立元素”，所有孤立元素組成的集合稱為“孤星集”，則集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”組成的“孤星集”為__{5}__.[分析]　準(zhǔn)確理解題中給出的新定義，并將其翻譯成自然語(yǔ)言是解答此類題的關(guān)鍵．[解析]　由“孤立元素”的定義知，對(duì)任意x∈A，要成為A的孤立元素，必須是集合A中既沒有x－1，也沒有x＋1，因此只需逐一考查A中的元素即可.0有1相伴，1,2則是前后的元素都有，3有2相伴，只有5是“孤立的”，從而集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”組成的“孤星集”為{5}，故填{5}．[歸納提升]　解決這類問題的基本方法：仔細(xì)審題，準(zhǔn)確把握新信息，想方設(shè)法將新定義的問題化歸為已經(jīng)解決的熟悉問題，從而使問題得到解決．也就是“以舊帶新”法．課堂檢測(cè)·固雙基1．下列集合中，不同于另外三個(gè)集合的是(　C　)A．{x|x＝2 019}　　　 B．{y|(y－2 019)2＝0}C．{x＝2 019} D．{2 019}[解析]　選項(xiàng)A、B是集合的描述法表示，選項(xiàng)D是集合的列舉法表示，且都表示集合中只有一個(gè)元素2 019，都是數(shù)集．而選項(xiàng)C它是由方程構(gòu)成的集合，集合是列舉法且只含有一個(gè)方程．2．由大于－3且小于11的偶數(shù)所組成的集合是(　D　)A．{x|－3<x<11，x∈Q}B．{x|－3<x<11}C．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈N}D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}[解析]　因?yàn)樗蟮臄?shù)為偶數(shù)，所以可設(shè)為x＝2k，k∈Z，又因?yàn)榇笥冢?/span>3且小于11，所以－3<x<11，即大于－3且小于11的偶數(shù)所組成的集合是{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}．故選D．3．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，則B中所含元素的個(gè)數(shù)為(　D　)A．3 B．6C．8 D．10[解析]　由A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，當(dāng)x＝5時(shí)，y＝4,3,2,1，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝3,2,1，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝2,1，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1，所以B＝{(5,4)，(5,3)，(5,2)，(5,1)，(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)}，所以B中所含元素的個(gè)數(shù)為10.4．已知集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，則B＝__{0,1}__.[解析]　A＝{－1,0,1}，當(dāng)x＝－1，或1時(shí)，y＝1，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，∴B＝{0,1}．5．用列舉法表示下列集合．(1)A＝{x∈Z|∈Z}；(2)B＝{y|y＝－x2＋9，x∈Z，y∈Z，y>0}；(3)C＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}．[解析]　(1)要使x，是整數(shù)，則|3－x|必是6的約數(shù)，當(dāng)x＝－3,0,1,2,4,5,6,9時(shí)，|3－x|是6的約數(shù)，∴A＝{－3,0,1,2,4,5,6,9}．(2)由y＝－x2＋9，x∈Z，y∈Z，y>0，可知0<y≤9.當(dāng)x＝0，±1，±2時(shí)，y＝9,8,5符合題意，∴B＝{5,8,9}．(3)點(diǎn)(x，y)滿足條件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，則有或或.∴C＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}． 

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

1.1 集合的概念

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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