專題04 拋物線與阿基米德三角形【突破滿分?jǐn)?shù)學(xué)之秒殺技巧與答題模板】：拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍的三角形，這個(gè)三角形又常被稱為阿基米德三角形．阿基米德三角形的得名，是因?yàn)榘⒒椎卤救俗钤缋帽平乃枷胱C明 如下結(jié)論：拋物線與阿基米德三角形定理：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積，等于拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形面積的三分之二．下面來逐一介紹阿基米德三角形的一些推論:如圖，已知是拋物線準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過作拋物線的切線、分別交拋物線于、兩點(diǎn)，為 中點(diǎn)，則：1.若過焦點(diǎn)，則的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上．2.阿基米德三角形底邊上的中線平行于坐標(biāo)軸，即． 3.過拋物線的焦點(diǎn)4.5.阿基米德三角形面積的最小值為【考點(diǎn)精選例題精析】：例1．（1）（2021·全國高二課時(shí)練習(xí)）拋物線上任意兩點(diǎn)，處的切線交于點(diǎn)，稱為“阿基米德三角形”，當(dāng)線段經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，具有以下特征：①點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；②．若經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)的一條弦為，“阿基米德三角形”為，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則直線的方程為（    ）A． B．C． D．
（2）．（2020·云南師大附中高三月考（理））過拋物線的焦點(diǎn)作拋物線的弦與拋物線交于、兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，分別過、兩點(diǎn)作拋物線的切線、相交于點(diǎn).又常被稱作阿基米德三角形.下面關(guān)于的描述：①點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；②；③設(shè)、，則的面積的最小值為；④；⑤平行于軸.其中正確的個(gè)數(shù)是（    ）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1-1】．（2020·昆明市·云南師大附中高三（理））阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家.他研究拋物線的求積法得出著名的阿基米德定理，并享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號(hào).拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形被稱為阿基米德三角形.如圖，為阿基米德三角形.拋物線上有兩個(gè)不同的點(diǎn)，以A，B為切點(diǎn)的拋物線的切線相交于P.給出如下結(jié)論，其中正確的為（    ）（1）若弦過焦點(diǎn)，則為直角三角形且；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)是；（3）的邊所在的直線方程為；（4）的邊上的中線與y軸平行（或重合）.A．（2）（3）（4） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（3）（4）【變式訓(xùn)練1-2】．（2019·福建廈門雙十中學(xué)高二期中）拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點(diǎn)，則過弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上.設(shè)拋物線，弦過焦點(diǎn)，為阿基米德三角形，則的面積的最小值為A． B． C． D． 【變式訓(xùn)練1-3】．（2021·浙江高三期末）拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常稱為阿基米德三角形，因?yàn)榘⒒椎伦钤缋帽平乃枷胱C明了：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的．已知為拋物線上兩點(diǎn)，則在A點(diǎn)處拋物線C的切線的斜率為_______；弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積為_________． 例2.(2020年模擬題精選)已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8，且。（1）求拋物線的方程；（2）若點(diǎn)是拋物線準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與拋物線相切于點(diǎn)，證明：．
【變式訓(xùn)練2-1】．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A、B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，AB所在直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M.證明：為定值.        例3．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線分別交拋物線于兩點(diǎn)．（1）若以為直徑的圓的方程為，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)分別作拋物線的切線，證明：的交點(diǎn)在定直線上．
【變式訓(xùn)練3-1】．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在軸上方，且到定點(diǎn)距離比到軸的距離大.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，分別異于原點(diǎn)，在曲線的，兩點(diǎn)處的切線分別為，，且與交于點(diǎn)，求證：在定直線上.        例4．已知點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.（1）判斷點(diǎn)是否在直線上？說明理由；（2）設(shè)點(diǎn)是△的外接圓的圓心，點(diǎn)到軸的距離為，點(diǎn)，求的最大值.
【變式訓(xùn)練4-1】．已知點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.（1）判斷點(diǎn)是否在直線上？說明理由；（2）設(shè)點(diǎn)是△的外接圓的圓心，求點(diǎn)的軌跡方程.        【變式訓(xùn)練4-2】．拋物線的焦點(diǎn)為，過且垂直于軸的直線交拋物線于兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，的面積為2.（1）求拋物線的方程.（2）為直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線，切點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，是否存在實(shí)數(shù)，使點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，垂足恒為定點(diǎn)？若不存在，說明理由；若存在，求出的值，并求定點(diǎn)的坐標(biāo).
【達(dá)標(biāo)檢測】：A卷  基礎(chǔ)鞏固1．（2021·全國高三專題練習(xí)（文））數(shù)學(xué)家阿基米德建立了這樣的理論：“任何由直線與拋物線所圍成的弓形，其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四.”如圖，直線與拋物線交于?兩點(diǎn)，?兩點(diǎn)在軸上的射影分別為?，從長方形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分的概率為（    ）A． B． C． D．2．（2021·全國高二課時(shí)練習(xí)）拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點(diǎn)，則過弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上.設(shè)拋物線，弦過焦點(diǎn)，為阿基米德三角形，則為（    ）.A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．隨位置變化前三種情況都有可能關(guān)系3．（2020·全國（理））古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用窮竭法建立了這樣的結(jié)論：“任何由直線和拋物線所包圍的弓形，其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四.”如圖，已知直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B在y軸上的射影分別為D，C.從長方形ABCD中任取一點(diǎn)，則根據(jù)阿基米德這一理論，該點(diǎn)位于陰影部分的概率為（    ）A． B． C． D．4．（2020·云南高三（理））拋物線上任意兩點(diǎn)?處的切線交于點(diǎn)，稱為“阿基米德三角形”.當(dāng)線段經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)時(shí)，具有以下特征：①點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；②為直角三角形，且；③.若經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)的一條弦為，阿基米德三角形為，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則直線的方程為（    ）A． B．C． D．5.(2014年遼寧卷)已知點(diǎn)在拋物線：的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)的直線與在第一象限相切于點(diǎn)，記的焦點(diǎn)為，則直線的斜率為   (      )A.            B.            C.            D.6. 拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點(diǎn)，則過弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上．設(shè)拋物線y2=2px（p＞0），弦AB過焦點(diǎn)，△ABQ為阿基米德三角形，則△ABQ為（　?。?/span>A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．隨Q位置變化前三種情況都有可能7. 已知P,Q為拋物線x2=2y上兩點(diǎn),點(diǎn)P,Q的橫坐標(biāo)分別為4,－2,過P,Q分別作拋物線的切線,兩切線交于點(diǎn)A,則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為________.8.已知點(diǎn) P ?? 3, 2?在拋物線 C： y 2 ? 2 px ?p ? 0?的準(zhǔn)線上，過點(diǎn) P 的直線與拋物線 C 相切于 A，B 兩點(diǎn)，則直線 AB 的斜率為（????????????? ）A．1 B．C． D． 3 9．（2021·福建高三期中）被譽(yù)為“數(shù)學(xué)之神”之稱的阿基米德最早利用逼近的思想證明了如下結(jié)論：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積，等于拋物線的弦與經(jīng)過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形面積的三分之于二，這個(gè)結(jié)論就是著名的阿基米德定理，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線：與拋物線：交于，兩點(diǎn)，則弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積為___________.10．（2021·河南高二期中（理））被譽(yù)為“數(shù)學(xué)之神”之稱的阿基米德（前287~前212），是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他最早利用逼近的思想證明了如下結(jié)論：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積，等于拋物線的弦與經(jīng)過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形面積的三分之二，這個(gè)結(jié)論就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被稱為阿基米德三角形．在平面直角坐標(biāo)系中，是焦點(diǎn)為的拋物線上的任意一點(diǎn)，且的最小值是．若直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積為________．11．已知拋物線C：x2＝2py（p＞0），直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)與原點(diǎn)不重合，點(diǎn)M（1，2）為線段AB的中點(diǎn)．（1）若直線l的斜率為1，求拋物線C的方程；（2）分別過A，B兩點(diǎn)作拋物線C的切線，若兩條切線交于點(diǎn)S，證明點(diǎn)S在一條定直線上．      12．已知拋物線的焦點(diǎn)為，，是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，過，兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為.（1）若直線與，軸分別交于點(diǎn)，，且的面積為，求的值；（2）記的面積為，求的最小值，并指出最小時(shí)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).
B卷 能力提升13．（多選題）阿基米德是偉大的物理學(xué)家，更是偉大的數(shù)學(xué)家，他曾經(jīng)對高中教材中的拋物線做過系統(tǒng)而深入的研究，定義了拋物線阿基米德三角形：拋物線的弦與弦的端點(diǎn)處的兩條切線圍成的三角形稱為拋物線阿基米德三角形.設(shè)拋物線：上兩個(gè)不同點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，，以為切點(diǎn)的切線交于點(diǎn).則關(guān)于阿基米德三角形的說法正確的有（    ）A．若過拋物線的焦點(diǎn)，則點(diǎn)一定在拋物線的準(zhǔn)線上B．若阿基米德三角形為正三角形，則其面積為C．若阿基米德三角形為直角三角形，則其面積有最小值D．一般情況下，阿基米德三角形的面積14．（2021·蘇州市第三中學(xué)校）（多選題）阿基米德（公元前287年—公元前212年是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他研究拋物線的求積法，得出一個(gè)著名的阿基米德定理，并享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號(hào).拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩切線所圍成的三角形被稱為“阿基米德三角形”，如圖所示，在拋物線上有兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，坐標(biāo)分別為，，以A，B為切點(diǎn)的切線PA，PB相交于點(diǎn)P，給出以下結(jié)論，其中正確的為（    ）A．點(diǎn)P的坐標(biāo)是B．的邊AB所在的直線方程為：C．的面積為D．的邊AB上的中線平行（或重合）于y軸15．（2018·上海交大附中高二月考）過拋物線的一條弦的中點(diǎn)作平行于拋物線對稱軸的平行線（或與對稱軸重合），交拋物線于一點(diǎn)，稱以該點(diǎn)及弦的端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為這條弦的阿基米德三角形（簡稱阿氏三角形）.現(xiàn)有拋物線:，直線：（其中，，是常數(shù)，且），直線交拋物線于，兩點(diǎn)，設(shè)弦的阿氏三角形是.（1）指出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）求的面積（用，，表示）；（3）稱的阿氏為一階的；、的阿氏、為二階的；、、、的阿氏三角形為三階的；……，由此進(jìn)行下去，記所有的階阿氏三角形的面積之和為，探索與之間的關(guān)系，并求.
16．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn)．（Ⅰ）若在線段上，是的中點(diǎn)，證明；（Ⅱ）若的面積是的面積的兩倍，求中點(diǎn)的軌跡方程.        17．如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，拋物線上的點(diǎn)A到y軸的距離等于|AF|–1.（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）若直線AF交拋物線于另一點(diǎn)B，過B與x軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點(diǎn)N，AN與x軸交于點(diǎn)M.求M的橫坐標(biāo)的取值范圍.
18．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).（1）求△APB的重心G的軌跡方程.（2）證明∠PFA=∠PFB．        
19．如下圖，設(shè)拋物線方程為，M為直線上任意一點(diǎn)，過引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為，．（Ⅰ）設(shè)線段的中點(diǎn)為；（ⅰ）求證：平行于軸；（ⅱ）已知當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，，求此時(shí)拋物線的方程；（Ⅱ）是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在拋物線上，其中，點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．      
 

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