專題06 圓錐曲線的第三定義與斜率乘積是定值模型（教師版）-【高考總復(fù)習】2022高考數(shù)學滿分突破之解析幾何篇-試卷下載-教習網(wǎng)

專題06 圓錐曲線的第三定義與斜率乘積是定值模型【突破滿分數(shù)學之秒殺技巧與答題模板】：圓錐曲線的第三定義：平面內(nèi)的動點到兩定點的斜率乘積等于常數(shù)點的軌跡叫做橢圓或雙曲線,其中兩個定點為橢圓和雙曲線的兩個頂點.其中如果常數(shù)時，軌跡為雙曲線，如果時，軌跡為橢圓。圓錐曲線的第三定義的有關(guān)結(jié)論：1.橢圓方程中有關(guān)的經(jīng)典結(jié)論(1).AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則.(2).橢圓的方程為（a＞b＞0），為橢圓的長軸頂點，P點是橢圓上異于長軸頂點的任一點，則有(3). 橢圓的方程為（a＞b＞0），為橢圓的短軸頂點，P點是橢圓上異于短軸頂點的任一點，則有(4). 橢圓的方程為（a＞b＞0），過原點的直線交橢圓于兩點，P點是橢圓上異于兩點的任一點，則有2.雙曲線方程中有關(guān)的經(jīng)典結(jié)論(1)AB是雙曲線的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。(2)雙曲線的方程為（a＞0，b＞0），為雙曲線的實軸頂點，P點是雙曲線上異于實軸頂點的任一點，則有(3)雙曲線的方程為（a＞0，b＞0），為雙曲線的虛軸端點，P點是雙曲線上異于虛軸端點的任一點，則有(4) 雙曲線的方程為（a＞0，b＞0），過原點的直線交雙曲線于兩點，P點是雙曲線上異于兩點的任一點，則有【考點精選例題精析】：例1．（2021·全國）已知橢圓，，分別為橢圓的左?右頂點，若在橢圓上存在一點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（    ）A． B． C． D．  例2．（2021·全國高二課時練習）已知，，是雙曲線上不同的三點，且點A，連線經(jīng)過坐標原點，若直線，的斜率乘積為，則該雙曲線的離心率為（    ）A． B． C． D．
例3．（2021·吉林高三期末（文））已知雙曲線：與直線交于，兩點，點為上一動點，記直線，的斜率分別為，，的左?右焦點分別為，.若，且的焦點到漸近線的距離為1，則（    ）A．B．的離心率為C．若，則的面積為2D．若的面積為，則為鈍角三角形例4．（2021·全國高三（理））已知橢圓的離心率為，兩焦點與短軸兩頂點圍成的四邊形的面積為．（1）求橢圓的標準方程；（2）我們稱圓心在橢圓上運動，半徑為的圓是橢圓的“衛(wèi)星圓”，過原點作橢圓的“衛(wèi)星圓”的兩條切線，分別交橢圓于，兩點，若直線，的斜率存在，記為，．①求證：為定值；②試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
例5．（2019全國卷2理科數(shù)學第21題）已知點A(?2,0)，B(2,0)，動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點G.（i）證明：是直角三角形；（ii）求面積的最大值.       例6.（成都市2019-2020學年高二上學期期末調(diào)研考試）已知橢圓的左,右焦點分別為，，，經(jīng)過點的直線（不與軸重合）與橢圓相交于，兩點，△的周長為8.（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過橢圓上的一點作斜率為，（，）的兩條直線分別與橢圓相交于異于點的，兩點.若，關(guān)于坐標原點對稱，求的值
【達標檢測】：1．（2021·全國高三月考（理））設(shè)直線與雙曲線交于，兩點，若是線段的中點，直線與直線（是坐標原點）的斜率的乘積等于，則雙曲線的離心率為（    ）A． B． C． D．2．（2021·內(nèi)蒙古烏蘭浩特一中高二期末（理））若雙曲線的一條漸近線與函數(shù)的圖象相切，則該雙曲線的離心率為（    ）A． B． C． D．3．（2022·全國高三專題練習）已知橢圓C：的長軸長為4，若點P是橢圓C上任意一點，過原點的直線l與橢圓相交于M、N兩點，記直線PM、PN的斜率分別為，當時，則橢圓方程為（　　）A． B．C． D．4．（2021·河南高二期中（理））已知平行四邊形內(nèi)接于橢圓：（），且，斜率之積的取值范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍為（    ）A． B． C． D．5．（2021·荊州市沙市第五中學高二期中）過原點的直線與橢圓：交于，兩點，是橢圓上異于，的任一點.若直線，的斜率之積為，則橢圓的方程可能為（    ）A． B．C． D．6.（百校聯(lián)盟2018屆TOP202018屆高三三月聯(lián)考）已知平行四邊形內(nèi)接于橢圓，且，斜率之積的范圍為，則橢圓離心率的取值范圍是（    ）A.     B.     C.     D. 7.（四川省成都市2019屆高三第一次診斷性考試，理科，12）設(shè)橢圓的左右頂點為A,B.P是橢圓上不同于A,B的一點，設(shè)直線AP,BP的斜率分別為m,n，則當取得最小值時，橢圓C的離心率為（     ）A.      B.      C.       D.8．（2022·全國高三專題練習）過點M(－2，0)的直線m與橢圓＋y2＝1交于P1，P2兩點，線段P1P2的中點為P，設(shè)直線m的斜率為k1(k1≠0)，直線OP的斜率為k2，則k1k2的值為__________．9．（2022·全國高三專題練習）已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1(－c，0)，F2(c，0)，斜率為的直線l與橢圓C交于A，B兩點．若△ABF1的重心為G，則橢圓C的離心率為________．10．(四川省蓉城名校高中2018屆高三4月份聯(lián)考)已知橢圓：的長軸長為，，是其長軸頂點，是橢圓上異于，的動點，且.（1）求橢圓的標準方程；（2）如圖，若動點在直線上，直線，分別交橢圓于，兩點.請問：直線是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.
11.(湖南省五市十校教研教改共同體2017屆高三12月聯(lián)考）如圖,設(shè)點的坐標分別為,直線相交于點,且它們的斜率之積為．（1）求點的軌跡方程；（2）設(shè)點的軌跡為,點是軌跡為上不同于的兩點,且滿足,求證：的面積為定值．
12．（2020·江蘇揚州聯(lián)考）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓的離心率為，右準線的方程為分別為橢圓C的左、右焦點，A，B分別為橢圓C的左、右頂點．（1）求橢圓C的標準方程；（2）過作斜率為的直線l交橢圓C于M，N兩點（點M在點N的左側(cè)），且，設(shè)直線AM，BN的斜率分別為，求的值．
13．（2020·江蘇省淮陰中學高三月考）已知橢圓：的離心率為，點在橢圓上，為坐標原點．（1）求橢圓的標準方程；（2）已知?為橢圓上不同的兩點．①設(shè)線段的中點為點，證明：直線?的斜率之積為定值；②若?兩點滿足，當的面積最大時，求的值．
14．（2021·綏德中學高二月考（理））設(shè)橢圓的離心率，過點A（1，）.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓的左頂點，過點作與軸不重合的直線交橢圓于兩點，直線分別交直線于兩點，若直線的斜率分別為試問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.