[學習目標] 1.掌握動力學臨界問題的分析方法.2.會分析幾種典型臨界問題的臨界條件．
1．臨界問題：某種物理現(xiàn)象(或物理狀態(tài))剛好要發(fā)生或剛好不發(fā)生的轉折狀態(tài)．
2．關鍵詞語：在動力學問題中出現(xiàn)的“最大”“最小”“剛好”“恰好”等詞語，一般都暗示了臨界狀態(tài)的出現(xiàn)，隱含了相應的臨界條件．
3．臨界問題的常見類型及臨界條件
(1)接觸與脫離的臨界條件：兩物體間的彈力恰好為零．
(2)相對靜止或相對滑動的臨界條件：靜摩擦力達到最大靜摩擦力．
(3)繩子斷裂與松弛的臨界條件：繩子所能承受的張力是有限的，繩子斷裂的臨界條件是實際張力等于它所能承受的最大張力，繩子松弛的臨界條件是張力為零．
(4)加速度最大、最小與速度最大、最小的臨界條件：當所受合力最大時，具有最大加速度；當所受合力最小時，具有最小加速度．當出現(xiàn)加速度為零時，物體處于臨界狀態(tài)，對應的速度達到最大值或最小值．
4．解答臨界問題的三種方法
(1)極限法：把問題推向極端，分析在極端情況下可能出現(xiàn)的狀態(tài)，從而找出臨界條件．
(2)假設法：有些物理過程沒有出現(xiàn)明顯的臨界線索，一般用假設法，即假設出現(xiàn)某種臨界狀態(tài)，分析物體的受力情況與題設是否相同，然后再根據(jù)實際情況處理．
(3)數(shù)學法：將物理方程轉化為數(shù)學表達式，如二次函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等，然后根據(jù)數(shù)學中求極值的方法，求出臨界條件．
一、接觸與脫離的臨界問題
如圖1所示，質量m＝1 kg的光滑小球用細線系在質量為M＝8 kg、傾角為α＝30°的斜面體上，細線與斜面平行，斜面體與水平面間的摩擦不計，g取10 m/s2.求：
圖1
(1)若用水平向右的力F拉斜面體，要使小球不離開斜面，拉力F的最大值；
(2)若用水平向左的力F′推斜面體，要使小球不沿斜面滑動，推力F′的最大值．
答案 (1)90eq \r(3) N (2)30eq \r(3) N
解析 (1)小球不離開斜面體，兩者加速度相同、臨界條件為斜面體對小球的支持力恰好為0，對小球受力分析如圖甲
由牛頓第二定律得eq \f(mg,tan 30°)＝ma，解得a＝eq \f(g,tan 30°)＝10eq \r(3) m/s2
對整體由牛頓第二定律得F＝(M＋m)a＝90eq \r(3) N
(2)小球不沿斜面滑動，兩者加速度相同，臨界條件是細線對小球的拉力恰好為0，對小球受力分析如圖乙，由牛頓第二定律得mgtan 30°＝ma′，
解得a′＝eq \f(10\r(3),3) m/s2
對整體由牛頓第二定律得
F′＝(M＋m)a′＝30eq \r(3) N.
二、繩子斷裂或松弛的臨界問題
如圖2所示，兩細繩與水平車頂夾角分別為60°和30°，物體質量為m，當小車以大小為2g的加速度向右做勻加速直線運動時，求繩1和繩2的拉力大?。?g為重力加速度)
圖2
答案 eq \r(5)mg 0
解析 繩1和繩2的拉力與小車的加速度大小有關．當小車的加速度大到一定值時物體會“飄”起來，導致繩2松弛，沒有拉力，假設繩2的拉力恰為0，即T2為0，則有T1cs 30°＝ma′，T1sin 30°＝mg，解得a′＝eq \r(3)g，因為小車的加速度大于eq \r(3)g，所以物體已“飄”起來，繩2的拉力T2′＝0，繩1的拉力T1′＝eq \r(?ma?2＋?mg?2)＝eq \r(5)mg.
三、相對靜止(或滑動)的臨界問題
(多選)如圖3所示，已知物塊A、B的質量分別為m1＝4 kg、m2＝1 kg，A、B間的動摩擦因數(shù)為μ1＝0.5，A與水平地面之間的動摩擦因數(shù)為μ2＝0.5，設最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，g取10 m/s2，在水平力F的推動下，要使A、B一起運動且B不下滑，則力F的大小可能是( )
圖3
A．50 N B．100 N C．125 N D．150 N
答案 CD
解析 若B不下滑，對B有μ1N≥m2g，由牛頓第二定律得N＝m2a；對整體有F－μ2(m1＋m2)g＝(m1＋m2)a，得F≥(m1＋m2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,μ1)＋μ2))g＝125 N，選項C、D正確．
(2021·南京市高一上期末)如圖4所示，質量為M的木板放在水平桌面上，木板上表面有一質量為m的物塊，物塊與木板、木板與桌面間的動摩擦因數(shù)均為μ，重力加速度為g，設最大靜摩擦力大小等于滑動摩擦力，若要以水平外力F將木板抽出，則力的大小應大于( )
圖4
A．μmg B．μ(M＋m)g
C．2μ(M＋m)g D．μ(2M＋m)g
答案 C
解析 對物塊與木板分別進行受力分析如圖所示，對物塊有：
μmg＝ma1
得a1＝μg
對木板有：F－μmg－μ(M＋m)g＝Ma2
得a2＝eq \f(F－2μmg,M)－μg
要將木板從物塊下抽出，必須使a2>a1
解得：F>2μ(M＋m)g，故A、B、D錯誤，C正確．
分析兩物體疊加問題的基本思路
1．(臨界問題)如圖5所示，細線的一端固定在傾角為45°的光滑楔形滑塊A的頂端P處，細線的另一端拴一質量為m的小球(重力加速度為g)．
圖5
(1)當滑塊以多大的加速度向右運動時，線對小球的拉力剛好等于零？
(2)當滑塊以多大的加速度向左運動時，小球對滑塊的壓力恰好等于零？
(3)當滑塊以2g的加速度向左運動時，線上的拉力為多大？(不計空氣阻力)
答案 (1)g (2)g (3)eq \r(5)mg
解析 (1)當T＝0時，小球受重力mg和斜面支持力N作用，如圖甲所示．由牛頓第二定律得
Ncs 45°＝mg，Nsin 45°＝ma1，解得a1＝g.故當向右運動的加速度至少為g時線上的拉力為0.
(2)假設小球恰好對A沒有壓力，此時小球受重力和拉力，如圖乙所示，
F合＝eq \f(mg,tan 45°)，
由牛頓第二定律F合＝ma2，
則a2＝eq \f(g,tan 45°)＝g.
(3)當滑塊加速度大于g時，小球將“飄”離斜面而只受線的拉力和球的重力的作用，如圖丙所示，此時對小球由牛頓第二定律得T′cs α＝ma′，T′sin α＝mg，解得T′＝meq \r(a′2＋g2)＝eq \r(5)mg.
2.(臨界問題)(2020·河北冀州中學高一測試)如圖6所示，小車在水平路面上加速向右運動，小球質量為m，用一條水平繩OA和一條斜繩OB(與豎直方向成θ＝30°角)把小球系于車上，求：
圖6
(1)若加速度a1＝eq \f(g,3)，那么此時OB、OA兩繩的拉力大小分別為多少？
(2)若加速度a2＝eq \f(2g,3)，那么此時OB、OA兩繩的拉力大小分別為多少？
答案 (1)eq \f(2\r(3),3)mg eq \f(\r(3)－1,3)mg (2)eq \f(\r(13),3)mg 0
解析 設OB、OA繩的張力分別為T1、T2，對小球受力分析如圖所示，
當小球向右加速至T2剛好為0時，設此時加速度為a0，則ma0＝mgtan θ，a0＝gtan θ＝eq \f(\r(3),3)g.
(1)當a1＝eq \f(g,3)a0時，T2′＝0，有T1′sin α＝ma2
T1′cs α＝mg
tan α＝eq \f(a2,g)
解得T1′＝eq \f(\r(13),3)mg.
1.如圖1所示，在光滑的水平面上疊放著兩木塊A、B，質量分別是m1和m2，A、B間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，若最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，要把B從A下面拉出來，則拉力的大小必須滿足( )
圖1
A．F>μ(m1＋m2)g B．F>μ(m1－m2)g
C．F>μm1g D．F>μm2g
答案 A
解析 以木塊A為研究對象，則剛要發(fā)生相對滑動時，μm1g＝m1a
以A、B整體為研究對象，則剛要發(fā)生相對滑動時，F(xiàn)0＝(m1＋m2)a
解得F0＝μ(m1＋m2)g
則拉力F必須滿足F>μ(m1＋m2)g，故選A.
2.(多選)一個質量為0.2 kg的小球用細線吊在傾角θ＝53°的斜面頂端，如圖2，斜面靜止時，球緊靠在斜面上，細線與斜面平行，不計摩擦及空氣阻力，當斜面以10 m/s2的加速度向右做加速運動時，則(sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6，取g＝10 m/s2)( )
圖2
A．細線的拉力為1.60 N
B．細線的拉力為2eq \r(2) N
C．斜面對小球的彈力為1.20 N
D．斜面對小球的彈力為0
答案 BD
解析 當小球對斜面的壓力恰為零時，設斜面的加速度為a0，根據(jù)牛頓第二定律可知mgtan 37°＝ma0，解得a0＝7.5 m/s2，由于a0＝7.5 m/s2

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