?2019-2020學(xué)年吉林省長春市東北師大附中高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.選對(duì)得4分，不選得0分）
1．（4分）已知集合A＝{﹣1，1}，B＝{0，t}，且A∪B＝{﹣1，1，0，2}，則實(shí)數(shù)t等于（　?。?br /> A．2 B．﹣1 C．0 D．1
2．（4分）命題p：?x＞0，x2+1≤1，則￢p是（　?。?br /> A．?x≤0，x2+1＞1 B．?x≤0，x2+1≥1
C．?x＞0，x2+1＞1 D．?x＞0，x2+1≤1
3．（4分）已知角α的終邊在第四象限，并且與單位圓交于點(diǎn)P（a，﹣2a），則sinα等于（　?。?br /> A． B． C． D．
4．（4分）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（　　）
A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c
5．（4分）設(shè)sinα＝，α∈（，π），則tanα的值為（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
6．（4分）函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（　?。?br /> A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
7．（4分）長度為2πcm的弧所對(duì)的圓心角為rad，則這條弧所在的扇形面積是（　?。?br /> A．πcm2 B．2πcm2 C．4πcm2 D．8πcm2
8．（4分）已知函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且恒有f（x+3）+f（x）＝0，當(dāng)時(shí)，f（x）＝﹣x2﹣x，則f（2021）等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．6 D．0
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得4分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)或不選得0分）
9．（4分）已知a，b，c∈R，那么下列命題中正確的是（　?。?br /> A．若ac3＞bc3，則a＞b
B．若，則a＞b
C．若a3＞b3且ab＞0，則
D．若a2＞b2且ab＞0，則
10．（4分）下列函數(shù)中，以π為周期，并且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減的是（　　）
A．y＝|sinx| B．y＝|cosx| C．y＝cos|x| D．y＝|tanx|
11．（4分）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（　?。?br /> A．函數(shù)f（x）是最小正周期為π的奇函數(shù)
B．當(dāng)時(shí)，f（x）有最大值﹣2
C．當(dāng)時(shí)，
D．方程[f（x）]2﹣f（x）＝6在上有3個(gè)實(shí)數(shù)根
12．（4分）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，+∞），當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，，當(dāng)x＞2，f（x）＝mf（x﹣2）（m為非零常數(shù)）．則下列說法正確的是（　　）
A．當(dāng)m＝2時(shí)，f（5.5）＝2
B．當(dāng)m＞1時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞）
C．當(dāng)時(shí)，y＝f（x）的圖象與曲線y＝log4x的圖象有3個(gè)交點(diǎn)
D．當(dāng)0＜m＜1，n∈N+時(shí)，y＝f（x）的圖象與直線y＝2mn﹣1在[0，2n]內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2n﹣1
三、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分.在每個(gè)小題給出的橫線上寫出答案.全部寫對(duì)得4分，有寫錯(cuò)或少寫或不寫0分）
13．（4分）不等式﹣1＜log2x＜2的解集是 　 ?。?br /> 14．（4分）函數(shù)的最大值是 　 　．
15．（4分）已知函數(shù)，則＝　 ??；若f[f（a）]＝3，則a＝　 ?。?br /> 16．（4分）函數(shù)與y＝1+sinπx的圖象在[﹣4，2]上的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于 　 ?。?br /> 四、解答題（本大題共6個(gè)小題，共56分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（8分）計(jì)算下列各式的值：
（1）；
（2）lg25+lg4﹣log25×log32×log59．
18．（8分）已知函數(shù)．
（1）求的值；
（2）若tanα＝2，求f（α）的值．
19．（10分）已知函數(shù)f（x）具有如下四個(gè)性質(zhì)中的某兩個(gè)性質(zhì)：
①?x，y∈R，f（xy）＝f（x）f（y）；
②?x，y∈R，f（xy）＝f（x）+f（y）；
③?x，y∈R，f（x+y）＝f（x）f（y）；
④?x1，x2∈R（x1≠x2），；
現(xiàn)有四個(gè)備選函數(shù)；y2＝log2x；；．
（1）請(qǐng)從備選函數(shù)中找出符合要求的函數(shù)f（x），并指出其具有的性質(zhì)的序號(hào)，無需說明理由；
（2）對(duì)于（1）中的函數(shù)f（x），若函數(shù)h（x）＝f（2x）﹣af（x+1）﹣1，x∈[0，1]的最大值為﹣1，
求實(shí)數(shù)a的值．
20．（10分）已知，，并且，．
（1）求cos2α的值；
（2）求sin（α+β）的值．
21．（10分）已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）的取值范圍；
（3）若m＞0，當(dāng)時(shí)，直線的圖象與y＝f（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
22．（10分）已知函數(shù)f（x）＝x2+ax（a∈R）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣1，+∞），函數(shù)g（x）＝lnx．
（1）求實(shí)數(shù)a的值，并寫出函數(shù)y＝g[f（x）]的單調(diào)遞增區(qū)間（不用寫出求解過程）；
（2）證明：方程在內(nèi)有且僅有一個(gè)根x0；
（3）在條件（2）下，證明：．
（參考數(shù)據(jù)：e≈2.71828，，ln2≈0.693．）

2019-2020學(xué)年吉林省長春市東北師大附中高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.選對(duì)得4分，不選得0分）
1．（4分）已知集合A＝{﹣1，1}，B＝{0，t}，且A∪B＝{﹣1，1，0，2}，則實(shí)數(shù)t等于（　?。?br /> A．2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】由已知結(jié)合并集運(yùn)算得答案．
【解答】解：∵A＝{﹣1，1}，B＝{0，t}，
∴A∪B＝{﹣1，1}∪{0，t}＝{﹣1，1，0，t}，
又A∪B＝{﹣1，1，0，2}，∴t＝2．
故選：A．
2．（4分）命題p：?x＞0，x2+1≤1，則￢p是（　?。?br /> A．?x≤0，x2+1＞1 B．?x≤0，x2+1≥1
C．?x＞0，x2+1＞1 D．?x＞0，x2+1≤1
【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：命題是全稱命題，則否定是特稱命題，
即?x≤0，x2+1＞1，
故選：A．
3．（4分）已知角α的終邊在第四象限，并且與單位圓交于點(diǎn)P（a，﹣2a），則sinα等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，計(jì)算求得結(jié)果．
【解答】解：角α的終邊在第四象限，并且與單位圓交于點(diǎn)P（a，﹣2a），
∴a＞0，∵a2+（﹣2a）2＝1，求得a＝，
則sinα＝＝﹣，
故選：D．
4．（4分）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（　?。?br /> A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【分析】可得出，，然后即可得出a，b，c的大小關(guān)系．
【解答】解：∵，，
∴c＜b＜a．
故選：B．
5．（4分）設(shè)sinα＝，α∈（，π），則tanα的值為（　?。?br /> A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】根據(jù)角的范圍，求出cosα，再求tanα．
【解答】解：sinα＝，
∴cosα＝﹣，
tanα＝＝﹣．
故選：B．
6．（4分）函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（　?。?br /> A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【分析】由函數(shù)解析式可得f（x）在（﹣∞，+∞）上的增函數(shù)，再由f（1）＜0，f（2）＞0得結(jié)論．
【解答】解：函數(shù)為（﹣∞，+∞）上的增函數(shù)，
又f（1）＝ln+1＝﹣2ln2+1＜0，f（2）＝ln+1＝﹣ln2+1＞0
∴函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（1，2）．
故選：B．
7．（4分）長度為2πcm的弧所對(duì)的圓心角為rad，則這條弧所在的扇形面積是（　?。?br /> A．πcm2 B．2πcm2 C．4πcm2 D．8πcm2
【分析】先求出圓半徑r＝＝4（cm），由此能求出這條弧所在的扇形面積．
【解答】解：長度為2πcm的弧所對(duì)的圓心角為rad，
∴圓半徑r＝＝4（cm），
∴這條弧所在的扇形面積為S＝lr＝2π×4＝4π（cm2）．
故選：C．
8．（4分）已知函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且恒有f（x+3）+f（x）＝0，當(dāng)時(shí)，f（x）＝﹣x2﹣x，則f（2021）等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．6 D．0
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和對(duì)稱性求出函數(shù)是周期為6的周期函數(shù)，利用函數(shù)的周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】解：f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f（x+3）+f（x）＝0，
∴f（x+3）＝﹣f（x），即f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），
即f（x）是周期為6的周期函數(shù)，
則f（2021）＝f（337×6﹣1）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（﹣1﹣1）＝2，
故選：A．
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得4分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)或不選得0分）
9．（4分）已知a，b，c∈R，那么下列命題中正確的是（　　）
A．若ac3＞bc3，則a＞b
B．若，則a＞b
C．若a3＞b3且ab＞0，則
D．若a2＞b2且ab＞0，則
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解．
【解答】解：對(duì)于A，若ac3＞bc3，當(dāng)c＜0時(shí)，a＜b，故A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，若，則c2＞0，則a＞b，故B正確，
對(duì)于C，函數(shù)y＝x3 在R上單調(diào)遞增，
∵a3＞b3，
∴a＞b，
又∵ab＞0，
∴a＞b兩邊同時(shí)除以ab可得，，故C正確，
當(dāng)a＝﹣2，b＝﹣1時(shí)，a2＞b2且ab＞0，此時(shí)，故D錯(cuò)誤．
故選：BC．
10．（4分）下列函數(shù)中，以π為周期，并且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減的是（　　）
A．y＝|sinx| B．y＝|cosx| C．y＝cos|x| D．y＝|tanx|
【分析】由題意利用三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性，得出結(jié)論．
【解答】解：由于y＝|sinx|以π為周期，并且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，故A滿足條件；
由于y＝|cosx|以π為周期，并且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故B不滿足條件；
由于y＝cos|x|以2π為周期，并且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，故排除C；
由于y＝|tanx|以π為周期，并且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，故D滿足條件，
故選：AD．
11．（4分）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（　?。?br /> A．函數(shù)f（x）是最小正周期為π的奇函數(shù)
B．當(dāng)時(shí)，f（x）有最大值﹣2
C．當(dāng)時(shí)，
D．方程[f（x）]2﹣f（x）＝6在上有3個(gè)實(shí)數(shù)根
【分析】A選項(xiàng)，利用tanx的性質(zhì)得到，f（x+π）＝f（x）和f（﹣x）＝﹣f（x），從而得到A正確；
對(duì)于BCD，設(shè)t＝tanx，得到f（x）＝g（t）＝t+，利用均值不等式和對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)，得到BD正確，C不正確．
【解答】解：對(duì)于A，f（x+π）＝tan（x+π）+＝tanx+＝f（x），
f（﹣x）＝tan（﹣x）+＝﹣tanx﹣＝﹣f（x），故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，設(shè)t＝tanx，則t∈（﹣∞，0），
則f（x）＝g（t）＝t+＝﹣≤﹣2＝﹣2，
當(dāng)且僅當(dāng)t＝﹣1時(shí)取等號(hào)，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，設(shè)t＝tanx，則t∈，
f（x）＝g（t）＝t+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)t＝1時(shí)取等號(hào)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)x∈時(shí)，設(shè)t＝tanx，則t∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），
f（x）＝g（t）＝t+∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），
由[f（x）]2﹣f（x）＝6，可得f（x）＝g（t）＝﹣2或3，
當(dāng)g（t）＝﹣2時(shí)，有1根，
當(dāng)g（t）＝3時(shí)，有2根，
所以原方程共3根，故D正確，
故選：ABD．
12．（4分）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，+∞），當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，，當(dāng)x＞2，f（x）＝mf（x﹣2）（m為非零常數(shù)）．則下列說法正確的是（　?。?br /> A．當(dāng)m＝2時(shí)，f（5.5）＝2
B．當(dāng)m＞1時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞）
C．當(dāng)時(shí)，y＝f（x）的圖象與曲線y＝log4x的圖象有3個(gè)交點(diǎn)
D．當(dāng)0＜m＜1，n∈N+時(shí)，y＝f（x）的圖象與直線y＝2mn﹣1在[0，2n]內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2n﹣1
【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，對(duì)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化f（x+2）＝2f（x）更方便求解，直接代入遞推就可以求解，選項(xiàng)BCD需要畫出圖像，借助于數(shù)形結(jié)合判斷即可．
【解答】解：已知f（x）＝mf（x﹣2）（m為非零常數(shù)）可轉(zhuǎn)化f（x+2）＝2f（x），則f（5.5）＝f（3.5+2）＝2f（3.5）＝2f（1.5+2）＝4f（1.5）＝4×1＝4．
故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)m＞1時(shí)，f（x+2）＝mf（x），由已知當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇0，2]，當(dāng)x∈（2，4]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇0，2m]，當(dāng)x∈（4，6]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇0，2m2]，隨著x的依次取值，值域?qū)⒆優(yōu)閇0，+∞），
故B項(xiàng)正確；
當(dāng)時(shí)，y＝f（x）的圖象與曲線y＝log4x的圖象如圖所示，
故C項(xiàng)正確；
由于0＜m＜1，不妨取m＝，則y＝f（x）的圖象與曲線y＝2mn﹣1在[0，2n]內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題可以由圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)來判斷，由于n∈N+，則曲線y＝2（）n﹣1 的圖像為孤立的點(diǎn)，畫出圖像判斷，

故D項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：BC．
三、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分.在每個(gè)小題給出的橫線上寫出答案.全部寫對(duì)得4分，有寫錯(cuò)或少寫或不寫0分）
13．（4分）不等式﹣1＜log2x＜2的解集是 　（，4）　．
【分析】由題意利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，解對(duì)數(shù)不等式，求出它的解集．
【解答】解：由不等式﹣1＜log2x＜2，可得2﹣1＜x＜22，即＜x＜4，
故答案為：（，4）．
14．（4分）函數(shù)的最大值是 　4　．
【分析】由數(shù)，可得f（x）＝4sin（x﹣），然后利用整體法，求出f（x）的最大值．
【解答】解：因?yàn)椋?sin（x﹣），
所以x﹣，即x＝2k（k∈Z）時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為4．
故答案為：4．
15．（4分）已知函數(shù)，則＝　﹣1??；若f[f（a）]＝3，則a＝　　．
【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式求出的值，可得第一空答案，對(duì)于第二空：按a的值分情況討論，求出符合f[f（a）]＝3的值，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)，
則＝﹣2sin＝﹣1，
若f[f（a）]＝3，
當(dāng)a∈（﹣∞，0）時(shí)，f（a）＝a2＞0，此時(shí)f[f（a）]＝﹣2sina2＝3，無解，
當(dāng)a＝0時(shí)，不成立，
當(dāng)a∈（0，）時(shí)，f（a）＝﹣2sina＜0，此時(shí)f[f（a）]＝（﹣2sina）2＝3，
解可得：a＝；
故答案為：﹣1，．
16．（4分）函數(shù)與y＝1+sinπx的圖象在[﹣4，2]上的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于 　﹣4?。?br /> 【分析】直接利用函數(shù)的性質(zhì)，奇偶性的應(yīng)用和換元法的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：要求函數(shù)與y＝1+sinπx的圖象在[﹣4，2]上的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，也就是求當(dāng)x在[﹣4，2]時(shí)，
使得成立時(shí)，所有的x的值的和；
由于，整理得：，
令t＝x+1（t∈[﹣3，3]），
由于y＝和y＝sinπt都是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的奇函數(shù)，
使得成立的所有t值之和為0，
由于于y＝和y＝sinπt在t∈[﹣3，3]上有4個(gè)交點(diǎn)，
分別為t1，t2，t3，t4，
所以（t1+1）+（t2+1）+（t3+1）+（t4+1）＝0，
故t1+t2+t3+t4＝﹣4．
故答案為：﹣4．
四、解答題（本大題共6個(gè)小題，共56分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（8分）計(jì)算下列各式的值：
（1）；
（2）lg25+lg4﹣log25×log32×log59．
【分析】根據(jù)題意，由指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，計(jì)算可得答案．
【解答】解：（1）原式＝（﹣4）+×3+5＝；
（2）原式＝lg（25×4）+××＝2+2＝4．
18．（8分）已知函數(shù)．
（1）求的值；
（2）若tanα＝2，求f（α）的值．
【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡f（x）．
（1）直接取x＝即可求值；
（2）利用萬能公式化sin2α為含有tanα的表達(dá)式，則答案可求．
【解答】解：
＝＝．
（1）＝；
（2）∵tanα＝2，∴f（α）＝＝＝．
19．（10分）已知函數(shù)f（x）具有如下四個(gè)性質(zhì)中的某兩個(gè)性質(zhì)：
①?x，y∈R，f（xy）＝f（x）f（y）；
②?x，y∈R，f（xy）＝f（x）+f（y）；
③?x，y∈R，f（x+y）＝f（x）f（y）；
④?x1，x2∈R（x1≠x2），；
現(xiàn)有四個(gè)備選函數(shù)；y2＝log2x；；．
（1）請(qǐng)從備選函數(shù)中找出符合要求的函數(shù)f（x），并指出其具有的性質(zhì)的序號(hào)，無需說明理由；
（2）對(duì)于（1）中的函數(shù)f（x），若函數(shù)h（x）＝f（2x）﹣af（x+1）﹣1，x∈[0，1]的最大值為﹣1，
求實(shí)數(shù)a的值．
【分析】（1）利用給出函數(shù)的基本性質(zhì)，一一進(jìn)行驗(yàn)證，即可得出結(jié)論；
（2）先把h（x）進(jìn)行換元，得到h（t）＝t2﹣2at﹣1，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出a的值．
【解答】解：（1）y＝2x具有性質(zhì)③和性質(zhì)④；y＝log2x具有性質(zhì)②和性質(zhì)④．
（2）h（x）＝f（2x）﹣af（x+1）﹣1＝22x﹣2a2x﹣1，x∈[0，1]，
令t＝2x，則t∈[1，2]，
h（t）＝t2﹣2at﹣1，
因?yàn)閔（t）開口朝上，
所以h（t）的最大值在t＝1或t＝2處取得，
h（1）＝1﹣2a﹣1＝﹣2a，h（2）＝4﹣4a﹣1＝3﹣4a
當(dāng)h（1）取最大值時(shí)，即﹣2a＝﹣1，解得，但此時(shí)h（2）＝1，不符合題意，舍去，
當(dāng)h（2）取最大值時(shí)，即3﹣4a＝﹣1，解得a＝1，此時(shí)h（2）＝﹣2，符合題意，
所以實(shí)數(shù)a的值為1．
20．（10分）已知，，并且，．
（1）求cos2α的值；
（2）求sin（α+β）的值．
【分析】（1）由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sin（α﹣），利用誘導(dǎo)公式及二倍角的正弦公式求解即可；
（2）由誘導(dǎo)公式可求得cos（β+），再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sin（β+），由sin（α+β）＝sin[（α﹣）+（β+）]，利用兩角和的正弦公式計(jì)算即可得解．
【解答】解：（1）因?yàn)?，所以α﹣∈?，），
因?yàn)?，所以sin（α﹣）＝＝，
所以cos2α＝﹣sin（2α﹣）＝﹣2sin（α﹣）cos（α﹣）＝﹣2××＝﹣．
（2）＝sin（β++）＝cos（β+）＝．
因?yàn)?，所以?∈（，），
所以sin（β+）＝＝，
所以sin（α+β）＝sin[（α﹣）+（β+）]
＝sin（α﹣）cos（β+）+cos（α﹣）sin（β+）
＝×+×
＝．
21．（10分）已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）的取值范圍；
（3）若m＞0，當(dāng)時(shí)，直線的圖象與y＝f（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)二倍角公式、輔助角公式，化簡可得f（x）＝sin（2x+）+1，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得解；
（2）易得2x+∈[﹣，]，再由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得解；
（3）令t＝2x+∈[0，2m+），原問題可轉(zhuǎn)化為sint＝有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，從而推出＜2m+≤，解之即可．
【解答】解：（1）
＝cos2x+1﹣（cos2x﹣sin2x）＝sin（2x+）+1，
∴最小正周期T＝＝π，
令2x+∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，則x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，
故單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
（2）∵，
∴2x+∈[﹣，]，
∴sin（2x+）∈[﹣1，]，
∴f（x）∈[0，+1]．
（3）要使直線的圖象與y＝f（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
則sin（2x+）+1＝有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即sin（2x+）＝有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
令t＝2x+，原問題轉(zhuǎn)化為sint＝有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∵，∴2x+∈[0，2m+），∴t∈[0，2m+），
∴＜2m+≤，
解得＜m≤π，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（，π]．
22．（10分）已知函數(shù)f（x）＝x2+ax（a∈R）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣1，+∞），函數(shù)g（x）＝lnx．
（1）求實(shí)數(shù)a的值，并寫出函數(shù)y＝g[f（x）]的單調(diào)遞增區(qū)間（不用寫出求解過程）；
（2）證明：方程在內(nèi)有且僅有一個(gè)根x0；
（3）在條件（2）下，證明：．
（參考數(shù)據(jù)：e≈2.71828，，ln2≈0.693．）
【分析】（1）求導(dǎo)得f′（x），令f′（a）＞0，得x＞﹣，又f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣1，+∞），得﹣＝﹣1，解得a，進(jìn)而寫出y＝g[f（x）]解析式，求導(dǎo)，分析f′（x）的正負(fù)，即可得出答案．
（2）ex?f（x）＝變形為ex?（x3+2x2）﹣1＝0，令h（x）＝ex?（x3+2x2）﹣1，則問題轉(zhuǎn)化為證明h（x）在（0，）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即可．
（3）由g（x0）＝lnx0，得ex02＝﹣2x0e+，只需證lnx0＜﹣2x0e﹣1，即可得出答案．
【解答】解：（1）f′（x）＝2x+a，
令f′（a）＞0，得x＞﹣，
因?yàn)閒（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣1，+∞），
所以﹣＝﹣1，解得a＝2，
所以y＝g[f（x）]＝ln（x2+2x），
求導(dǎo)得y′＝?（2x+2）＝，
令y′＞0，＞0，解得x＞0或x＜﹣2，
令y′＜0，＜0，解得﹣2＜x＜﹣1，
所以單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣2），（1，+∞），遞減區(qū)間為（﹣2，﹣1）．
（2）ex?f（x）＝，
所以ex?（x2+2x）＝，
所以ex?（x3+2x2）﹣1＝0，
令h（x）＝ex?（x3+2x2）﹣1，
h′（x）＝ex（x3+2x2+3x2+4x）＝ex（x3+5x2+4x）＝ex?x（x+1）（x+4），
令h′（x）＞0，解得﹣4＜x＜1或x＞0，
令h′（x）＜0，解得x＜﹣4或﹣1＜x＜0，
所以x＜﹣4時(shí)，h（x）單調(diào)遞減，
﹣4＜x＜﹣1時(shí)，h（x）單調(diào)遞增，
﹣1＜x＜0時(shí)，h（x）遞減，
x＞0時(shí)，h（x）遞增，
h（﹣4）＝e﹣4（﹣64+32）﹣1＝﹣32e﹣4﹣1＜0，
h（0）＝﹣1＜0，
h（﹣1）＝e﹣1＝e﹣1（﹣1+2）﹣1＝﹣1＜0，
又h（）＝e[（）3+2×（）3]＝e（+）﹣1，
＝﹣1＞0，
所以x＜﹣4時(shí)，x趨于﹣∞，h（x）趨于﹣1且h（﹣4）＜0，
所以h（x）只有一個(gè)零點(diǎn)x0，
所以ex?f（x）＝在（0，）內(nèi)有且僅有一個(gè)根．
（3）證明：g（x0）＝lnx0，
ef（x0）＝，
所以e（x02+2x0）＝，
所以ex02＝﹣2x0e+，
只需證lnx0＜﹣2x0e﹣1，
令y＝lnx﹣+2xex，x∈（0，），
y′＝++ex（2x+2）＝（x+1）[+2ex]，
所以函數(shù)在（0，）上單調(diào)遞增，
所以y＜ln﹣2+2×e＝﹣ln2﹣2+e≈0.693﹣2+1.649＜﹣1，
所以lnx0＜﹣2x0e﹣1．

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