?2020-2021學(xué)年廣西玉林市高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{x|2x+3＞7}，B＝{x|1﹣x＞3}，則A∪B＝（　?。?br /> A．{x|x＜﹣2或x＞2} B．{x|﹣2＜x＜2} C．{x|x＞﹣2} D．{x|x＜2}
2．（5分）已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）＝2x+x3﹣1，則f（﹣2）＝（　　）
A．13 B．11 C．﹣13 D．﹣11
3．（5分）已知α為第二象限角，則為（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
4．（5分）函數(shù)f（x）＝5x+x﹣19的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（　?。?br /> A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
5．（5分）為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)g（x）＝2tan2x的圖象（　　）
A．向上移動個單位長度 B．向上移動個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度
6．（5分）已知函數(shù)f（x）＝ax﹣3+1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)（m，n），則（　　）
A．logmn＞lognm B．2m＜3n
C．2log2m＜3log3n D．mm＜nn
7．（5分）在△ABC中，＝，則＝（　?。?br /> A．+ B．+ C．+ D．+
8．（5分）函數(shù)f（x）＝sinx?ln|x|的部分圖象大致為（　?。?br /> A．
B．
C．
D．
9．（5分）已知向量，的夾角為，且|+2|＝，||＝1，則||＝（　?。?br /> A． B．1 C． D．2
10．（5分）某流行病調(diào)查中心的疾控人員針對該地區(qū)某類只在人與人之間相互傳染的疾病，通過現(xiàn)場調(diào)查與傳染源傳播途徑有關(guān)的蛛絲馬跡，根據(jù)傳播鏈及相關(guān)數(shù)據(jù)，建立了與傳染源相關(guān)確診病例人數(shù)H（t）與傳染源感染后至隔離前時長t（單位：天）的模型：H（t）＝ekt+λ.已知甲傳染源感染后至隔離前時長為5天，與之相關(guān)確診病例人數(shù)為8；乙傳染源感染后至隔離前時長為8天，與之相關(guān)確診病例人數(shù)為20．打某傳染源感染后至隔離前時長為兩周，則與之相關(guān)確診病例人數(shù)約為（　?。?br /> A．44 B．48 C．80 D．125
11．（5分）若函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　?。?br /> A．[0，2] B．（0，2] C．[0，+∞） D．[2，+∞）
12．（5分）已知A，B為圓O上不重合的兩個點(diǎn)，C為圓O上任意一點(diǎn)，且2+3+k＝，則k2的取值范圍是（　?。?br /> A．[1，5） B．[1，25） C．[4，25） D．[5，25）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.
13．（5分）已知平面向量＝（2，3），＝（15，x），若⊥，則x＝　 ?。?br /> 14．（5分）冪函數(shù)y＝f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（9，3），則f（36）＝　 ?。?br /> 15．（5分）已知，且sinα＝，則cosβ＝　 ?。?br /> 16．（5分）已知f（x）是周期為4的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時，f（x）＝x，當(dāng)1＜x≤2時，f（x）＝﹣2x+4．若直線y＝a與f（x）的圖象在[﹣4，5]內(nèi)的交點(diǎn)個數(shù)為m，直線與f（x）的圖象在[﹣4，5]內(nèi)的交點(diǎn)個數(shù)為n，且m+n＝9，則a的取值范圍是　 ?。?br /> 三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）已知向量＝（1，3），＝（3，2）．
（1）求?（+2）的值；
（2）若（+λ）∥（λ+），求實(shí)數(shù)λ的值．
18．（12分）函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在區(qū)間上的最大值．

19．（12分）已知α為銳角，．
（1）求tanα的值；
（2）求sin2α﹣cos2α+cos2α的值．
20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）在區(qū)間[1，4]的最小值為﹣2．
（1）求a的值；
（2）若函數(shù)存在零點(diǎn)，求m的取值范圍．
21．（12分）已知函數(shù)，且．
（1）求f（x）的解析式；
（2）先將函數(shù)y＝f（x）圖象上所有的點(diǎn)向右平移個單位長度，再將所得各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，橫坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象．若g（x）在區(qū)間有且只有一個x0，使得g（x0）取得最大值，求α的取值范圍．
22．（12分）已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f（x）＝x2ex．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求關(guān)于x的不等式f（3x﹣1）+f（5﹣ax）﹣（a﹣3）x+4＞0的解集．

2020-2021學(xué)年廣西玉林市高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{x|2x+3＞7}，B＝{x|1﹣x＞3}，則A∪B＝（　?。?br /> A．{x|x＜﹣2或x＞2} B．{x|﹣2＜x＜2} C．{x|x＞﹣2} D．{x|x＜2}
【分析】先求出集合A，B，然后利用集合并集的定義求解即可．
【解答】解：因?yàn)榧螦＝{x|2x+3＞7}＝{x|x＞2}，B＝{x|1﹣x＞3}＝{x|x＜﹣2}，
所以A∪B＝{x|x＜﹣2或x＞2}．
故選：A．
2．（5分）已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）＝2x+x3﹣1，則f（﹣2）＝（　　）
A．13 B．11 C．﹣13 D．﹣11
【分析】根據(jù)題意，求出f（2）的值，結(jié)合函數(shù)的奇偶性分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，當(dāng)x＞0時，f（x）＝2x+x3﹣1，
則f（2）＝4+8﹣1＝11，
又由f（x）為奇函數(shù)，則f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣11，
故選：D．
3．（5分）已知α為第二象限角，則為（　?。?br /> A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【分析】由α是第二象限角，推導(dǎo)出為第三象限角．
【解答】解：∵α是第二象限角，
∴+2kπ＜α＜π+2kπ，k∈Z，
∴﹣π+2kπ＜＜﹣+2kπ，k∈Z．
∴為第三象限角．
故選：C．
4．（5分）函數(shù)f（x）＝5x+x﹣19的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（　?。?br /> A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【分析】判斷函數(shù)的連續(xù)性，由零點(diǎn)判定定理判斷求解即可．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝5x+x﹣19是連續(xù)函數(shù)且單調(diào)遞增，
∵f（1）＝5+1﹣19＝﹣13＜0，
f（2）＝25+2﹣19＝8＞0
∴f（1）f（2）＜0，
由零點(diǎn)判定定理可知函數(shù)的零點(diǎn)在（1，2）．
故選：B．
5．（5分）為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)g（x）＝2tan2x的圖象（　　）
A．向上移動個單位長度 B．向上移動個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度
【分析】由題意利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．
【解答】解：只需將函數(shù)g（x）＝2tan2x的圖象向左平移個單位長度，
即可得到函數(shù)的圖象，
故選：D．
6．（5分）已知函數(shù)f（x）＝ax﹣3+1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)（m，n），則（　　）
A．logmn＞lognm B．2m＜3n
C．2log2m＜3log3n D．mm＜nn
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出f（x）的圖象所過定點(diǎn)坐標(biāo)，得出m、n的值，再判斷選項(xiàng)中的命題是否正確即可．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝ax﹣3+1中，令x﹣3＝0，解得x＝3，
所以y＝f（3）＝a0+1＝2，
所以f（x）的圖象恒過定點(diǎn)（3，2），所以m＝3，n＝2，
對于A，logmn＝log32＜log23＝lognm，所以A錯誤；
對于B，2m＝8，3n＝9，所以2m＜3n，選項(xiàng)B正確；
對于C，2log2m＝2log23＝log29＞3log3n＝log323，所以C錯誤；
對于D，mm＝33＞22＝nn，所以D錯誤．
故選：B．
7．（5分）在△ABC中，＝，則＝（　?。?br /> A．+ B．+ C．+ D．+
【分析】根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合向量運(yùn)算法則進(jìn)行化簡即可．
【解答】解：∵＝，
∴﹣+5（﹣）＝，
即6＝5+，
即＝+，
故選：A．
8．（5分）函數(shù)f（x）＝sinx?ln|x|的部分圖象大致為（　?。?br /> A．
B．
C．
D．
【分析】判斷函數(shù)的奇偶性和對稱性，結(jié)合函數(shù)值的符號進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：函數(shù)的定義域是{x|x≠0}，
f（﹣x）＝sin（﹣x）ln|﹣x|＝﹣sinxln|x|＝﹣f（x），
則f（x）是奇函數(shù)，排除AC，
當(dāng)0＜x＜1時，f（x）＜0，排除B，
故選：D．
9．（5分）已知向量，的夾角為，且|+2|＝，||＝1，則||＝（　?。?br /> A． B．1 C． D．2
【分析】根據(jù)題意，設(shè)||＝t，由數(shù)量積的計(jì)算公式可得|+2|2＝1+4t2+4tcos＝3，解可得t的值，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)||＝t，
若向量，的夾角為，且||＝1，則|+2|2＝1+4t2+4tcos＝3，
解可得：t＝或﹣1（舍），
故t＝，
故選：C．
10．（5分）某流行病調(diào)查中心的疾控人員針對該地區(qū)某類只在人與人之間相互傳染的疾病，通過現(xiàn)場調(diào)查與傳染源傳播途徑有關(guān)的蛛絲馬跡，根據(jù)傳播鏈及相關(guān)數(shù)據(jù)，建立了與傳染源相關(guān)確診病例人數(shù)H（t）與傳染源感染后至隔離前時長t（單位：天）的模型：H（t）＝ekt+λ.已知甲傳染源感染后至隔離前時長為5天，與之相關(guān)確診病例人數(shù)為8；乙傳染源感染后至隔離前時長為8天，與之相關(guān)確診病例人數(shù)為20．打某傳染源感染后至隔離前時長為兩周，則與之相關(guān)確診病例人數(shù)約為（　　）
A．44 B．48 C．80 D．125
【分析】由已知可得H（5）＝8，H（8）＝20，聯(lián)立求得e3k，采用整體運(yùn)算求解H（14）得答案．
【解答】解：依題意得，H（5）＝e5k+λ＝8，H（8）＝e8k+λ＝20，
，
∴H（14）＝e14k+λ＝．
故某傳染源感染后至隔離前時長為兩周，則與之相關(guān)確診病例人數(shù)約為125人．
故選：D．
11．（5分）若函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A．[0，2] B．（0，2] C．[0，+∞） D．[2，+∞）
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)值域轉(zhuǎn)化為不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．
【解答】解：若f（x）的值域?yàn)镽，
則y＝ax2+4x+2能取所有的正數(shù)，
設(shè)y＝ax2+4x+2的值域?yàn)锳，
則（0，+∞）?A，
當(dāng)a＝0時，y＝4x+2的值域?yàn)镽，滿足條件（0，+∞）?A，
當(dāng)a≠0時，要使（0，+∞）?A，則滿足，
即，即0＜a≤2，
綜上0≤a≤2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，2]，
故選：A．
12．（5分）已知A，B為圓O上不重合的兩個點(diǎn)，C為圓O上任意一點(diǎn)，且2+3+k＝，則k2的取值范圍是（　　）
A．[1，5） B．[1，25） C．[4，25） D．[5，25）
【分析】設(shè)圓的半徑為1，＜，＞＝θ，利用平方法，結(jié)合向量數(shù)量積的公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：設(shè)圓的半徑為1，＜，＞＝θ，∵A，B為圓O上不重合的兩個點(diǎn)，
∴0＜θ≤π，
由2+3+k＝，得﹣k＝2+3，平方得k2＝4+9+12?＝13+12cosθ，
∵0＜θ≤π，∴﹣1≤cosθ＜1，
即，﹣12≤12cosθ＜12，則，∴1≤13+12cosθ＜25，
即1≤k2＜25，
即k2的取值范圍是[1，25），
故選：B．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.
13．（5分）已知平面向量＝（2，3），＝（15，x），若⊥，則x＝　﹣10?。?br /> 【分析】由題意利用兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，
【解答】解：∵平面向量＝（2，3），＝（15，x），且⊥，
∴?＝2×15+3x＝0，求得x＝﹣10，
故答案為：﹣10．
14．（5分）冪函數(shù)y＝f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（9，3），則f（36）＝　6?。?br /> 【分析】利用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式，再計(jì)算f（36）的值．
【解答】解：設(shè)冪函數(shù)y＝f（x）＝xα，
因?yàn)楹瘮?shù)圖象過點(diǎn)P（9，3），
所以9α＝3，解得α＝，
所以f（x）＝，
所以f（36）＝＝6．
故答案為：6．
15．（5分）已知，且sinα＝，則cosβ＝　?。?br /> 【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosα，cos（α+β）的值，進(jìn)而根據(jù)β＝（α+β）﹣α，利用兩角差的余弦函數(shù)公式即可求解．
【解答】解：∵，
∴α+β∈（0，π），
又∵sin（α+β）＝＜sinα＝，
∴α+β∈（，π），
∵sinα＝，sin（α+β）＝，
∴cosα＝＝＝，cos（α+β）＝﹣＝﹣＝﹣．
∴cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝﹣×+×＝．
故答案是：．
16．（5分）已知f（x）是周期為4的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時，f（x）＝x，當(dāng)1＜x≤2時，f（x）＝﹣2x+4．若直線y＝a與f（x）的圖象在[﹣4，5]內(nèi)的交點(diǎn)個數(shù)為m，直線與f（x）的圖象在[﹣4，5]內(nèi)的交點(diǎn)個數(shù)為n，且m+n＝9，則a的取值范圍是　　．
【分析】利用函數(shù)的解析式以及奇偶性和周期性，作出函數(shù)f（x）的圖象，由圖象分析得到關(guān)于a的不等關(guān)系，求解即可得到答案．
【解答】解：依題意可作出f（x）在[﹣4，5]上的圖象，如圖所示．

因?yàn)閍＜a+，
由圖可知，
解得﹣≤a＜0，
故a的取值范圍是．
故答案為：．
三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）已知向量＝（1，3），＝（3，2）．
（1）求?（+2）的值；
（2）若（+λ）∥（λ+），求實(shí)數(shù)λ的值．
【分析】（1）由已知求得（+2）的坐標(biāo)，再由數(shù)量積求解；
（2）由已知求得（+λ）與（λ+）的坐標(biāo)，再由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算列式求得實(shí)數(shù)λ的值．
【解答】解：（1）∵＝（1，3），＝（3，2），
∴，則?（+2）＝（1，3）?（7，7）＝1×7+3×7＝28；
（2）（+λ）＝（1+3λ，3+2λ），（λ+）＝（λ+3，3λ+2），
∵（+λ）∥（λ+），∴（1+3λ）（3λ+2）﹣（3+2λ）（λ+3）＝0，
整理得：λ2＝1，即λ＝±1．
18．（12分）函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在區(qū)間上的最大值．

【分析】（1）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A和b，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）由題意利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得結(jié)果．
【解答】解：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分圖象，
可得b+A＝1，b﹣A＝﹣3，求得A＝2，b＝﹣1．
×＝+，∴ω＝1．
再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得1×（﹣）+φ＝，∴φ＝，
∴f（x）＝2sin（x+）﹣1．
（2）當(dāng)x∈，x+∈[，]，故當(dāng)x+＝時，
函數(shù)f（x）取得最大值為2×﹣1＝0．
19．（12分）已知α為銳角，．
（1）求tanα的值；
（2）求sin2α﹣cos2α+cos2α的值．
【分析】（1）直接根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求解即可，
（2）直接根據(jù)二倍角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系式即可求解．
【解答】解：（1）因?yàn)棣翞殇J角，所以．
又，所以，
所以.，
解得tanα＝7．
（2）sin2α﹣cos2α+cos2α＝2sinαcosα﹣cos2α+sin2α+cos2α＝＝＝＝．
20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）在區(qū)間[1，4]的最小值為﹣2．
（1）求a的值；
（2）若函數(shù)存在零點(diǎn)，求m的取值范圍．
【分析】（1）直接對a分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，即可得到滿足條件的a值；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)g（x）的范圍，再由題意可得關(guān)于m的不等式，求解得答案．
【解答】解：（1）若a＞1，則f（x）＝logax在區(qū)間[1，4]上單調(diào)遞增，f（x）min＝f（1）＝0，不符合條件；
若0＜a＜1，則f（x）＝logax在區(qū)間[1，4]上單調(diào)遞減，f（x）min＝f（4）＝loga4＝﹣2，解得a＝．
綜上，a＝．
（2）由題意可知，＝，
∵＞，∴＜．
∵函數(shù)存在零點(diǎn)，∴3+m＞0，即m＞﹣3．
故m的取值范圍為（﹣3，+∞）．
21．（12分）已知函數(shù)，且．
（1）求f（x）的解析式；
（2）先將函數(shù)y＝f（x）圖象上所有的點(diǎn)向右平移個單位長度，再將所得各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，橫坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象．若g（x）在區(qū)間有且只有一個x0，使得g（x0）取得最大值，求α的取值范圍．
【分析】（1）利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換和，進(jìn)一步求出函數(shù)的關(guān)系式；
（2）利用函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換的應(yīng)用及函數(shù)的取值范圍的討論，求出α的取值范圍．
【解答】解：（1）函數(shù)函數(shù)，
＝
＝cos（2ωx+）+sin（2ωx+）
＝cos2ωx，
且，
解得ω＝1，
所以f（x）＝cos2x；
（2）由題意可知：g（x）＝2cos2（x﹣）＝2cos（2x﹣）．
由于g（x）在區(qū)間有且只有一個x0，使得g（x0）取得最大值，
所以0＜2α≤2π，即0＜α≤π．
由于，所以2x﹣，
則，即時，，
故．
當(dāng)，即，，
故α∈?．
綜上所述：α的取值范圍為（．
22．（12分）已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f（x）＝x2ex．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求關(guān)于x的不等式f（3x﹣1）+f（5﹣ax）﹣（a﹣3）x+4＞0的解集．
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．
（2）利用作商法判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】解：（1）因?yàn)閒（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f（x）＝x2ex，
所以當(dāng)x＜0，即﹣x＞0時，有f（﹣x）＝（﹣x）2e﹣x＝﹣f（x），
故f（x）＝﹣x2e﹣x，
則f（x）＝．
（2）當(dāng)x＞0時，f（x）＞0，任取x1＞x2＞0，
則＝＝（）2，
∵x1＞x2＞0，∴＞1，＞1，則＞1，即f（x1）＞f（x2），即 f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（x）是R上的增函數(shù)．
原不等式等價(jià)于f（3x﹣1）+3x﹣1＞﹣f（5﹣ax）+ax﹣5＝f（ax﹣5）+ax﹣5，
構(gòu)造函數(shù)h（x）＝f（x）+x，易知h（x）也是R上的增函數(shù)，
原不等式等價(jià)于3x﹣1＞ax﹣5，即（a﹣3）x＜4，
當(dāng)a＞3時，不等式的解集為（﹣∞，），
當(dāng)a＝3時，不等式的解集為R；
當(dāng)a＜3時，不等式的解集為（，+∞）．

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