?2021年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)一模試卷
一．選擇題：本大題共有12小題每小題0分，共36分。每小題只有一個正確選項請將答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。
1．下列計算結(jié)果為正數(shù)的是（　?。?br /> A．﹣|﹣2| B．﹣（﹣1）0 C．（﹣1）﹣2 D．﹣32
2．某種福利彩票特等獎的中獎率為科學(xué)記數(shù)法表示為（　　）
A．5×10﹣7 B．5×10﹣6 C．2×10﹣7 D．2×10﹣6
3．如圖是由幾個大小相同的小正方體搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置上小正方體的個數(shù)，則該幾何體的左視圖是（　?。?br />
A． B．
C． D．
4．若代數(shù)式有意義，則x的取值范圍是（　?。?br /> A．x≥0 B．x≠1 C．x≥0且x≠1 D．x＞1
5．小明的作業(yè)本上有以下四題：①﹣（a﹣1）＝1﹣a；②（a2）3﹣（﹣a3）2＝0；③a5+a5＝2a5；④（2a）3＝6a3，做錯的題是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
6．在安全教育知識黨賽中，某校對學(xué)生成績進行了抽樣調(diào)查被抽取的7名學(xué)生的成績?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?5，92，93，87，95，94，92，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（　　）
A．92，92 B．92，93 C．93，92 D．87，92
7．如圖，在平面直角坐標系中，直線l1：y＝﹣x+5與x軸、y軸分別交于點A和點B，直線l2經(jīng)過坐標原點，且l2⊥l1，垂足為C，則點C到y(tǒng)軸的距離為（　?。?br />
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如圖，在△ABC中，∠B＝34°，將△ABC沿直線m翻折，點B落在點D的位置，則（∠1﹣∠2）的度數(shù)是（　　）

A．68° B．64° C．34° D．32°
9．如圖，點A，B，C在⊙O上，四邊形OABC是平行四邊形，若對角線AC＝2，則的長為（　　）

A． B． C． D．
10．下列命題正確的是（　?。?br /> A．若|﹣x|＝﹣x，則x≥0
B．m，n為整數(shù)，若2m＝a，2n＝b，則2m+3n＝a+b3
C．若（x﹣1）0＝1，則x＞1
D．若a＞b＞0，則a2＞b2
11．如圖，ABCD的頂點A，C在反比例函數(shù)y＝的圖象上，頂點B、D在反比例函數(shù)y＝的圖象上，CD∥y軸，對角線AC，BD的交點恰好是坐標原點O．若?ABCD＝24，k1＝﹣2k2，則k1的值為（　?。?br />
A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10
12．如圖，在正方形ABCD中，E是對角線BD上一點（BE＜DE），將線段CE繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE′，連接AE′，DE‘，EE′．
下列結(jié)論：
①若∠BAE＝20°，則∠DE′E＝70°；
②BE2+DE2＝2AE2；
③若∠BAE＝30°，則DE＝BE；
④若BC＝9，EC＝10，則sin∠DEC＝．
其中正確的結(jié)論有（　?。?br />
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
二、填空題：本大題共有8小題，每小題0分，共24分。請把答案填在答題卡上對應(yīng)的橫線上。
13．已知y＝x﹣3，則代數(shù)式x2﹣2xy+y2的值為 　 ?。?br /> 14．若不等式組的解集是x＞3，則m的取值范圍是 　 ?。?br /> 15．六個學(xué)生進行投籃比賽，投進的個數(shù)分別為14，15，15，17，17，18，這六個數(shù)的平均數(shù)是 　 ?。?br /> 16．化簡：＝　 　．
17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一點，且AD＝，DE∥BC，∠DBE＝90°，連接AE．若AC＝3，BC＝4，則AE的長為 　 ?。?br />
18．如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，把△ABC沿著DE翻折，使點A恰好落在邊BC上的點P處．若△BDP的周長為4，△CPE的周長為5，則的值為 　 ?。?br />
19．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝30°，AD＝6，點P，M分別是邊AB和對角線BD上的動點，則AM+PM的最小值為 　 ?。?br />
20．在平面直角坐標系中，點A和點B的坐標分別為（0，2）和（4，2），若拋物線y＝ax2﹣2ax+3（a＜0）與線段AB有且只有一個交點，則a的取值范圍是 　 ?。?br /> 三、解答題：本大題共有6小題，共60分。請將必要的文字說明、計算過程或推理過程寫在答題卡的對應(yīng)位置
21．如圖，一個可以自由轉(zhuǎn)動的質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤，被分成三個面積相等的扇形，每個扇形分別標有數(shù)字﹣3，1，2．轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次，待轉(zhuǎn)盤自動停止后，指針指向扇形內(nèi)的數(shù)字分別作為關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x+c＝0中的a，c的值（若指針指向兩個扇形的交線，則不計該次轉(zhuǎn)動，重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，直到指針指向一個扇形的內(nèi)部為止）．其中第一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤后指針指向扇形內(nèi)的數(shù)字記為a，第二次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤后指針指向扇形內(nèi)的數(shù)字記為c．
（1）請用列表或畫樹狀圖的方法寫出（a，c）所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；
（2）求出關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x+c＝0有兩個實數(shù)根的概率．

22．如圖，數(shù)學(xué)實踐活動小組想測量塔CD的高度．一測量人員在A處仰望塔頂，測得仰角為30°，再往塔的方向前進60米至B處，測得仰角為75°（測量人員身高不計）．
（1）求塔CD的高度．
（2）求測量人員在B處時，他到塔CD的距離．

23．某水果店銷售一種水果，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種水果的日銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．這種水果的進價為a（元/千克），日銷售利潤為w（元），當(dāng)銷售單價為14元，日銷售利潤為384元．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及a的值；
（2）當(dāng)這種水果的銷售單價是多少時，日銷售獲得的利潤最大？
（3）若該水果店一次性購進這種水果50千克，這種水果的保質(zhì)期為10天，按照（2）中獲得最大利潤的方式進行銷售，能否銷售完這批水果？請說明理由．

24．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作MN⊥AC，垂足為M，交AB的延長線于點N，過點B作BG⊥MN，垂足為G，連接CM．
（1）求證：直線MN是⊙O的切線；
（2）求證：BD2＝AC?BG；
（3）若BN＝OB，⊙O的半徑為1，求tan∠ANC的值．

25．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是AD上一點，且AE＝2，M是AB上一動點N是射線BC上一動點，連接ME并延長交CD的延長線于點F，連接EN，當(dāng)∠MEN＝90°時，連接NF．
（1）如圖1，當(dāng)點N在點C的左側(cè)時，連接MN，NF與AD相交于點H，點K在EF上，連接HK．
①若NC＝2，求AM的長．
②在①的條件下，若KF＝，求證：KH∥MN；
（2）如圖2，當(dāng)點N在點C的右側(cè)時，過點E作EG⊥NF，垂足為G．若CN＝1，求MF+EG的值．

26．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC．
（1）求此拋物線的解析式及對稱軸；
（2）D是拋物線的對稱軸上一點，且位于x軸的下方若S△ACD＝6，求點D的坐標；
（3）取點E（0，2），連接AE，在第四象限內(nèi)的拋物線上是否存在一點F，使得∠BCF＝∠CAE？若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．


2021年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)一模試卷
參考答案與試題解析
一．選擇題：本大題共有12小題每小題0分，共36分。每小題只有一個正確選項請將答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。
1．下列計算結(jié)果為正數(shù)的是（　　）
A．﹣|﹣2| B．﹣（﹣1）0 C．（﹣1）﹣2 D．﹣32
【分析】根據(jù)絕對值的意義，有理數(shù)的乘方，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪的運算法則進行計算，從而作出判斷．
【解答】解：A、﹣|﹣2|＝﹣2＜0，結(jié)果為負數(shù)，故此選項不符合題意；
B、﹣（﹣1）0＝﹣1＜0，結(jié)果為負數(shù)，故此選項不符合題意；
C、（﹣1）﹣2＝1＞0，結(jié)果為正數(shù)，故此選項符合題意；
D、﹣32＝﹣9＜0，結(jié)果為負數(shù)，故此選項不符合題意；
故選：C．
2．某種福利彩票特等獎的中獎率為科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．5×10﹣7 B．5×10﹣6 C．2×10﹣7 D．2×10﹣6
【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．
【解答】解：＝0.0000002＝2×10﹣7．
故選：C．
3．如圖是由幾個大小相同的小正方體搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置上小正方體的個數(shù)，則該幾何體的左視圖是（　?。?br />
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)俯視圖中每列正方形的個數(shù)，再畫出從正面，左面看得到的圖形即可．
【解答】解：從該幾何體的俯視圖中得到：該幾何體有兩層，兩列組成，
該幾何體的左視圖是：
．
故選：D．
4．若代數(shù)式有意義，則x的取值范圍是（　?。?br /> A．x≥0 B．x≠1 C．x≥0且x≠1 D．x＞1
【分析】根據(jù)二次根式和分式有意義的條件列出不等式組求解．
【解答】解：由題意可得，
解得：x≥0且x≠1，
故選：C．
5．小明的作業(yè)本上有以下四題：①﹣（a﹣1）＝1﹣a；②（a2）3﹣（﹣a3）2＝0；③a5+a5＝2a5；④（2a）3＝6a3，做錯的題是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】根據(jù)去括號法則判斷①；根據(jù)冪的乘方法則判斷②；根據(jù)合并同類項法則判斷③；根據(jù)積的乘方法則判斷④．
【解答】解：①﹣（a﹣1）＝1﹣a，正確；②（a2）3﹣（﹣a3）2＝0，正確；③a5+a5＝2a5，正確；④（2a）3＝8a3，錯誤；
故選：D．
6．在安全教育知識黨賽中，某校對學(xué)生成績進行了抽樣調(diào)查被抽取的7名學(xué)生的成績?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?5，92，93，87，95，94，92，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（　　）
A．92，92 B．92，93 C．93，92 D．87，92
【分析】先把數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┡帕校俚贸鲋形粩?shù)和眾數(shù)即可．
【解答】解：數(shù)據(jù)從小到大排列為：85，87，92，92，93，94，95，97，
所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是92，眾數(shù)是92，
故選：A．
7．如圖，在平面直角坐標系中，直線l1：y＝﹣x+5與x軸、y軸分別交于點A和點B，直線l2經(jīng)過坐標原點，且l2⊥l1，垂足為C，則點C到y(tǒng)軸的距離為（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】過點C作CD⊥y軸于點D，由直線AB的解析式求出點A和點B的坐標，得到OA和OB的長度，利用勾股定理求出AB的長度，再結(jié)合等面積法求出OC的長度，然后繼續(xù)利用勾股定理求BC，最后再次利用等面積法求CD．
【解答】解：對直線y＝﹣x+5，當(dāng)x＝0時，y＝5，當(dāng)y＝0時，x＝10，
∴A（10，0），B（0，5），
∴OA＝10，OB＝5，
∴AB＝5，
∵S△ABO＝OA?OB＝OC?AB，
∴×10×5＝×5×OC，
∴OC＝2，
∴BC＝＝，
過點C作CD⊥x軸于點D，
∵S△CBO＝CD?OB＝OC?BC，
∴×2×＝×5×CD，
∴CD＝2，即點C到y(tǒng)軸的距離為2．
故選：B．

8．如圖，在△ABC中，∠B＝34°，將△ABC沿直線m翻折，點B落在點D的位置，則（∠1﹣∠2）的度數(shù)是（　?。?br />
A．68° B．64° C．34° D．32°
【分析】由折疊的性質(zhì)可得到∠B與∠D的關(guān)系，再利用外角與內(nèi)角的關(guān)系求出（∠1﹣∠2）的度數(shù)．
【解答】解：∵△EFD是由△EFB沿m翻折后的圖形，
∴∠D＝∠B＝34°．
∵∠1＝∠B+∠3，∠3＝∠2+∠D，
∴∠1＝∠B+∠2+∠D＝68°+∠2．
∴∠1﹣∠2＝68°．
∴（∠1﹣∠2）＝34°．
故選：C．

9．如圖，點A，B，C在⊙O上，四邊形OABC是平行四邊形，若對角線AC＝2，則的長為（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和OC＝OA得出四邊形OABC是菱形，再根據(jù)垂徑定理和三角函數(shù)求出圓心角和半徑，即可求出答案．
【解答】解：連接OB，交AC于D，

∵四邊形OABC是平行四邊形，OC＝OA，
∴四邊形OABC是菱形，OB⊥AC，
∵OA＝OB＝BC，
∴△OAB是等邊三角形，∠AOB＝60°，
在Rt△OAD中，AD＝AC＝，
∴OA＝＝2，
∴的長是＝．
故選：C．
10．下列命題正確的是（　　）
A．若|﹣x|＝﹣x，則x≥0
B．m，n為整數(shù)，若2m＝a，2n＝b，則2m+3n＝a+b3
C．若（x﹣1）0＝1，則x＞1
D．若a＞b＞0，則a2＞b2
【分析】利用絕對值的意義對A進行判斷；根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則和冪的乘方對B進行判斷；根據(jù)零指數(shù)冪的意義對C進行判斷；根據(jù)乘方的意義對D進行判斷．
【解答】解：A．若|﹣x|＝﹣x，則x≤0，所以A選項不符合題意；
B．m，n為整數(shù)，若2m＝a，2n＝b，則2m+3n＝2m?23n＝2m?（2n）3＝ab3，所以B選項不符合題意；
C．若（x﹣1）0＝1，則x≠1，所以C選項不符合題意；
D．若a＞b＞0，則a2＞b2，所以D選項不符合題意．
故選：D．
11．如圖，ABCD的頂點A，C在反比例函數(shù)y＝的圖象上，頂點B、D在反比例函數(shù)y＝的圖象上，CD∥y軸，對角線AC，BD的交點恰好是坐標原點O．若?ABCD＝24，k1＝﹣2k2，則k1的值為（　?。?br />
A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的中心對稱性對稱四邊形ABCD是平行四邊形，從而得出S△COD＝S四邊形ABCD＝6，然后根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得到S△COD＝（|k1|+|k2|）＝6，由k1＝﹣2k2，即可求得k1＝﹣8．
【解答】解：由題意可知OA＝OC，OB＝OD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴S△COD＝S四邊形ABCD＝6，
∵CD∥y軸，
∴S△COD＝（|k1|+|k2|）＝6，
∵k1＝﹣2k2，
∴3|k2|＝12，
∵k2＞0，
∴k2＝4，
∴k2＝﹣2×4＝﹣8，
故選：C．
12．如圖，在正方形ABCD中，E是對角線BD上一點（BE＜DE），將線段CE繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE′，連接AE′，DE‘，EE′．
下列結(jié)論：
①若∠BAE＝20°，則∠DE′E＝70°；
②BE2+DE2＝2AE2；
③若∠BAE＝30°，則DE＝BE；
④若BC＝9，EC＝10，則sin∠DEC＝．
其中正確的結(jié)論有（　?。?br />
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【分析】首先通過SAS證明△BCE≌△DCE'，可證△DEE'是直角三角形，從而∠DEE'＝∠BCE＝∠BAE，故①正確；在Rt△E'CE中，E'E2＝CE'2+CE2＝2CE2，由正方形的對稱性可知AE＝CE，故②正確；若∠BAE＝30°，則∠DEE'＝∠BCE＝∠BAE＝30°，在Rt△E'DE中，DE＝DE'，可知③錯誤；過點C作CM⊥BD，交BD于點M，在Rt△CME中，sin∠DEC＝，故④正確．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∵線段CE繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE′，
∴CE＝CE'，∠ECE'＝90°，
∴△ECE'是等腰直角三角形，
∴∠EE'C﹣∠E'EC＝45°，
∴∠BCD﹣∠ECD＝∠ECE'﹣∠ECD，
∴∠BCE＝∠DCE'，
在△BCE與△DCE'中，
，
∴△BCE≌△DCE'（SAS），
∴∠CDE'＝∠EBC＝45°，DE'＝BE，
∴∠EDE'＝∠EDC+∠CDE'＝45°+45°＝90°，
∴△DEE'是直角三角形，
∵四邊形ABCD是正方形，E在對角線BD上，
∴∠BCE＝∠BAE，
∵∠DEC＝∠DEE'+∠E'EC＝∠EBC+∠BCE，∠E'EC＝∠EBC＝45°，
∴∠DEE'＝∠BCE＝∠BAE，
①∵∠BAE＝20°，
∴∠DE'E＝90°﹣∠DEE'＝70°，
故①正確；
②在Rt△E'DE中，
E'E2＝E'D2+DE2＝BE2+DE2，
在Rt△E'CE中，
E'E2＝CE'2+CE2＝2CE2，
∵四邊形ABCD是正方形，E在對角線BD上，
∴AE＝CE，
∴E'E2＝2CE'2＝2AE2，
∴BE2+DE2＝2AE2，
故②正確；
③若∠BAE＝30°，則∠DEE'＝∠BCE＝∠BAE＝30°，
在Rt△E'DE中，DE＝DE'，
∵BE＝DE'，
∴DE＝BE，
故③錯誤；
④如圖，過點C作CM⊥BD，交BD于點M，

∵四邊形ABCD是正方形，BC＝9，
∴CM＝9，
在Rt△CME中，sin∠DEC＝，
故④正確，
故選：B．
二、填空題：本大題共有8小題，每小題0分，共24分。請把答案填在答題卡上對應(yīng)的橫線上。
13．已知y＝x﹣3，則代數(shù)式x2﹣2xy+y2的值為 　9　．
【分析】求出x﹣y＝3，根據(jù)完全平方公式得出x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵y＝x﹣3，
∴x﹣y＝3，
∴x2﹣2xy+y2
＝（x﹣y）2
＝32
＝9，
故答案為：9．
14．若不等式組的解集是x＞3，則m的取值范圍是 　m≤3　．
【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
【解答】解：解不等式x+5＜3x﹣1，得：x＞3，
∵x＞m且不等式組的解集為x＞3，
∴m≤3，
故答案為m≤3．
15．六個學(xué)生進行投籃比賽，投進的個數(shù)分別為14，15，15，17，17，18，這六個數(shù)的平均數(shù)是 　16?。?br /> 【分析】先根據(jù)平均數(shù)的定義列出算式，再求出平均數(shù)即可．
【解答】解：平均數(shù)為×（14+15+15+17+17+18）＝16，
故答案為：16．
16．化簡：＝　﹣　．
【分析】根據(jù)分式的減法和除法可以解答本題．
【解答】解：
＝（﹣）?
＝?
＝?
＝﹣，
故答案為：﹣．
17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一點，且AD＝，DE∥BC，∠DBE＝90°，連接AE．若AC＝3，BC＝4，則AE的長為 　?。?br />
【分析】根據(jù)勾股定理得到AB＝＝＝5，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BE＝2，根據(jù)勾股定理即可得到AE＝．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵AD＝，
∴BD＝AB﹣AD＝，
∵DE∥BC，
∴∠ABC＝∠BDE，
∵∠C＝∠DBE＝90°，
∴△ACB∽△EBD，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝2，
∴AE＝＝＝，
故答案為：．
18．如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，把△ABC沿著DE翻折，使點A恰好落在邊BC上的點P處．若△BDP的周長為4，△CPE的周長為5，則的值為 　　．

【分析】由折疊的性質(zhì)可得AD＝DP，AE＝PE，∠A＝∠DPE＝60°，通過證明△BDP∽△CPE，由相似三角形的性質(zhì)可求解．
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B＝∠C＝∠A＝60°，
∵把△ABC沿著DE翻折，
∴△ADE≌△PDE，
∴AD＝DP，AE＝PE，∠A＝∠DPE＝60°，
∵∠DPC＝∠B+∠BDP＝∠DPE+∠EPC，
∴∠BDP＝∠EPC，
∴△BDP∽△CPE，
∴＝，
∴＝，
故答案為：．
19．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝30°，AD＝6，點P，M分別是邊AB和對角線BD上的動點，則AM+PM的最小值為 　3　．

【分析】連接CM，先說明△ABM≌△CBM（SAS），得AM＝CM，即AM+PM的最小值就是CM+PM的最小值，當(dāng)P、M、C三點共垂線時，AM+PM的最小，即可求解．
【解答】解：連接CM，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ABC，AB＝CB，
∴ABM＝∠CBM，
∵BM＝BM，
∴△ABM≌△CBM（SAS），
∴AM＝CM，
∴AM+PM的最小值就是CM+PM的最小值，
當(dāng)P、M、C三點共垂線時，AM+PM的最小，
在Rt△BPC中，∠ABC＝30°，
∴PC＝＝6＝3．
故答案為：3．

20．在平面直角坐標系中，點A和點B的坐標分別為（0，2）和（4，2），若拋物線y＝ax2﹣2ax+3（a＜0）與線段AB有且只有一個交點，則a的取值范圍是 　a≤﹣?。?br /> 【分析】根據(jù)拋物線的對稱軸公式：x＝﹣計算拋物線的對稱軸為：直線x＝1，得拋物線y＝ax2﹣2ax+3與y軸交于點（0，3），先計算過邊界點B時，a＝﹣，對于拋物線y＝ax2﹣2ax+3，當(dāng)a＜0時，無論a取何值，拋物線的對稱軸不變，拋物線與y軸的交點（0，3）都在點A（0，2）的上方，隨著|a|的值變大，拋物線的開口越小，可得答案．
【解答】解：拋物線y＝ax2﹣2ax+3的對稱軸為直線：x＝﹣＝1，
對于y＝ax2﹣2ax+3，
當(dāng)x＝0時，y＝3，
∴拋物線y＝ax2﹣2ax+3與y軸交于點（0，3），
∵a＜0，
∴拋物線的開口向下，
∴拋物線y＝ax2﹣2ax+3在平面直角坐標系中的大致位置如圖：

當(dāng)拋物線y＝ax2﹣2ax+3經(jīng)過點B（4，2）時，2＝a×42﹣2a×4+3，
解得a＝﹣，
對于拋物線y＝ax2﹣2ax+3，當(dāng)a＜0時，無論a取何值，拋物線的對稱軸不變，拋物線與y軸的交點（0，3）都在點A（0，2）的上方，隨著|a|的值變大，拋物線的開口越小，
∵拋物線y＝ax2﹣2ax+3與線段AB只有一個交點，
∴|a|≥|﹣|，
又∵a＜0，
∴a≤﹣（兩個負數(shù)比較大小，絕對值較大的反而小）．
∴a的取值范圍是a≤﹣．
故答案為：a≤﹣．
三、解答題：本大題共有6小題，共60分。請將必要的文字說明、計算過程或推理過程寫在答題卡的對應(yīng)位置
21．如圖，一個可以自由轉(zhuǎn)動的質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤，被分成三個面積相等的扇形，每個扇形分別標有數(shù)字﹣3，1，2．轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次，待轉(zhuǎn)盤自動停止后，指針指向扇形內(nèi)的數(shù)字分別作為關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x+c＝0中的a，c的值（若指針指向兩個扇形的交線，則不計該次轉(zhuǎn)動，重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，直到指針指向一個扇形的內(nèi)部為止）．其中第一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤后指針指向扇形內(nèi)的數(shù)字記為a，第二次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤后指針指向扇形內(nèi)的數(shù)字記為c．
（1）請用列表或畫樹狀圖的方法寫出（a，c）所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；
（2）求出關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x+c＝0有兩個實數(shù)根的概率．

【分析】（1）畫樹狀圖，即可求解；
（2）共有9種等可能的結(jié)果，使關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x+c＝0有兩個實數(shù)根的結(jié)果有5種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）畫樹狀圖如下：

共有9種等可能的結(jié)果，分別為（﹣3，﹣3），（﹣3，1），（﹣3，2），（1，﹣3），（1，1），（1，2），（2，﹣3），（2，1），（2，2）；
（2）由（1）得：共有9種等可能的結(jié)果，使關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x+c＝0有兩個實數(shù)根的結(jié)果有5種，
∴關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x+c＝0有兩個實數(shù)根的概率為．
22．如圖，數(shù)學(xué)實踐活動小組想測量塔CD的高度．一測量人員在A處仰望塔頂，測得仰角為30°，再往塔的方向前進60米至B處，測得仰角為75°（測量人員身高不計）．
（1）求塔CD的高度．
（2）求測量人員在B處時，他到塔CD的距離．

【分析】（1）過點B作BE⊥AC于E，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得BE＝AB＝30（米），則AE＝BE＝30（米），再證CE＝BE＝30米，則AC＝AE+CE＝（30+30）米，然后由含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可求解；
（2）由含30°角的直角三角形的性質(zhì)AD＝CD＝（45+15）米，即可求解．
【解答】解：（1）過點B作BE⊥AC于E，如圖所示：
則∠AEB＝∠CEB＝90°，
∵∠A＝30°，AB＝60米，
∴BE＝AB＝30（米），
∴AE＝BE＝30（米），
∵∠DBC＝∠A+∠BCE＝75°，
∴∠BCE＝75°﹣30°＝45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE＝BE＝30米，
∴AC＝AE+CE＝（30+30）米，
又∵∠ADC＝90°，∠A＝30°，
∴CD＝AC＝（15+15）米，
答：塔CD的高度為（15+15）米；
（2）∵∠ADC＝90°，∠A＝30°，
∴AD＝CD＝（45+15）米，
∴BD＝AD﹣AB＝（15﹣15）米，
答：測量人員在B處時，他到塔CD的距離為（15﹣15）米．

23．某水果店銷售一種水果，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種水果的日銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．這種水果的進價為a（元/千克），日銷售利潤為w（元），當(dāng)銷售單價為14元，日銷售利潤為384元．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及a的值；
（2）當(dāng)這種水果的銷售單價是多少時，日銷售獲得的利潤最大？
（3）若該水果店一次性購進這種水果50千克，這種水果的保質(zhì)期為10天，按照（2）中獲得最大利潤的方式進行銷售，能否銷售完這批水果？請說明理由．

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解可得，根據(jù)“日銷售利潤＝單件利潤×日銷售量”列出方程求出a即可求解；
（2）根據(jù)“日銷售利潤＝單件利潤×日銷售量”列出函數(shù)解析式，并配方成頂點式即可得出最大值；
（3）求出在（2）中情況下，求出日銷售量56千克，據(jù)此求得10天的總銷售量，比較即可得出．
【解答】解：（1）設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），
將（10，80）和（14，48）代入，
得：，
解得：，
∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣8x+160，
由圖可得，（14﹣a）×48＝384，
解得：a＝6，
∴a的值為6；
（2）由題意，得：w＝（x﹣6）（﹣8x+160）＝﹣8（x﹣13）2+392，
∵﹣8＜0，
∴當(dāng)x＝13時，w有最大值，最大值為392，
∴這種水果的銷售單價是13元時，日銷售獲得的利潤最大；
（3）能，理由：
∵按照（2）中獲得最大利潤的方式進行銷售，
由（1）得日銷量y＝﹣8×13+160＝56（千克），
∴56＞50，
∴該水果店能銷售完這批水果．
24．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作MN⊥AC，垂足為M，交AB的延長線于點N，過點B作BG⊥MN，垂足為G，連接CM．
（1）求證：直線MN是⊙O的切線；
（2）求證：BD2＝AC?BG；
（3）若BN＝OB，⊙O的半徑為1，求tan∠ANC的值．

【分析】（1）由AB是直徑得AD⊥BC，又AB＝AC得∠BAD＝∠CAD，由OA＝OD得∠ODA＝∠BAD，進而可推出∠ODM＝90°；
（2）由條件推出BD＝CD，CM＝BG，由△CDM∽△CAD，進一步可得結(jié)論；
（3）由條件推得∠BOD＝60°，進而∠ABC＝60°，可得△ABC是等邊三角形，從而CO⊥AB，進一步可求得結(jié)果．
【解答】證：（1）如圖1，

連接AD，OD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝∠ACD＝90°，
即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠BAD，
∴∠OAD＝∠CAD，
∵NM⊥AC，
∴∠AMN＝90°，
∴∠DAC+∠ADM＝90°，
∴∠ODA+∠ADM＝90°，
即∠ODM＝90°，
∴OD⊥MN，
∴直線MN是⊙O的切線；
（2）由（1）知，
∠ADC＝90°，BD＝CD，
∴∠ADC＝∠DMC＝90°，
∵∠ACD＝∠DCM，
∴△CMD∽△CDA，
∴＝，
∴CD2＝AC?CM，
∴BD2＝AC?CM，
在△BGD和△MCD中，
，
∴△BGD≌△CDM（AAS），
∴BG＝CM，
∴BD2＝AC?BG；
（3）如圖2，

連接OD，OC，
由（1）∠ODN＝90°，
∵OD＝OB＝BN＝1，
∴cos∠DON＝＝，
∴∠DON＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∵OA＝OB，
∴CO⊥AB，OC＝AC?cos60°＝，
∴tan∠ANC＝＝．
25．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是AD上一點，且AE＝2，M是AB上一動點N是射線BC上一動點，連接ME并延長交CD的延長線于點F，連接EN，當(dāng)∠MEN＝90°時，連接NF．
（1）如圖1，當(dāng)點N在點C的左側(cè)時，連接MN，NF與AD相交于點H，點K在EF上，連接HK．
①若NC＝2，求AM的長．
②在①的條件下，若KF＝，求證：KH∥MN；
（2）如圖2，當(dāng)點N在點C的右側(cè)時，過點E作EG⊥NF，垂足為G．若CN＝1，求MF+EG的值．

【分析】（1）①過點N作NP⊥AD于點P，可得∠NPE＝∠NPD＝90°，利用矩形性質(zhì)和判定可證四邊形PNCD是矩形，進而可證△EAM∽△NPE，求得AM＝1；
②由AB∥CF，可得△AEM∽△DEF，求得DF＝2，F(xiàn)C＝6，由DH∥CN，可證△FHD∽△FNC，可得＝＝，再運用勾股定理求得：EF＝2，EM＝，MF＝3，F(xiàn)K＝，進而可得＝，可證得△FKH∽△FMN，得出∠FKH＝∠FMN即可；
（2）如圖2，過點N作NR⊥AD，交AD的延長線于點R，由RN＝DC＝4，CN＝1，DE＝4，可得DR＝CN＝1，ER＝5，運用勾股定理得EN＝，可證△AME∽△REN，得出ME＝，再由△AME∽△DFE，可得FE＝，F(xiàn)E＝EN，再利用三角函數(shù)定義即可求得答案．
【解答】解：（1）如圖1，
①過點N作NP⊥AD于點P，
∴∠NPE＝∠NPD＝90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，
∵∠PDC＝∠NCD＝∠DPN＝90°，
∴四邊形PNCD是矩形，
∴NP＝CD＝4，
∵NC＝2，
∴DP＝2，
∵AE＝2，
∴EP＝AD﹣AE﹣DP＝6﹣2﹣2＝2，
∵∠MEN＝90°
∴∠AEM+∠PEN＝90°，
∵∠PNE+∠PEN＝90°，
∴∠AEM＝∠PNE，
∵∠EAM＝∠NPE＝90°，
∴△EAM∽△NPE，
∴＝，
∴AM＝＝＝1．
②證明：∵AB∥CF，
∴∠AME＝∠DFE，
∵∠AEM＝∠DEF，
∴△AEM∽△DEF，
∴＝，
∵AE＝2，DE＝4，AM＝1，
∴DF＝＝＝2，
∴FC＝CD+FD＝6，
∵DH∥CN，
∴∠FHD＝∠FNC，∠HFD＝∠NFC，
∴△FHD∽△FNC，
∴＝＝，
在Rt△EDF中，EF＝＝＝2，
在Rt△EAM中，EM＝＝＝，
∴MF＝EM+EF＝+2＝3，
∵FK＝，
∴＝＝，
∴＝，
∵∠KFH＝∠MFN，
∴△FKH∽△FMN，
∴∠FKH＝∠FMN，
∴KH∥MN．
（2）如圖2，過點N作NR⊥AD，交AD的延長線于點R，
則∠R＝∠NCD＝∠CDR＝90°，
∴四邊形CDRN是矩形，
∴RN＝DC＝4，
∵CN＝1，DE＝4，
∴DR＝CN＝1，
∴ER＝ED+DR＝5，
在Rt△ERN中，EN＝＝＝，
∵∠AEM+∠REN＝90°，∠AME+∠AEM＝90°，
∴∠AME＝∠REN，
∵∠MAE＝∠∠ERN＝90°，
∴△AME∽△REN，
∴＝，
∴ME＝＝＝，
∵△AME∽△DFE，
∴＝，
∴FE＝＝＝，
∴FE＝EN，
∵∠NEF＝90°，
∴∠EFG＝45°，
在Rt△EGF中，EG＝EF?sin45°＝，
∵MF+ME+EF＝，
∴MF+EG＝+×＝2．


26．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC．
（1）求此拋物線的解析式及對稱軸；
（2）D是拋物線的對稱軸上一點，且位于x軸的下方若S△ACD＝6，求點D的坐標；
（3）取點E（0，2），連接AE，在第四象限內(nèi)的拋物線上是否存在一點F，使得∠BCF＝∠CAE？若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

【分析】（1）將A（﹣2，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+3，即得對稱軸為直線x＝；
（2）過D作DE∥AC交x軸于E，連接CE，由y＝﹣x2+x+3得C（0，3），設(shè)直線AC為y＝kx+3，將A（﹣2，0）代入可求出直線AC為y＝x+3，設(shè)D（，m），m＜0，可得直線DE為y＝x+m﹣，即得E（﹣m，0），AE＝﹣m，故S△ACE＝AE?OC＝﹣m，而DE∥AC，S△ACD＝6，可得﹣m＝6，即得D（，﹣）；
（3）作A關(guān)于y軸的對稱點G，作直線CG交拋物線于F，由A（﹣2，0），E（0，2），可得∠CAE＝45°﹣∠ACE，由B（3，0），C（0，3），得∠BCF＝45°﹣∠GCO，根據(jù)A、G關(guān)于y軸對稱，知∠ACE＝∠GCO，G（2，0），故∠BCF＝∠CAE，即F是滿足條件的點，設(shè)直線CG為y＝tx+3，將G（2，0）代入得直線CG為y＝﹣x+3，解得F（4，﹣3）．
【解答】解：（1）將A（﹣2，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，解得，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+3，
而﹣＝﹣＝，
∴對稱軸為直線x＝；
（2）過D作DE∥AC交x軸于E，連接CE，如圖：，

由y＝﹣x2+x+3得C（0，3），
設(shè)直線AC為y＝kx+3，將A（﹣2，0）代入得：0＝﹣2k+3，
∴k＝，
∴直線AC為y＝x+3，
設(shè)D（，m），m＜0，
由DE∥AC可設(shè)直線DE為y＝x+b，
將D（，m）代入得：m＝+b，
∴b＝m﹣，
∴直線DE為y＝x+m﹣，
在y＝x+m﹣中，令y＝0得x+m﹣＝0，
∴x＝﹣m，
∴E（﹣m，0），
∴AE＝（﹣m）﹣（﹣2）＝﹣m，
∴S△ACE＝AE?OC＝×（﹣m）×3＝﹣m，
∵DE∥AC，
∴S△ACD＝S△ACE，
∵S△ACD＝6，
∴﹣m＝6，
∴m＝﹣，
∴D（，﹣）；
（3）存在一點F，使得∠BCF＝∠CAE，理由如下：
作A關(guān)于y軸的對稱點G，作直線CG交拋物線于F，如圖：

∵A（﹣2，0），E（0，2），
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴∠AEO＝45°，
∴∠CAE＝∠AEO﹣∠ACE＝45°﹣∠ACE，
∵B（3，0），C（0，3），
∴∠BCO＝45°，
∴∠BCF＝∠BCO﹣∠GCO＝45°﹣∠GCO，
∵A、G關(guān)于y軸對稱，
∴∠ACE＝∠GCO，G（2，0），
∴∠BCF＝∠CAE，即F是滿足條件的點，
設(shè)直線CG為y＝tx+3，將G（2，0）代入得0＝2t+3，
∴t＝﹣，
∴直線CG為y＝﹣x+3，
解得或，
∴F（4，﹣3）．


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