備戰(zhàn)2022高考數(shù)學(xué)圓錐曲線專題26：拋物線的對(duì)稱性問(wèn)題18頁(yè)（含解析）

這是一份備戰(zhàn)2022高考數(shù)學(xué)圓錐曲線專題26：拋物線的對(duì)稱性問(wèn)題18頁(yè)（含解析），共19頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，解答題，填空題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
專題26：拋物線的對(duì)稱性問(wèn)題一、單選題1．拋物線y＝2x2上兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)關(guān)于直線y＝x＋m對(duì)稱，且x1x2＝－，則m等于(　　)A．  B．2C．  D．32．有一個(gè)正三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2＝2px(p>0)上，另一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則該三角形的邊長(zhǎng)是(　　)A． B．C． D．3．已知正的頂點(diǎn)，在拋物線上，另一個(gè)頂點(diǎn)，則這樣的正三角形有個(gè)？A．1 B．2 C．3 D．44．已知拋物線上有一定點(diǎn)和兩動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍是A． B． C． D．5．在拋物線型內(nèi)壁光滑的容器內(nèi)放一個(gè)球，其通過(guò)中心軸的縱剖面圖如圖所示，圓心在軸上，拋物線頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，已知拋物線方程是，圓的半徑為，若圓的大小變化時(shí)，圓上的點(diǎn)無(wú)法觸及拋物線的頂點(diǎn)，則圓的半徑的取值范圍是（ ）A． B． C． D．6．長(zhǎng)度為4的線段的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線上移動(dòng)，試求線段的中點(diǎn)M到x軸距離的最小值為（    ）A．3 B． C． D．7．已知曲線的拋物線及拋物線組成，，，是曲線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)（四點(diǎn)不共線，且點(diǎn)在第一象限），則四邊形周長(zhǎng)的最小值為（    ）A． B． C． D．8．已知拋物線與圓交于A，B兩點(diǎn)，且，則（    ）A． B．1 C．2 D．49．拋物線與圓交于、兩點(diǎn)，圓心，點(diǎn)為劣弧上不同于、的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平行于軸的直線交拋物線于點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的取值范圍是A． B． C． D． 二、多選題10．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作兩條直線分別與拋物線：相切于點(diǎn)、，的中點(diǎn)為，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．直線過(guò)定點(diǎn)；B．的斜率不存在；C．軸上存在一點(diǎn)，使得直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱；D．、兩點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離的倒數(shù)和為定值.  三、解答題11．如圖，已知拋物線：與圓：有四個(gè)不同的公共點(diǎn)，，，.（Ⅰ）求的取值范圍；（Ⅱ）求四邊形面積的最大值.12．已知直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn).（1）求拋物線方程；（2）斜率不為0的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，交拋物線于兩點(diǎn)，.拋物線上是否存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱？若存在，求出的斜率的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 四、填空題13．已知拋物線，為其焦點(diǎn)，為其準(zhǔn)線，過(guò)任作一條直線交拋物線于兩點(diǎn)，分別為在上的射影，為的中點(diǎn)，給出下列命題：①；②；③//；④與的交點(diǎn)在軸上；⑤與交于原點(diǎn).其中真命題是__________．（寫出所有真命題的序號(hào)）14．曲線是平面內(nèi)到定點(diǎn)和定直線：的距離之和等于5的點(diǎn)的軌跡，給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線關(guān)于軸對(duì)稱；②若點(diǎn)在曲線上，則滿足；③若點(diǎn)在曲線上，則.其中，正確結(jié)論的序號(hào)是________.15．以拋物線：的頂點(diǎn)為圓心的圓交于兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn).已知，，則等于__________．16．已知拋物線的方程為， 為坐標(biāo)原點(diǎn)， ， 為拋物線上的點(diǎn)，若為等邊三角形，且面積為，則的值為__________．
參考答案1．A【分析】由題意設(shè)出直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立消元后得到關(guān)于x的二次方程，然后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求出線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入對(duì)稱軸方程y＝x＋m后可得m的值．【解析】∵A,B兩點(diǎn)關(guān)于直線y＝x＋m對(duì)稱，∴可設(shè)直線AB的方程為y＝－x＋b，由消去y整理得2x2＋x－b＝0，∵直線AB與拋物線交于兩點(diǎn)，∴Δ＝1＋8b＞0，解得．又由題意得，∵，∴b＝1，滿足題意．設(shè)A，B的中點(diǎn)為P(x0，y0)，則，∴，又點(diǎn)在直線y＝x＋m上，∴，解得．故選A．【點(diǎn)評(píng)】解決解析幾何中的對(duì)稱問(wèn)題時(shí)要注意垂直與平分兩個(gè)方面：（1）根據(jù)垂直可得兩對(duì)稱點(diǎn)所在直線的方程的斜率，進(jìn)而得到過(guò)兩對(duì)稱點(diǎn)的方程，然后與曲線方程聯(lián)立消元后運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求解；（2）根據(jù)平分得到兩對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)此中點(diǎn)在對(duì)稱軸上可得所求．2．B【分析】設(shè)出等邊三角形的邊長(zhǎng)，根據(jù)等邊三角形和拋物線的對(duì)稱性，可得到對(duì)稱兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，將坐標(biāo)代入拋物線方程可求得邊長(zhǎng).【解析】設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)等邊三角形和拋物線的對(duì)稱性，可得等邊三角形一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入拋物線方程得，解得.【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查等邊三角形和拋物線圖像的對(duì)稱性，考查利用拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)求參數(shù)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.3．D【解析】 由題意得，當(dāng)?shù)冗吶切侮P(guān)于軸對(duì)稱時(shí)，兩個(gè)邊的斜率，其方程為，每條直線與拋物線均有兩個(gè)交點(diǎn)，焦點(diǎn)兩側(cè)的兩交點(diǎn)連接，分別構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，這樣的正三角形有2個(gè)，如圖所示（黑色兩個(gè)），兩個(gè)頂點(diǎn)同時(shí)在拋物線上方如圖中藍(lán)色，或同時(shí)在下方各一個(gè)，如圖中綠色部分，故選D.4．D【解析】設(shè)拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，，即，整理可得：,而、和三點(diǎn)不重合即，所以式子可化成，整理可得，根據(jù)題意可知，關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，即判別式，得或，點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍是，故選.5．A【分析】設(shè)圓心為，（），半徑為，是拋物線上任一點(diǎn)，求出，當(dāng)的最小值在原點(diǎn)處取得時(shí)，圓過(guò)原點(diǎn)，可得此時(shí)圓半徑的范圍，半徑不在這個(gè)范圍內(nèi)的圓不過(guò)原點(diǎn)．【解析】設(shè)圓心為，（），半徑為，是拋物線上任一點(diǎn)，，若的最小值不在處取得，則圓不過(guò)原點(diǎn)，所以，即，此時(shí)圓半徑為．因此當(dāng)時(shí)，圓無(wú)法觸及拋物線的頂點(diǎn)．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】 本題考查圓與拋物線的位置關(guān)系，題中圓不過(guò)原點(diǎn)，說(shuō)明拋物線上的點(diǎn)到圓心距離的最小值不是在原點(diǎn)處取得，由此得到解法，即設(shè)圓心為，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出，然后確定其最小值，由最小值點(diǎn)不是原點(diǎn)可得結(jié)論．6．D【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，設(shè)，，點(diǎn)M到x軸距離為，利用拋物線的定義可求，利用即可求解.【解析】由題意可得，準(zhǔn)線為，設(shè)，，因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以由拋物線的定義可得，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以線段的中點(diǎn)M到x軸距離的最小值為，故選：D【點(diǎn)評(píng)】 本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用拋物線的定義求出，結(jié)合可求.7．B【分析】根據(jù)，，是曲線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，結(jié)合拋物線的對(duì)稱性建立四邊形周長(zhǎng)模型，再由拋物線的定義得到，然后由直線段最短求解.【解析】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則四邊形的周長(zhǎng):，當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)，故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的定義和幾何性質(zhì)以及四邊形周長(zhǎng)最值問(wèn)題，屬于中檔題.8．C【分析】兩個(gè)曲線都關(guān)于軸對(duì)稱，可知A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，從而可設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo)，分別代入拋物線和圓的方程，從而可求出答案.【解析】由題意，拋物線與圓交于A，B兩點(diǎn)，且，因?yàn)閮蓚€(gè)曲線都關(guān)于軸對(duì)稱，所以A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，故可設(shè)，，代入圓的方程得，解得，故，，代入拋物線方程可得，即.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線和圓的方程的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9．B【分析】求出圓心坐標(biāo)，可得拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線的定義，可得，故的周長(zhǎng)為，聯(lián)立圓與拋物線可得B點(diǎn)坐標(biāo)，可得的取值范圍，可得答案.【解析】 如圖，可得圓心也是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線的定義，可得故的周長(zhǎng)，由可得，.的取值范圍為的周長(zhǎng)的取值范圍為故選：.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓與拋物線的綜合、拋物線的基本量的計(jì)算與性質(zhì)，綜合性大，屬于中檔題.10．BCD【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到直線的方程，從而得到定點(diǎn)坐標(biāo)，得A錯(cuò)誤；將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，并利用根與系數(shù)的關(guān)系得到點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而得到軸，得B正確；設(shè)，直線、的斜率分別為、，并利用斜率公式及根與系數(shù)的關(guān)系得到當(dāng)時(shí)，，得C正確；根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)得到兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的倒數(shù)之和，并借助根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)，得D正確.【解析】設(shè)、，∵，∴，∴過(guò)點(diǎn)的切線方程為，即，∴，同理過(guò)點(diǎn)的切線方程為，將分別代入上式，得，，∴直線的方程為，∴直線過(guò)定點(diǎn)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，聯(lián)立方程得：，，則，，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴軸，B選項(xiàng)正確，設(shè)，由題意得、，設(shè)直線、的斜率分別為、，則，當(dāng)時(shí)，，即直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱，C選項(xiàng)正確，∵點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，∴，D選項(xiàng)正確，故選：BCD.【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、拋物線的幾何性質(zhì)以及直線與拋物線的位置關(guān)系，以直線與拋物線相切為出發(fā)點(diǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系考查定值問(wèn)題.11．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）聯(lián)立拋物線與圓的方程，由題意可得在上有兩個(gè)不同的解，即，解不等式組可得答案.（Ⅱ）用半徑表示出四邊形的面積為，令，此時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判單調(diào)性，由單調(diào)性即可得到最值.【解析】（Ⅰ）聯(lián)立得.由題可知，在上有兩個(gè)不同的解，所以，得，所以.（Ⅱ）設(shè)，，，，由韋達(dá)定理可知，，.又.，所以.令，則，此時(shí).記，..當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.所以，得四邊形的最大值為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問(wèn)題，屬于中檔題.12．（1）（2）拋物線上不存在兩點(diǎn)，關(guān)于過(guò)焦點(diǎn)的直線對(duì)稱；詳見(jiàn)解析【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，消去得，因?yàn)橹本€與拋物相切，所以即可求出參數(shù)的值.（2）設(shè)直線的方程為.假設(shè)拋物線上存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元，設(shè)，，中點(diǎn)為.列出韋達(dá)定理表示出點(diǎn)坐標(biāo)，其代入方程，即可判斷.【解析】 （1）由題聯(lián)立方程組消去得因?yàn)橹本€與拋物相切，所以解得或（舍）所以拋物線的方程為.（2）由（1）可知，所以可設(shè)直線的方程為.假設(shè)拋物線上存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組消去得由，得，設(shè)，，中點(diǎn)為.則，，因?yàn)?/span>在直線上，所以將其代入方程，得，即，代入，得，所以無(wú)解，故不存在.即拋物線上不存在兩點(diǎn)，關(guān)于過(guò)焦點(diǎn)的直線對(duì)稱.【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與拋物線相切求拋物線的方程，直線與拋物線的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.13．①②③④⑤【分析】根據(jù)題意，結(jié)合拋物線定義和性質(zhì)，即可對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析判斷.【解析】根據(jù)題意，作圖如下：因?yàn)?/span>在拋物線上，由拋物線的定義，得，又分別為在上的射影，所以，即①正確；取的中點(diǎn)，則，所以，即②正確；由②得平分，所以，又因?yàn)?/span>，所以//，即③正確；取軸，則四邊形為矩形，則與的交點(diǎn)在軸上，且與交于原點(diǎn)，即④⑤正確；故答案為：①②③④⑤.【點(diǎn)評(píng)】要注意填空題的一些特殊解法的利用，可減少思維量和運(yùn)算量，如本題中的特殊位置法（取軸）.14．②③【分析】先求出曲線的軌跡方程，進(jìn)而畫出圖形，對(duì)三個(gè)結(jié)論逐個(gè)分析，可得出答案.【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則，即，當(dāng)時(shí)，，整理得，當(dāng)時(shí)，，整理得，作出曲線的圖形，如下圖，顯然①不正確，曲線不關(guān)于軸對(duì)稱；當(dāng)時(shí)，可得，所以當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，滿足成立，即②正確；令，可得，所以當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，滿足，且，又，所以，，即③正確.故答案為：②③.【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡方程的求法，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于難題.15．.【分析】畫出圖形，利用勾股定理以及圓的半徑列出方程求解即得p的值.【解析】如圖：，，，，，，，，解得：，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線與圓的方程的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．16．2【解析】設(shè)，，∵，∴．又，，∴，即．又、與同號(hào)，∴．∴，即．根據(jù)拋物線對(duì)稱性可知點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，由為等邊三角形，不妨設(shè)直線的方程為，由，解得，∴．∵的面積為，∴，解得，∴．答案：2【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線性質(zhì)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件先判斷得到點(diǎn)A,B關(guān)于x軸對(duì)稱，然后在此基礎(chǔ)上得到直線直線（或）的方程，通過(guò)解方程組得到點(diǎn)（或A）的坐標(biāo)，求得等邊三角形的邊長(zhǎng)后，根據(jù)面積可得．