第八章 機械能守恒定律
1．功 與 功 率
一、功
1．力對物體所做的功，等于力的大小、位移的大小、力與位移夾角的余弦這三者的乘積。
2．公式：W＝Flcsα。
(1)α是力與位移方向之間的夾角，l為以地面為參考系時物體的位移。
(2)該公式只適用于恒力做功。
(3)功是標量。
3．單位：
國際單位制中，功的單位是焦耳，簡稱焦，符號是 J。1 J＝1 N·m。
二、正功和負功
1．正功和負功：
2.幾個力的總功的求法：
(1)先由W＝Fl cs α計算各個力對物體所做的功W1、W2、W3、…然后求所有力做功的代數(shù)和，即W總＝W1＋W2＋W3＋…
(2)先由力的合成或根據(jù)牛頓第二定律求出合力F合，然后由W總＝F合lcsα計算總功，此時α為F合的方向與l的方向間的夾角。
三、功率
1．定義：功W與完成這些功所用時間t的比值。
2．定義式：P＝ eq \f(W,t) 。
3．單位：在國際單位制中，功率的單位是瓦特，簡稱瓦，用W表示。
4．物理意義：功率是標量，它是表示物體做功快慢的物理量。
5．功率與力、速度的關系式：P＝Fv cs α，其中α是力與速度方向之間的夾角，當力的方向與物體的運動方向相同時，P＝Fv。
6．公式P＝Fv中各物理量間的關系：
(1)功率P一定時，物體的運動速度v與牽引力F成反比。
(2)物體的運動速度v一定時，功率P與牽引力F成正比。
(3)牽引力F一定時，功率P與物體的運動速度v成正比。
7．平均功率：物體在一段時間內做功的功率的平均值，通常用P＝ eq \f(W,t) 描述。
8．瞬時功率：物體在某一時刻或某一位置的功率，瞬時功率通常用P＝Fv描述。，
學習功和功率的概念后，我們分析判斷下列哪些說法是正確的？
①只要物體受力的同時又有位移發(fā)生，則一定有力對物體做功。
②一個力對物體做了負功，則說明這個力一定阻礙物體的運動。
③滑動摩擦力可能做負功，也可能做正功；靜摩擦力對物體一定做負功。
④據(jù)P＝Fv可知，發(fā)動機功率一定時，交通工具的牽引力與運動速度成反比。
⑤汽車上坡的時候，司機必須換擋，其目的是減小速度，得到較大的牽引力。
說法正確的有②④⑤。
甲圖人拉車向前運動，乙圖人拉車阻止車前進。
思考1：甲圖中人對小車做什么功？為什么？
提示：人對小車做正功，力和位移的夾角是銳角。
思考2：乙圖中人對小車做什么功？為什么？
提示：人對小車做負功，力和位移的夾角是鈍角。
P77【思考與討論】
無論哪種啟動過程，機車的最大速度是多少？
提示：機車的最大速度都等于其勻速運動時的速度，此時F牽＝F阻，即vm＝ eq \f(P,F阻) 。
一、功及其正負(物理觀念——能量觀念)
飛機降落的時候，打開尾部的減速傘。在這個過程中，減速傘拉力的方向與飛機位移的方向相反。
探究：拉力對飛機做功了嗎？做了什么功？
提示：做功了，拉力對飛機做了負功。
1．對W＝Fl cs α的理解：
功描述了力的作用效果在空間上的累積，它總與一個具體過程相聯(lián)系。
2．對正功、負功的理解：
(1)正功、負功的物理意義。
功的正、負由力和位移之間的夾角決定，所以功的正負不表示方向，而只能說明做功的力對物體來說是動力還是阻力。
(2)功是標量。
功是標量，只有量值，沒有方向。功的正、負并不表示功的方向，而且也不是數(shù)量上的正與負。我們既不能說“正功與負功的方向相反”，也不能說“正功大于負功”，它們僅表示相反的做功效果。
【典例】如圖所示的四幅圖是小明提包回家的情景，小明提包的力不做功的
是( )
【解題探究】
(1)力對物體做功的條件是什么？
提示：力和在力的方向上發(fā)生的位移。
(2)有力和位移，那么這個力一定對物體做功嗎？
提示：不一定。
【解析】選B。據(jù)功的概念及做功的兩個因素可知，只有同時滿足力及在力的方向上有位移兩個條件時，力對物體才做功，A、C、D做功，B沒有做功，選B。

力不做功應該滿足以下三點中之一：
(1)物體不受力的作用；
(2)以地面為參考系運動的位移為0；
(3)力的方向與位移的方向垂直。
1．下列關于做功的說法中，正確的是( )
A．凡是受力作用的物體，一定有力對物體做功
B．凡是發(fā)生了位移的物體，一定有力對物體做功
C．只要物體受力的同時又有位移發(fā)生，則一定有力對物體做功
D．只要物體受力，又在力的方向上發(fā)生了位移，則一定有力對物體做功
【解析】選D。做功的兩個不可缺少的因素是力和在力的方向上的位移，也就是說，只有力或只有位移，是不符合做功條件的，故選項A、B錯誤；若物體發(fā)生位移的同時也受力的作用，當力與位移垂直時，此力并不做功，故選項C錯誤，選項D正確。
2.(多選)圖中是小孩滑滑梯的情景，在小孩下滑過程中，關于各力做功的說法，正確的是( )
A．重力做正功B．支持力做負功
C．支持力不做功D．摩擦力做負功
【解析】選A、C、D。小孩下滑過程中，重力和位移方向的夾角小于90°，重力做正功，故A正確；小孩下滑過程中，支持力和位移方向的夾角等于90°，支持力不做功，故B錯誤，C正確；小孩下滑過程中，摩擦力方向和位移方向夾角大于90°，故摩擦力做負功，故D正確。故選A、C、D。
【補償訓練】
如圖甲為一女士站立在臺階式自動扶梯上正在勻速上樓，如圖乙為一男士站立在履帶式自動人行道電梯上正在勻速上樓。下列關于兩人受到的力做功判斷正確的是( )
A．甲圖中支持力對人做正功
B．乙圖中支持力對人做正功
C．甲圖中摩擦力對人做負功
D．乙圖中摩擦力對人做負功
【解析】選A。甲圖中，人勻速上樓，不受靜摩擦力，摩擦力不做功，支持力向上，與速度方向為銳角，即W＝Fs cs α＞0，所以支持力做正功，故A正確，C錯誤；乙圖中，支持力與速度方向垂直，支持力不做功，摩擦力沿斜面向上即與速度方向相同，做正功。故B、D錯誤。
二、求總功的兩個思路(科學思維——科學推理)
光滑的水平面上，兩個互相垂直的水平作用力F1和F2作用在同一物體上，使物體運動，如圖所示。物體通過一段位移時，力F1對物體做功4 J，力F2對物體做功3 J。力F1與F2的合力對物體做的功為多少？
提示：合力的功W合＝WF1＋WF2＝7 J。
求總功的兩個思路
(1)先確定物體所受的合力，再根據(jù)公式W合＝F合l cs α求解合力的功。該方法適用于物體的合力不變的情況，常見的是發(fā)生位移l過程中，物體所受的各力均沒有發(fā)生變化。求解流程：
eq \x(受力與過程分析) → eq \x(求合力) → eq \x(求合力的功)
(2)先根據(jù)W＝Fl cs α，求出每個分力做的功W1、W2、…、Wn，再根據(jù)W總＝W1＋W2＋…＋Wn，求解合力的功，即合力做的功等于各個分力做功的代數(shù)和。
該方法的適用范圍更廣，求解流程：
eq \x(受力與過程分析) → eq \x(求各力的功) → eq \x(求各力做功的代數(shù)和)
【典例】如圖所示，質量m＝2 kg的物體靜止在水平地面上，受到與水平地面夾角為θ＝37°、大小F＝10 N的拉力作用，物體移動了s＝2 m，物體與地面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.3，sin37°＝0.6，cs37°＝0.8，g取10 m/s2。求：
(1)拉力F所做的功W1；
(2)摩擦力f所做的功W2；
(3)重力G所做的功W3；
(4)彈力N所做的功W4；
(5)各力所做的總功W。
【解題探究】
(1)計算功的表達式是什么？
提示：W＝Fl cs α。
(2)計算總功的兩種方法是什么？
提示：①先計算出每個力做功的大小，然后計算出每個力做功的代數(shù)和。
②計算出物體所受的合力，然后計算合力做的功。
【解析】(1)對物體進行受力分析，如圖所示。
W1＝Fs cs θ＝10×2×0.8 J＝16 J
(2)N＝G－F sin θ＝20 N－10×0.6 N＝14 N
f＝μN＝0.3×14 N＝4.2 N
W2＝fscs180°＝－4.2×2 J＝－8.4 J
(3)W3＝Gscs90°＝0
(4)W4＝Nscs90°＝0
(5)W＝W1＋W2＋W3＋W4＝7.6 J
也可由合力求總功
F合＝F cs θ－f＝10×0.8 N－4.2 N＝3.8 N
F合與s方向相同，所以W＝F合s＝3.8×2 J＝7.6 J。
答案：(1)16 J (2)－8.4 J (3)0 (4)0 (5)7.6 J
計算總功的一般步驟和方法
(1)對物體進行正確的受力分析，明確物體受到哪幾個力作用，以及每個力的大小和方向。
(2)分析每一個力作用過程中所對應的位移，根據(jù)功的定義式W＝Fl cs α，求出每一個力所做的功。
(3)將各個力所做的功進行代數(shù)求和，即可計算出總功。
(4)若各個力是同時作用在物體上，也可先求出各個力的合力，再根據(jù)功的定義式求出合力所做的總功。
1.如圖所示，坐在雪橇上的人與雪橇的總質量為m，在與水平面成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移動了一段距離s。已知雪橇與地面間的動摩擦因數(shù)為μ，雪橇受到的( )
A．支持力做功為(mg－F sin θ)sB．重力做功為mgs
C．拉力做功為Fs cs θD．滑動摩擦力做功為－μmgs
【解析】選C。支持力和重力與位移垂直，不做功，A、B錯誤；拉力和摩擦力分別做功為WF＝Fs cs θ，Wf＝－μ(mg－F sin θ)s，C正確，D錯誤。
2.如圖所示，利用斜面從貨車上卸貨，每包貨物的質量m＝20 kg，斜面傾角α＝37°，斜面的長度l＝0.5 m，貨物與斜面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.2，求貨物從斜面頂端滑到底端的過程中受到的各個力所做的功以及合外力做的功。(g取
10 m/s2)
【解析】斜面上的貨物受到重力G，斜面支持力N和摩擦力f共三個力的作用。貨物位移的方向沿斜面向下，可以用正交分解法，將貨物所受的重力分解到與斜面平行的方向和與斜面垂直的方向。可以看出，三個力中重力和摩擦力對貨物做功，而斜面支持力對貨物沒有做功。其中重力G對貨物做的功
W1＝mglsin37°＝20×10×0.5×0.6 J＝60 J。
支持力N對貨物做功W2＝0。
摩擦力f對貨物做負功
W3＝μmgcs37°·lcs180°＝－0.2×20×10×0.8×0.5 J＝－16 J。
所以，外力做的總功為
W＝W1＋W2＋W3＝(60＋0－16) J＝44 J。
若先計算合外力再求功，則合外力做的功
W＝F合l＝(mgsin37°－μmgcs37°)l＝(20×10×0.6－0.2×20×10×0.8)×0.5 J＝44 J。
答案：重力做的功為60 J，支持力做的功為0，摩擦力做的功為－16 J，合力做的功為44 J。
【拔高題組】
1．一滑塊在水平地面上沿直線滑行，t＝0時，其速度為1 m/s。從此刻開始在滑塊運動方向上再施加一水平作用力F，力F和滑塊的速度v隨時間的變化規(guī)律分別如圖甲和乙所示。設在第1 s內、第2 s內、第3 s內力F對滑塊做的功分別為W1、W2、W3，則以下關系式正確的是( )
A．W1＝W2＝W3 B．W1＜W2＜W3
C．W1＜W3＜W2 D．W1＝W2＜W3
【解析】選B。在v-t圖像中，圖線與坐標軸所圍面積大小等于滑塊某時間段的位移，由圖乙可計算第1 s內、第2 s內、第3 s內滑塊的位移分別是x1＝0.5 m、x2＝0.5 m、x3＝1 m，所以W1＝F1x1＝0.5 J，W2＝F2x2＝1.5 J，W3＝F3x3＝2 J，所以W1＜W 2＜W3，B項正確。
2.質量為M的木板放在光滑水平面上，如圖所示。一個質量為m的滑塊以某一速度沿木板表面從A點滑至B點，在木板上前進了l，同時木板前進了s，若滑塊與木板間的動摩擦因數(shù)為μ，求摩擦力對滑塊、對木板所做的功各為多少？
【解析】由題圖可知，木板的位移為sM＝s，滑塊的位移為sm＝l＋s，m與M之間的滑動摩擦力f＝μmg。由公式W＝Fs cs α可得，摩擦力對滑塊所做的功為Wm＝μmgsm cs 180°＝－μmg(l＋s)，負號表示做負功。摩擦力對木板所做的功為WM＝μmgsM＝μmgs。
答案：－μmg(l＋s) μmgs
【拓展例題】考查內容：變力做功的計算
【典例】如圖所示，在水平面上，有一彎曲的槽道AB，槽道由半徑分別為 eq \f(R,2) 和R的兩個半圓構成?，F(xiàn)用大小恒為F的拉力將一光滑小球從A點沿槽道拉至B點，若拉力F的方向時刻與小球運動方向一致，則此過程中拉力F所做的功為( )
A．0 B．FR C． eq \f(3,2) πFR D．2πFR
【解析】選C。因F的方向不變，不能用W＝Fl cs α求解。在拉動的過程中，力F的方向總是與速度同向，用微元法的思想，把小球的位移分割成許多小段，在很小的一段位移內力F可以看成恒力，F(xiàn)做的總功即為F在各個小段上做功的代數(shù)和。小球路程為πR＋π× eq \f(R,2) ，由此得W＝ eq \f(3,2) πFR，C正確。
三、功率的計算(科學思維——科學推理)
質量為m的蘋果從高處自由下落。
(1)經(jīng)時間t，重力對蘋果做功的平均功率為多少？
提示：蘋果自由下落，t時刻速度為v＝gt，時間t內蘋果的平均速度為 eq \x\t(v) ＝ eq \f(v,2) ＝ eq \f(1,2) gt，則在時間t內重力對蘋果做功的平均功率 eq \x\t(P) ＝mg eq \x\t(v) ＝ eq \f(1,2) mg2t。
(2)在t時刻重力對物體做功的瞬時功率為多少？
提示：在t時刻重力做功的瞬時功率P＝mgv＝mg2t。
四類功率的比較
【典例】如圖所示，質量m＝2 kg的物塊在傾角α＝37°的光滑固定斜面頂端由靜止滑下，已知sin37°＝0.6，cs37°＝0.8，g取10 m/s2，求：
(1)前2 s內重力做的功；
(2)前2 s內重力的平均功率；
(3)2 s末重力的瞬時功率。
【解析】(1)對物塊受力分析如圖所示，F(xiàn)合＝mg sin α，
由牛頓第二定律F＝ma得：
a＝g sin α＝10×0.6 m/s2＝6 m/s2，
前2 s內物塊的位移
s＝ eq \f(1,2) at2＝ eq \f(1,2) ×6×22 m＝12 m，
前2 s內重力做的功
W＝mgs sin α＝2×10×12×0.6 J＝144 J。
(2)重力在前2 s內的平均功率
eq \x\t(P) ＝ eq \f(W,t) ＝ eq \f(144,2) W＝72 W。
(3)物塊2 s末的速度v＝at＝6×2 m/s＝12 m/s，
重力在2 s末的瞬時功率
P＝mgv sin α＝2×10×12×0.6 W＝144 W。
答案：(1)144 J (2)72 W (3)144 W
(2021·金華高一檢測)火車在一段平直的軌道上做勻加速運動，若阻力不變，則牽引力F和它的瞬時功率P的變化情況是( )
A．F不變，P變大 B．F變小，P不變
C．F變大，P變大 D．F不變，P不變
【解析】選A。因為火車做勻加速運動，所以牽引力F不變，但速度在增大，故牽引力的瞬時功率變大，故A正確，B、C、D錯誤。
【拔高題組】
1．用水平力F拉著一物體在水平面上做勻速運動，某時刻將力F隨時間均勻減小，物體所受的摩擦力隨時間的變化如圖中實線所示，下列說法中正確的是( )
A.F做功的功率是從t1時刻開始減小的，t2時刻F做功的功率剛好變?yōu)榱?br>B．F做功的功率是從t1時刻開始減小的，t3時刻F做功的功率剛好變?yōu)榱?br>C．F做功的功率是從t2時刻開始減小的，t2時刻F做功的功率剛好變?yōu)榱?br>D．F做功的功率是從t2時刻開始減小的，t3時刻F做功的功率剛好變?yōu)榱?br>【解析】選A。從圖中看出，摩擦力從t2時刻開始逐漸減小，t1～t2時間內不變，知F從t1時刻開始減小，做減速運動，故可判斷F做功的功率是從t1時刻開始減小，此后，物體繼續(xù)受滑動摩擦力，直到t2時刻，此過程中摩擦力的大小不變。t2時刻物體的速度剛好變?yōu)榱悖蕋2時刻F做功的功率剛好變?yōu)榱?。此后摩擦力變?yōu)殪o摩擦力，大小隨F的變化而變化，故A正確，B、C、D錯誤。
2.如圖所示，在光滑水平面上放著一個質量為10 kg的木箱，拉力F與水平方向成60°角，F(xiàn)＝2 N，木箱從靜止開始運動，4 s末拉力的瞬時功率為( )
A．0.2 W B．0.4 W C．0.8 W D．1.6W
【解析】選B。根據(jù)牛頓第二定律得加速度a＝ eq \f(Fcs60°,m) ＝ eq \f(2×\f(1,2),10) ＝0.1 m/s2；則
4 s末的速度v＝at＝0.1×4 m/s＝0.4 m/s，則拉力的功率P＝Fvcs60°＝2×0.4
× eq \f(1,2) W＝0.4 W。故B正確，A、C、D錯誤。
【拓展例題】考查內容：估算法計算平均功率
【典例】在一次舉重比賽中，一名運動員在抓舉比賽時，將質量為127.5 kg的杠鈴舉起歷時約2 s，該運動員在舉起杠鈴過程中的平均功率為( )
A．幾十瓦 B．一千瓦左右
C．幾十千瓦 D．幾百千瓦
【解析】選B。抓舉過程中運動員克服重力做功W＝mgh，杠鈴上升的高度h約為2 m，時間t約為2 s，則平均功率P＝ eq \f(W,t) ＝ eq \f(mgh,t) ＝ eq \f(127.5×10×2,2) W＝1275 W＝1.275 kW，故B正確。
額定功率
機械的額定功率是指機械設備所能達到的最大輸出功率，機械設備的實際輸出功率不會大于額定功率，這一點與電器不同。
電器的額定功率是指用電器正常工作時的功率。它的值為用電器的額定電壓乘以額定電流。若用電器的實際功率大于額定功率，則用電器可能會損壞；若實際功率小于額定功率，則用電器無法正常運行。
在正常運行工作狀況下，動力設備的輸出功率或消耗能量的設備的輸入功率，常以“千瓦”為單位。也指工廠生產(chǎn)的機器在正常工作時所能達到的功率。即平常所說的某機器的功率，機器的額定功率是一定的。
探究：通過電視機的銘牌你知道它的額定功率嗎？
提示：230 W。
1．(水平1)以下關于功率的說法中正確的是( )
A．據(jù)P＝ eq \f(W,t) 可知，機器做功越多，其功率就越大
B．據(jù)P＝Fv可知，汽車牽引力一定與速度成反比
C．據(jù)P＝ eq \f(W,t) 可知，只要知道時間t內機器所做的功，就可求得這段時間內任一時刻機器做功的功率
D．據(jù)P＝Fv可知，發(fā)動機功率一定時，交通工具的牽引力與運動速度成反比
【解析】選D。做功越多，若所用時間也很長，則其功率不一定大，A錯；在功率P一定時，牽引力與速度成反比，B錯，D對；P＝ eq \f(W,t) 可求一段時間內的平均功率，不能求任一時刻的瞬時功率，C錯。
2．(水平1)如圖所示，小朋友在彈性較好的蹦床上跳躍翻騰，盡情玩耍，在小朋友接觸床面向下運動的過程中，床面對小朋友的彈力做功情況是( )
A.先做負功，再做正功 B．先做正功，再做負功
C．一直做正功 D．一直做負功
【解析】選D。在小朋友接觸床面向下運動的過程中，床面對小朋友的彈力是向上的，下降的過程中位移一直是向下的，與力的方向相反，一直做負功，D正確，A、B、C錯誤。
3．(水平1)如圖所示，力F大小相等，物體運動的位移l也相同，下列哪種情況下F做功最小( )
【解析】選D。由W＝Fl cs α知選項A中，力F做的功W1＝Fl；選項B中，力F做的功W2＝Fl cs 30°＝ eq \f(\r(3),2) Fl；選項C中，力F做的功W3＝Flcs30°＝ eq \f(\r(3),2) Fl；選項D中，力F做的功W4＝Flcs60°＝ eq \f(1,2) Fl，故D正確。
4．(水平2)如圖所示，木塊A放在木塊B的左上端，用恒力F將A拉至B的右端，第一次將B固定在地面上，F(xiàn)做功為W1，第二次讓B可以在光滑的地面上自由滑動，F(xiàn)做功為W2，比較兩次做功，應有( )
A．W1W2 D．無法比較
【解析】選A。 兩次做功，力F相同，但第二次的位移大于第一次的位移，位移s是相對于地的位移大小，由功的定義式可知，W1

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1 功與功率

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