www.ks5u.com7.2　空間點、直線、平面之間的位置關系必備知識預案自診　知識梳理1.平面的基本性質(zhì)  圖形文字語言符號語言基本事實1過不在　　　　　　　　　　　　　　　,有且只有一個平面 A,B,C三點不共線?有且只有一個平面α,使A∈α,B∈α,C∈α基本事實2如果一條直線上的　　　　　　在一個平面內(nèi),那么這條直線在這個平面內(nèi) A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α?l?α基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們　　　　　　過該點的公共直線 P∈α,且P∈β?α∩β=l,且P∈l基本事實4平行于同一條直線的兩條直線平行若直線a∥b,c∥b,則a∥c 2.空間點、直線、平面之間的位置關系  直線與直線直線與平面平面與平面平行關系圖形語言符號語言a∥ba∥αα∥β相交關系圖形語言符號語言a∩b=Aa∩α=Aα∩β=l獨有關系圖形語言或 符號語言a,b是異面直線a?α  3.異面直線所成的角(1)定義:已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點O分別作直線a'∥a,b'∥b,把a'與b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)范圍:0°<α≤90°.4.等角定理:如果空間中兩個角的兩邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補.1.利用基本事實1和基本事實2,再結(jié)合“兩點確定一條直線”,得到三個推論推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點,有且只有一個平面.推論2:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面.推論3:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面.2.異面直線判定的一個定理過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線,與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線.3.唯一性定理(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直.(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直.考點自診1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)兩個不重合的平面只能把空間分成四個部分.(　　)(2)兩個平面α,β有一個公共點A,就說α,β相交于A點,記作α∩β=A.(　　)(3)已知a,b是異面直線,直線c平行于直線a,則c與b不可能是平行直線.(　　)(4)兩個不重合的平面α,β有一條公共直線a,就說平面α,β相交,并記作α∩β=a.(　　)(5)若a,b是兩條直線,α,β是兩個平面,且a?α,b?β,則a,b是異面直線.(　　)2.下列命題正確的個數(shù)為(　　)①梯形一定是平面圖形;②若兩條直線和第三條直線所成的角相等,則這兩條直線平行;③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面;④如果兩個平面有三個公共點,則這兩個平面重合.　　　　　　　　　　　　　　　　A.0 B.1 C.2 D.33.(2020浙江,6)已知空間中不過同一點的三條直線l,m,n.“l,m,n共面”是“l,m,n兩兩相交”的(　　)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件4.(2020黑龍江大慶實驗中學高三線上測試)已知如圖,點E,F,G,H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1中棱AA1,AB,BC,C1D1的中點,則(　　)A.GH=2EF,且直線EF,GH是相交直線B.GH=2EF,且直線EF,GH是異面直線C.GH≠2EF,且直線EF,GH是相交直線D.GH≠2EF,且直線EF,GH是異面直線5.(2020全國2,16改編)設有下列四個命題:p1:兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi).p2:過空間中任意三點有且僅有一個平面.p3:若空間兩條直線不相交,則這兩條直線平行.p4:若直線l?平面α,直線m⊥平面α,則m⊥l.則上述命題中的真命題是　　　　. 關鍵能力學案突破　考點平面的基本性質(zhì)及應用 【例1】(1)如圖所示,四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC=AD,BE=FA,G,H分別為FA,FD的中點.①四邊形BCHG的形狀是　　　　　; ②點C,D,E,F,G中,能共面的四點是　　　　　. (2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,對角線A1C與平面BDC1交于點O,AC與BD交于點M,則點O與直線C1M的關系是　　　　　. 解題心得共面、共線、共點問題的證明(1)證明點或線共面問題的兩種方法:①首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面,然后證其余的線(或點)在這個平面內(nèi);②將所有條件分為兩部分,然后分別確定平面,再證兩平面重合.(2)證明點共線問題的兩種方法:①先由兩點確定一條直線,再證其他各點都在這條直線上;②直接證明這些點都在同一條特定直線上.(3)證明線共點問題的常用方法是:先證其中兩條直線交于一點,再證其他直線經(jīng)過該點.對點訓練1(1)如圖是正方體或四面體,P,Q,R,S分別是所在棱的中點,則這四個點不共面的一個圖是(　　)(2)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB和AA1的中點.求證:①E,C,D1,F四點共面;②CE,D1F,DA三線共點.             考點空間兩直線位置關系的判定 【例2】(2019全國3,理8)如圖,點N為正方形ABCD的中心,△ECD為正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是線段ED的中點,則(　　)A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線B.BM≠EN,且直線BM,EN是相交直線C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線D.BM≠EN,且直線BM,EN是異面直線解題心得異面直線的判定方法對點訓練2(1)若直線l1和l2是異面直線,l1在平面α內(nèi),l2在平面β內(nèi),l是平面α與平面β的交線,則下列命題正確的是(　　)A.l與l1,l2都不相交B.l與l1,l2都相交C.l至多與l1,l2中的一條相交D.l至少與l1,l2中的一條相交(2)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C1C的中點,有以下四個結(jié)論:①直線AM與CC1是相交直線;②直線AM與BN是平行直線;③直線BN與MB1是異面直線;④直線AM與DD1是異面直線.其中所有正確的結(jié)論為　　　　(填序號). 考點求異面直線所成的角  【例3】如圖,在底面為正方形,側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為(　　)A.　　　　　　　　B.C. D.思維變式1(變條件)將本例條件“AA1=2AB=2”變?yōu)?/span>“AB=1,若平面ABCD內(nèi)有且僅有一點到頂點A1的距離為1”,其他條件不變,則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為　　　　. 思維變式2(變設問)將本例條件“AA1=2AB=2”變?yōu)?/span>“AB=1,若異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為”,其他條件不變,則AA1的值為　　　　. 解題心得求解異面直線所成角的方法 方法解讀平移法通過作圖(如結(jié)合中位線、平行四邊形補形等)來構(gòu)造平行線,作出異面直線所成的角,通過解三角形來求解補形法補成長方體或正方體轉(zhuǎn)化法當異面直線所成角為時,可轉(zhuǎn)化為證明垂直 對點訓練3(2020安徽馬鞍山第二中學高三第二次階段性素質(zhì)測試)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CC1的中點,則異面直線AE與CD所成角的余弦值為(　　)A. B.C. D.0       7.2　空間點、直線、平面之間的位置關系必備知識·預案自診知識梳理1.一條直線上的三個點　兩個點　有且只有一條考點自診1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×2.C　①因梯形有一組對邊平行,所以梯形可以確定一個平面,故①正確;②如等腰三角形中,AB,AC與底邊直線BC所成的角相等,而直線AB,AC不平行,故②錯誤;③兩兩相交的三條直線,比如墻角處的三條交線最多可以確定三個平面,故③正確;④如果兩個平面有三個共線的公共點,這兩個平面不重合,故④錯誤.故選C.3.B　由條件可知,當m,n,l在同一平面內(nèi)時,三條直線不一定兩兩相交,有可能兩條直線平行;或三條直線平行;反過來,當空間中不過同一點的三條直線m,n,l兩兩相交時,如圖,三個不同的交點確定一個平面,則m,n,l在同一平面內(nèi),所以“m,n,l”共面是“m,n,l兩兩相交”的必要不充分條件.故選B.4.C　設正方體的棱長為2,則EF=A1B=,GH=,所以GH≠2EF.設M,N分別為CC1和A1D1的中點,則六邊形EFGMHN是過E,F,G,H四點的平面截正方體的截面,所以EF與GH是共面直線,且EF與GH不平行,所以EF與GH是相交直線.故選C.5.p1,p4　對于命題p1,可設l1與l2相交,這兩條直線確定的平面為α;若l3與l1相交,則交點A在平面α內(nèi),同理,l3與l2的交點B也在平面α內(nèi),所以,AB?α,即l3?α,命題p1為真命題;對于命題p2,若三點共線,則過這三個點的平面有無數(shù)個,命題p2為假命題;對于命題p3,空間中兩條直線可能相交、平行或異面,命題p3為假命題;對于命題p4,若直線m⊥平面α,則直線m垂直于平面α內(nèi)所有直線,∵直線l?平面α,∴直線m⊥直線l,命題p4為真命題.綜上可知,p1,p4為真命題,p2,p3為假命題.關鍵能力·學案突破例1(1)①平行四邊形　②C,D,E,F　(2)點O在直線C1M上　(1)①因為G,H分別為FA,FD的中點,所以GHAD.又BCAD,所以GHBC,所以四邊形BCHG為平行四邊形.②由BE=FA,G為FA的中點,知BE=FG,又BE∥AF,所以四邊形BEFG為平行四邊形,所以EF∥BG.由①知BG∥CH,所以EF∥CH,所以EF與CH共面.又D∈FH,所以C,D,E,F四點共面.(2)如圖所示,連接A1C,因為A1C?平面A1ACC1,O∈A1C,所以O∈平面A1ACC1,而O是平面BDC1與直線A1C的交點,所以O∈平面BDC1,所以點O在平面BDC1與平面A1ACC1的交線上.因為AC∩BD=M,所以M∈平面BDC1.又M∈平面A1ACC1,所以平面BDC1∩平面A1ACC1=C1M,所以O∈C1M.對點訓練1(1)D　A,B,C圖中四點一定共面,D中四點不共面.(2)證明①如圖,連接EF,CD1,A1B.∵E,F分別是AB,AA1的中點,∴EF∥A1B.又A1B∥D1C,∴EF∥CD1,∴E,C,D1,F四點共面.②∵EF∥CD1,EF<CD1,∴CE與D1F必相交,設交點為P,如圖所示.則由P∈CE,CE?平面ABCD,得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,∴P∈直線DA,∴CE,D1F,DA三線共點.例2B　如圖,連接BD,BE.在△BDE中,N為BD的中點,M為DE的中點,∴BM,EN是相交直線,排除選項C,D.作EO⊥CD于點O,連接ON.作MF⊥OD于點F,連接BF.∵平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE∩平面ABCD=CD,EO⊥CD,EO?平面CDE,∴EO⊥平面ABCD.同理,MF⊥平面ABCD.∴△MFB與△EON均為直角三角形.設正方形ABCD的邊長為2,易知EO=,ON=1,MF=,BF=,則EN==2,BM=,∴BM≠EN.故選B.對點訓練2(1)D　(2)③④　(1)由直線l1和l2是異面直線可知l1與l2不平行,故l1,l2中至少有一條與l相交.(2)直線AM與CC1是異面直線,直線AM與BN也是異面直線,故①②錯誤.結(jié)論③④正確.例3D　連接BC1,易證BC1∥AD1,則∠A1BC1或其補角為異面直線A1B與AD1所成的角.連接A1C1,由AB=1,AA1=2,易得A1C1=,A1B=BC1=,故cos∠A1BC1=,即異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為.思維變式1　由平面ABCD內(nèi)有且僅有一點到A1的距離為1,得AA1=1.此時正四棱柱變?yōu)檎襟wABCD-A1B1C1D1.由圖知A1B與AD1所成角為∠A1BC1,連接A1C1,則△A1BC1為等邊三角形,∴∠A1BC1=60°,∴cos∠A1BC1=,故異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為.思維變式23　設AA1=t.∵A1C1=,A1B==BC1,∴cos∠A1BC1==.∴t=3,即AA1=3.對點訓練3B　連接BE,∵CD∥AB,∴∠BAE是異面直線AE與CD所成角(或所成角的補角),設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,則AB=2,又點E是CC1的中點,∴BE=.又AB⊥BE,∴AE==3,∴異面直線AE與CD所成角(或所成角的補角)的余弦值為cos∠BAE=.故異面直線AE與CD所成角的余弦值為.故選B.

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