第五節(jié) 古典概型、幾何概型授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第383頁[A組　基礎(chǔ)保分練]1．（2021·廈門月考）甲、乙兩名同學(xué)分別從“象棋”“文學(xué)”“攝影”三個社團中隨機選取一個社團加入，則這兩名同學(xué)加入同一個社團的概率是（　?。?/span>A．　　　　　　　　 B．C．  D．解析：由題意，甲、乙兩名同學(xué)各自等可能地從“象棋”“文學(xué)”“攝影”三個社團中選取一個社團加入，共有3×3＝9種不同的結(jié)果，這兩名同學(xué)加入同一個社團有3種情況，則這兩名同學(xué)加入同一個社團的概率是＝．答案：B2．利用計算機在區(qū)間（0，4）內(nèi)產(chǎn)生隨機數(shù)a，則不等式log2（2a－1）＜0成立的概率是（　?。?/span>A．  B．C．  D．解析：由log2（2a－1）＜0，可得0＜2a－1＜1，即＜a＜1，由幾何概型的概率計算公式，可得所求概率P＝＝．答案：D3．（2021·長沙模擬）如圖是一個邊長為8的正方形苗圃圖案，中間黑色大圓與正方形的內(nèi)切圓共圓心，圓與圓之間是相切的，且中間黑色大圓的半徑是黑色小圓半徑的2倍．若在正方形圖案上隨機取一點，則該點取自黑色區(qū)域的概率為（　?。?/span>A．  B．C．1－  D．1－解析：正方形的面積為82，正方形的內(nèi)切圓半徑為4，中間黑色大圓的半徑為2，黑色小圓的半徑為1，所以白色區(qū)域的面積為π×42－π×22－4×π×12＝8π，所以黑色區(qū)域的面積為82－8π．在正方形圖案上隨機取一點，則該點取自黑色區(qū)域的概率為P＝＝1－．答案：C4．從集合A＝{2，3，－4}中隨機選取一個數(shù)記為k，從集合B＝{－2，－3，4}中隨機選取一個數(shù)記為b，則直線y＝kx＋b不經(jīng)過第二象限的概率為（　　）A．  B．C．  D．解析：依題意k和b的所有可能的取法一共有9種，當直線y＝kx＋b不經(jīng)過第二象限時，應(yīng)有k＞0，b＜0，一共有4種，所以所求概率為．答案：C5．（2021·河南洛陽模擬）在邊長為2的正三角形內(nèi)部隨機取一個點，則該點到三角形3個頂點的距離都不小于1的概率為（　　）A．1－  B．1－C．1－  D．1－解析：若點P到三個頂點的距離都不小于1，則分別以A，B，C為圓心作半徑為1的圓，則P的位置位于陰影部分，如圖所示．在三角形內(nèi)部的三個扇形的面積之和為×3××12＝，△ABC的面積S＝×22×sin 60°＝，則陰影部分的面積S＝－，則對應(yīng)的概率P＝＝1－． 答案：B 6．某學(xué)校星期一至星期五每天上午共安排五節(jié)課，每節(jié)課的時間為40分鐘，第一節(jié)課上課的時間為7：50～8：30，課間休息10分鐘．某同學(xué)請假后返校，若他在8：50～9：30之間隨機到達教室，則他聽第二節(jié)課的時間不少于20分鐘的概率為（　?。?/span>A．　　 B．　　　C．　　　 D．解析：隨機到達教室總的時間長度為40分鐘，第二節(jié)課8：40開始，9：20結(jié)束，聽第二節(jié)課的時間不少于20分鐘，必須在9：00前到達教室，即8：50～9：00到達即可，時間長度為10分鐘，根據(jù)幾何概型可知聽第二節(jié)課的時間不少于20分鐘的概率P＝＝．答案：B7．（2019·高考江蘇卷）從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是_________．解析：設(shè)3名男同學(xué)分別為A，B，C，2名女同學(xué)分別為a，b，則所有等可能事件分別為AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10個，選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)包含的基本事件分別為Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7個，故所求概率為．同法一，得所有等可能事件共10個，選出的2名同學(xué)中沒有女同學(xué)包含的基本事件分別為AB，AC，BC，共3個，故所求概率為1－＝．答案： 8．如圖所示，黑色部分和白色部分圖形是由曲線y＝，y＝－，y＝x，y＝－x及圓構(gòu)成的．在圓內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是_________．解析：根據(jù)圖像的對稱性知，黑色部分圖形的面積為圓面積的四分之一，在圓內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是．答案：9．已知關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）＝b2x2－（a＋1）x＋1．（1）若a，b分別表示將一質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個面的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）先后拋擲兩次時第一次、第二次出現(xiàn)的點數(shù)，求y＝f（x）恰有一個零點的概率；（2）若a，b∈[1，6]，求滿足y＝f（x）有零點的概率．解析：（1）設(shè)（a，b）表示一個基本事件，則拋擲兩次骰子的所有基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），…，（6，5），（6，6），共36個．用A表示事件“y＝f（x）恰有一個零點”，即Δ＝[－（a＋1）]2－4b2＝0，則a＋1＝2b．則A包含的基本事件有（1，1），（3，2），（5，3），共3個，所以P（A）＝＝．即事件“y＝f（x）恰有一個零點”的概率為．（2）用B表示事件“y＝f（x）有零點”，即a＋1≥2b．試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為{（a，b）|1≤a≤6，1≤b≤6}，構(gòu)成事件B的區(qū)域為{（a，b）|1≤a≤6，1≤b≤6，a－2b＋1≥0}．所以所求的概率為P（B）＝＝，即事件“y＝f（x）有零點”的概率為．10．為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某城區(qū)對轄區(qū)內(nèi)A，B，C三類行業(yè)共200個單位的生態(tài)環(huán)境治理成效進行了考核評估，考評成績達到80分及其以上的單位被稱為“星級”環(huán)保單位，未達到80分的單位被稱為“非星級”環(huán)保單位．現(xiàn)通過分層抽樣的方法獲得了這三類行業(yè)的20個單位，其考評分數(shù)如下：A類行業(yè)：85，82，77，78，83，87；B類行業(yè)：76，67，80，85，79，81；C類行業(yè)：87，89，76，86，75，84，90，82．（1）試估算這三類行業(yè)中每類行業(yè)的單位個數(shù)；（2）若在A類行業(yè)抽樣的這6個單位中，隨機選取3個單位進行交流發(fā)言，求選出的3個單位中既有“星級”環(huán)保單位，又有“非星級”環(huán)保單位的概率．解析：（1）由題意，抽取的三類行業(yè)單位個數(shù)之比為3∶3∶4．由分層抽樣的定義，有A類行業(yè)單位的個數(shù)為×200＝60；B類行業(yè)單位的個數(shù)為×200＝60；C類行業(yè)單位的個數(shù)為×200＝80．∴A，B，C三類行業(yè)單位的個數(shù)分別為60，60，80．（2）記選出的這3個單位中既有“星級”環(huán)保單位，又有“非星級”環(huán)保單位為事件M．在A類行業(yè)的6個單位中隨機選取3個單位的考評數(shù)據(jù)情形有：{85，82，77}，{85，82，78}，{85，82，83}，{85，82，87}，{85，77，78}，{85，77，83}，{85，77，87}，{85，78，83}，{85，78，87}，{85，83，87}，{82，77，78}，{82，77，83}，{82，77，87}，{82，78，83}，{82，78，87}，{82，83，87}，{77，78，83}，{77，78，87}，{77，83，87}，{78，83，87}．共20種．這3個單位都是“星級”環(huán)保單位的考評數(shù)據(jù)情形有：{85，82，83}，{85，82，87}，{85，83，87}，{82，83，87}．共4種．這3個單位都是“非星級”環(huán)保單位的考評數(shù)據(jù)情形有0種．∴這3個單位都是“星級”環(huán)保單位或都是“非星級”環(huán)保單位的情形共有4種．∴所求概率P（M）＝1－＝．[B組　能力提升練]1．（2021·石家莊摸底）大學(xué)生小明與另外3名大學(xué)生一起分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個村小學(xué)進行支教，若每個村小學(xué)至少分配1名大學(xué)生，則小明恰好分配到甲村小學(xué)的概率為（　?。?/span>A．  B．C．  D．解析：大學(xué)生小明與另外3名大學(xué)生一起分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個村小學(xué)進行支教，每個村小學(xué)至少分配1名大學(xué)生，基本事件總個數(shù)n＝CA＝36，小明恰好分配到甲村小學(xué)包含的基本事件個數(shù)m＝A＋CA＝12，所以小明恰好分配到甲村小學(xué)的概率P＝＝＝．答案：C2．（2021·廣州四校聯(lián)考）某校有高一、高二、高三三個年級，其人數(shù)之比為2∶2∶1，現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個容量為10的樣本，再從所抽取樣本中選2人進行問卷調(diào)查，則至少有1人是高一學(xué)生的概率為（　?。?/span>A．  B．C．  D．解析：從高一、高二、高三所抽取的人數(shù)分別為4，4，2，再從所取樣本中選2人進行問卷調(diào)查的總的情況數(shù)為C＝＝45，則至少有1人是高一學(xué)生的情況數(shù)為CC＋C＝4×6＋6＝30，故至少有1人是高一學(xué)生的概率為＝．答案：C3．（2020·安徽合肥模擬）已知圓C：x2＋y2＝4與y軸負半軸交于點M，圓C與直線l：x－y＋1＝0相交于A，B兩點，那么在圓C內(nèi)隨機取一點，則該點落在△ABM內(nèi)的概率為（　　）A．  B．C．  D．解析：如圖所示，由點到直線距離公式得|OC|＝＝，則|AB|＝2  ＝，同理可得|MD|＝＝，所以S△MAB＝|AB|·|MD|＝，由幾何概型知，該點落在△ABM內(nèi)的概率為＝＝．答案：A4．博覽會安排了分別標有“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能隨機順序前往酒店接嘉賓，某嘉賓突發(fā)奇想，設(shè)計兩種乘車方案．方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車．記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P1，P2，則（　?。?/span>A．P1·P2＝  B．P1＝P2＝C．P1＜P2  D．P1＋P2＝解析：三輛車的出發(fā)順序共有6種可能：（1，2，3），（1，3，2），（2，1，3），（2，3，1），（3，1，2），（3，2，1）．若該嘉賓按方案一乘車，坐到“3號”車的可能情況有（1，3，2），（2，1，3），（2，3，1），共3種，所以其坐到“3號”車的概率P1＝＝；若該嘉賓按方案二乘車，坐到“3號”車的可能情況有（3，1，2），（3，2，1），共2種，所以其坐到“3號”車的概率P2＝＝．所以P1＋P2＝．答案：D5．（2021·遼寧省實驗中學(xué)期末測試）為了弘揚我國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某中學(xué)廣播站在中國傳統(tǒng)節(jié)日：春節(jié)、元宵節(jié)、清明節(jié)、端午節(jié)、中秋節(jié)五個節(jié)日中隨機選取兩個節(jié)日來講解其文化內(nèi)涵，那么春節(jié)和端午節(jié)至少有一個被選中的概率是_________．解析：設(shè)事件A＝{春節(jié)和端午節(jié)至少有一個被選中}，則＝{兩個節(jié)日都沒被選中}，所以P（A）＝1－P（）＝1－＝0．7．答案：0．76．古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯在公元前六世紀發(fā)現(xiàn)了“完全數(shù)”6和28，后人進一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)3個“完全數(shù)”分別為496，8 128，33 550 336，現(xiàn)將這5個“完全數(shù)”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，則6和28恰好在同一組的概率為_________．解析：記5個“完全數(shù)”中隨機抽出2個為第一組，剩下3個為第二組，則基本事件總數(shù)為10．又6和28恰好在第一組有1種情況，6，28和其他3個數(shù)中的1個在第二組有3種情況，所以所求概率為＝．答案：7．（2021·甘肅診斷）甘肅省瓜州縣自古就以盛產(chǎn)蜜瓜而名揚中外，生產(chǎn)的瓜州蜜瓜有4個系列30多個品種，質(zhì)脆汁多，香甜可口，清爽宜人，含糖量達14%～19%，是消暑止渴的佳品．有詩贊曰：冰泉浸綠玉，霸刀破黃金；涼冷消晚暑，清甘洗渴心．調(diào)查表明，蜜瓜的甜度與海拔高度、日照時長、溫差有極強的相關(guān)性，分別用x，y，z表示蜜瓜甜度與海拔高度、日照時長、溫差的相關(guān)程度，并對它們進行量化：0表示一般，1表示良，2表示優(yōu)，再用綜合指標ω＝x＋y＋z的值評定蜜瓜的等級，若ω≥4，則為一級；若2≤ω≤3，則為二級；若0≤ω≤1，則為三級．近年來，周邊各省也開始發(fā)展蜜瓜種植，為了了解目前蜜瓜在周邊各省的種植情況，研究人員從不同省份隨機抽取了10塊蜜瓜種植地，得到如下結(jié)果：種植地編號ABCDE（x，y，z）（1，0，0）（2，2，1）（0，1，1）（2，0，2）（1，1，1）      種植地編號FGHIJ（x，y，z）（1，1，2）（2，2，2）（0，0，1）（2，2，1）（0，2，1）（1）若有蜜瓜種植地110塊，試估計等級為三級的蜜瓜種植地的數(shù)量；（2）從樣本里等級為一級的蜜瓜種植地中隨機抽取兩塊，求這兩塊種植地的綜合指標ω至少有一個為4的概率．解析：（1）計算10塊種植地的綜合指標，可得下表：編號ABCDEFGHIJ綜合指標ω1524346153由上表可知：等級為三級的有A，H，共2塊，其頻率為．用樣本的頻率估計總體的頻率，可估計等級為三級的蜜瓜種植地的數(shù)量為110×＝22（塊）．（2）由（1）可知，等級是一級的（ω≥4）有B，D，F，G，I，共5塊，從中隨機抽取兩塊，所有的可能結(jié)果為：（B，D），（B，F），（B，G），（B，I），（D，F），（D，G），（D，I），（F，G），（F，I），（G，I），共10個．其中綜合指標ω＝4的有D，F，2塊，符合題意的可能結(jié)果為（B，D），（B，F），（D，F），（D，G），（D，I），（F，G），（F，I），共7個，設(shè)“兩塊種植地的綜合指標ω至少有一個為4”為事件M，則P（M）＝．[C組　創(chuàng)新應(yīng)用練]1．2013年華人數(shù)學(xué)家張益唐證明了孿生素數(shù)猜想的一個弱化形式．孿生素數(shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個問題之一，可以這樣描述：存在無窮多個素數(shù)p，使得p＋2是素數(shù)．素數(shù)對（p，p＋2）稱為孿生素數(shù)．從10以內(nèi)的素數(shù)中任取2個構(gòu)成素數(shù)對，其中能構(gòu)成孿生素數(shù)的概率為（　　）A．　　　　　　　 B．C．  D．解析：10以內(nèi)的素數(shù)有2，3，5，7，共4個，從中任取2個構(gòu)成的素數(shù)對有12個．根據(jù)素數(shù)對（p，p＋2）稱為孿生素數(shù)，知10以內(nèi)的素數(shù)組成的素數(shù)對（3，5），（5，7）為孿生素數(shù)，所以能構(gòu)成孿生素數(shù)的概率P＝＝．答案：D2．（2021·惠州二調(diào)）我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“任何一個大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個素數(shù)之和”，如40＝3＋37．在不超過40的素數(shù)中，隨機選取2個不同的數(shù)，其和等于40的概率是（　?。?/span>A．  B．C．  D．解析：不超過40的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，共12個數(shù)．40＝3＋37＝11＋29＝17＋23，共3組數(shù)的和等于40，所以隨機選取2個不同的數(shù)，其和等于40的概率為＝．答案：C3．（2021·大同調(diào)研）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽所著的《周髀算經(jīng)注》中給出了勾股定理的絕妙證明，如圖所示是趙爽的弦圖，弦圖是一個以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實，圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形，分別涂成紅（朱）色、黃色，其面積稱為朱實、黃實，利用2×勾×股＋（股－勾）2＝4×朱實＋黃實＝弦實，化簡得勾2＋股2＝弦2，設(shè)其中勾股比為1∶，若向弦圖內(nèi)隨機拋擲1 000顆圖釘（大小忽略不計），則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為（　?。?/span>A．866  B．500C．300  D．134解析：因為勾股比為1∶，不妨設(shè)勾為1，則股為，大正方形的邊長為2，小正方形的邊長為－1．設(shè)落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)為n，則有＝，解得n≈134．答案：D

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