?單元檢測(cè)十五　概率、隨機(jī)變量及其分布
(時(shí)間：120分鐘　滿分：150分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．(2021·商丘模擬)某人連續(xù)投籃2次，事件“至少有1次投中”的對(duì)立事件是(　　)
A．恰有1次投中 B．至多有1次投中
C．2次都投中 D．2次都未投中
答案　D
解析　某人連續(xù)投籃2次，事件“至少有1次投中”的對(duì)立事件是2次都未投中．
2．同時(shí)擲兩個(gè)骰子，向上的點(diǎn)數(shù)之和是6的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　同時(shí)擲兩個(gè)骰子，共有6×6＝36(個(gè))樣本點(diǎn)．
其中點(diǎn)數(shù)之和是6的有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5個(gè)樣本點(diǎn)．
∴點(diǎn)數(shù)之和是6的概率為.
3．(2020·日照聯(lián)考)兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件．加工為一等品的概率分別為和，兩個(gè)零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　記兩個(gè)零件中恰好有一個(gè)一等品的事件為A，
即僅第一個(gè)實(shí)習(xí)生加工一等品為事件A1，
僅第二個(gè)實(shí)習(xí)生加工一等品為事件A2兩種情況，
則P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝×＋×＝.
4．某校教師志愿者團(tuán)隊(duì)開展“愛心輔學(xué)”活動(dòng)，為烈士子女在線輔導(dǎo)功課．現(xiàn)隨機(jī)安排甲、乙兩位志愿者為1位小學(xué)生輔導(dǎo)功課共4次，每位志愿者至少輔導(dǎo)1次，每次由1位志愿者輔導(dǎo)，則甲至少輔導(dǎo)2次的概率為(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　甲、乙2位志愿者為1位小學(xué)生輔導(dǎo)功課共4次，每位志愿者至少輔導(dǎo)1次，每次由1位志愿者輔導(dǎo)，相當(dāng)于每天從2人中選一人，且每人至少被選一次的選法有24－2＝14(種)，則甲只輔導(dǎo)1次的情況有甲乙乙乙、乙甲乙乙、乙乙甲乙、乙乙乙甲共4種安排法．所以甲至少輔導(dǎo)2次的概率為P＝1－＝.
5．(2020·邢臺(tái)第二中學(xué)期末)如圖所示，A，B，C表示3個(gè)開關(guān)，若在某段時(shí)間內(nèi)，它們正常工作的概率分別為0.9,0.8,0.8，則該系統(tǒng)的可靠性(3個(gè)開關(guān)只要一個(gè)開關(guān)正常工作即可靠)為(　　)

A．0.504 B．0.994 C．0.996 D．0.964
答案　C
解析　由題意知，所求概率為1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.8)＝1－0.004＝0.996.
6．拋擲甲、乙兩顆骰子，若事件A：“甲骰子的點(diǎn)數(shù)大于4”；事件B：“甲、乙兩骰子的點(diǎn)數(shù)之和等于7”，則P(B|A)的值等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由題意得，P(AB)＝，P(A)＝，
所以P(B|A)＝＝.
7．紅心臍橙又名卡拉卡拉紅肉臍橙．為“948”項(xiàng)目引進(jìn)品種．該品種果肉粉紅色至紅色，色澤均勻，有特殊香味，品質(zhì)優(yōu)、商品性好，果實(shí)近圓形、閉臍，平均果重200克左右，座果率高、投產(chǎn)早、極耐儲(chǔ)藏，冷庫儲(chǔ)藏期達(dá)4個(gè)月以上．該品種作為新特殊品種極具推廣價(jià)值．據(jù)統(tǒng)計(jì)，紅心臍橙的重量(單位：克)服從正態(tài)分布N(200,102)，則重量在(190,220]內(nèi)的概率為(　　)
附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5.
A．0.682 7 B．0.841 3 C．0.818 6 D．0.954 5
答案　C
解析　紅心臍橙的重量(單位：克)服從正態(tài)分布N(200,102)，可得μ＝200，σ＝10，則重量在(190,220]內(nèi)的概率P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－[P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]＝
[P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＋P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]＝(0.682 7＋0.954 5)＝0.818 6.
8．某公司圓滿完成年初制定的生產(chǎn)目標(biāo)，為答謝各位員工一年來的銳意進(jìn)取和辛勤努力，公司決定召開年終總結(jié)聯(lián)歡晚會(huì)，在聯(lián)歡晚會(huì)上準(zhǔn)備舉行一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲，規(guī)定：每位員工從一個(gè)裝有4張獎(jiǎng)券的箱子中，一次隨機(jī)摸出2張獎(jiǎng)券，獎(jiǎng)券上所標(biāo)的面值之和就是該員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額．若箱子中所裝的4張獎(jiǎng)券中有1張面值為80元，其余3張面值均為40元，則每位員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額的均值是(　　)
A．80元 B．100元 C．120元 D．140元
答案　B
解析　設(shè)每位員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額為X，則X的所有可能取值為80,120，則P(X＝80)＝＝，P(X＝120)＝＝，
所以員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額的均值為E(X)＝80×＋120×＝100(元)．
9．將甲、乙等6位同學(xué)平均分成正方、反方兩組舉行辯論賽，則甲、乙被分在不同組的概率為(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由題意可知，甲乙被分在不同組的分組組數(shù)為CC，所有的分組組數(shù)為C，結(jié)合古典概型計(jì)算公式可得滿足題意的概率值為P＝＝.
10．(2020·濰坊統(tǒng)考)某市有A，B，C，D四個(gè)景點(diǎn)，一位游客來該市游覽，已知該游客游覽A的概率為，游覽B，C和D的概率都是，且該游客是否游覽這四個(gè)景點(diǎn)相互獨(dú)立．用隨機(jī)變量X表示該游客游覽的景點(diǎn)的個(gè)數(shù)，下列不正確的是(　　)
A．游客至多游覽一個(gè)景點(diǎn)的概率為
B．P(X＝2)＝
C．P(X＝4)＝
D．E(X)＝
答案　C
解析　記該游客游覽i個(gè)景點(diǎn)為事件Ai，i＝0,1，
則P(A0)＝×××＝，P(A1)＝×3＋C××2＝，
所以游客至多游覽一個(gè)景點(diǎn)的概率為P(A0)＋P(A1)＝＋＝，故A正確；
隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,4，
P(X＝0)＝P(A0)＝，
P(X＝1)＝P(A1)＝，
P(X＝2)＝×C××2＋×C×2×＝，故B正確；
P(X＝3)＝×C×2×＋×C×3＝，
P(X＝4)＝×3＝，故C錯(cuò)誤；
均值為E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，故D正確．
11．(2021·山東省九校聯(lián)考)吸煙有害健康，小明為了幫助爸爸戒煙，在爸爸包里放一個(gè)小盒子，里面隨機(jī)擺放三支香煙和三支跟香煙外形完全一樣的“戒煙口香糖”，并且和爸爸約定，每次想吸煙時(shí)，從盒子里任取一支，若取到口香糖則吃一支口香糖，不吸煙；若取到香煙，則吸一支煙，不吃口香糖，假設(shè)每次香煙和口香糖被取到的可能性相同，則“口香糖吃完時(shí)還剩2支香煙”的概率為(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由題：“口香糖吃完時(shí)還剩2支香煙”說明第四次取到的是口香糖，前三次中恰有兩次口香糖一次香煙，記香煙為A1，A2，A3，口香糖為B1，B2，B3，進(jìn)行四次取物，
基本事件總數(shù)為6×5×4×3＝360(種)，
事件“口香糖吃完時(shí)還剩2支香煙”前四次取物順序分為以下三種情況：
煙、糖、糖、糖：3×3×2×1＝18(種)，
糖、煙、糖、糖：3×3×2×1＝18(種)，
糖、糖、煙、糖：3×2×3×1＝18(種)，
包含的基本事件的個(gè)數(shù)為54，
所以其概率為＝.
12．(2020·杭州模擬)隨機(jī)變量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c

其中a，b，c成等差數(shù)列，則D(ξ)的最大值為(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　∵a，b，c成等差數(shù)列，
∴2b＝a＋c，∵a＋b＋c＝1，∴b＝，c＝－a，
∴E(ξ)＝－a＋c＝－2a＋，
D(ξ)＝2×a＋2×b＋2×＝－4a2＋a＋
＝－42＋≤.
則D(ξ)的最大值為.
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)
13．一個(gè)家庭中有三個(gè)小孩，假定生男、生女是等可能的．已知這個(gè)家庭中有一個(gè)是男孩，則至少有一個(gè)女孩的概率是________．
答案　
解析　這個(gè)家庭有三個(gè)小孩且其中有一個(gè)是男孩的所有樣本點(diǎn)：(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，其中，至少有一個(gè)女孩包含了6個(gè)樣本點(diǎn)，則至少有一個(gè)女孩的概率為.
14．(2020·江蘇省南通市如皋市調(diào)研)已知直線l：ax＋by－1＝0，若a∈{－1,1}，b∈{－2，－1,1}，則l不經(jīng)過第二象限的概率為________．
答案　
解析　∵直線l：ax＋by－1＝0，
若a∈{－1,1}，b∈{－2，－1,1}，
∴(a，b)包含的基本事件總數(shù)n＝2×3＝6，
∵l不經(jīng)過第二象限，
∴a≥0，且b≤0，
∴滿足l不經(jīng)過第二象限的(a，b)有(1，－2)，(1，－1)，共2個(gè)，
∴l(xiāng)不經(jīng)過第二象限的概率為P＝＝.
15．(2021·德州期末)隨機(jī)變量X的取值為0,1,2，P(X＝0)＝0.2，D(X)＝0.4，則E(X)＝________.
答案　1
解析　設(shè)P(X＝2)＝x，其中0≤x≤0.8，
可得出P(X＝1)＝0.8－x，
∴E(X)＝0×0.2＋1×(0.8－x)＋2x＝x＋0.8，
D(X)＝(x＋0.8)2×0.2＋(x－0.2)2×(0.8－x)＋(x－1.2)2×x＝0.4，解得x＝0.2，
∴E(X)＝0×0.2＋1×0.6＋2×0.2＝1.
16．(2020·溫州市平陽中學(xué)模擬)某陶瓷廠準(zhǔn)備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過程必須先后經(jīng)過兩次燒制，當(dāng)?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M(jìn)入第二次燒制，再次燒制過程相互獨(dú)立．根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平，經(jīng)過第一次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.5,0.6,0.4，經(jīng)過第二次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.6,0.5,0.75；則第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率為________；經(jīng)過前后兩次燒制后，合格工藝品的件數(shù)為ξ，則隨機(jī)變量ξ的均值為________．
答案　0.38　0.9
解析　第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率為
P＝0.5×(1－0.6)×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.4)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.4＝0.38.
經(jīng)過兩次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率分別為
P1＝0.5×0.6＝0.3，P2＝0.6×0.5＝0.3，
P3＝0.4×0.75＝0.3.
隨機(jī)變量ξ的可能取值為0,1,2,3，
故P(ξ＝0)＝(1－0.3)3＝0.343；
P(ξ＝1)＝C×0.3×(1－0.3)2＝0.441；
P(ξ＝2)＝C×0.32×(1－0.3)＝0.189；
P(ξ＝3)＝0.33＝0.027.
故E(ξ)＝0.343×0＋0.441×1＋0.189×2＋0.027×3＝0.9.
三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(10分)先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b.
(1)求直線ax＋by＋5＝0與圓x2＋y2＝1相切的概率；
(2)已知集合M＝{x∈R|x2＋ax＋b＝0}，求集合M中有兩個(gè)不相同元素的概率．
解　(1)直線ax＋by＋5＝0與圓x2＋y2＝1相切等價(jià)于＝1，即a2＋b2＝25，
所有基本事件為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36個(gè)，
其中滿足a2＋b2＝25的基本事件為(3,4)，(4,3)，共2個(gè)，
根據(jù)古典概型的概率公式可得所求事件的概率為＝.
(2)集合M中有兩個(gè)不相同元素等價(jià)于a2－4b>0，其包含的基本事件為(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共17個(gè)，
根據(jù)古典概型的概率公式可得所求事件的概率為.
18．(12分)從某工廠抽取50名工人進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們一天加工零件的個(gè)數(shù)在50至350之間，現(xiàn)按生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)將他們分成六組，第一組[50,100)，第二組[100,150)，第三組[150,200)，第四組[200,250)，第五組[250,300)，第六組[300,350]，相應(yīng)的樣本頻率分布直方圖如圖所示．

(1)求頻率分布直方圖中x的值；
(2)設(shè)位于第六組的工人為拔尖工，位于第五組的工人為熟練工，現(xiàn)用分層抽樣的方法在這兩類工人中抽取一個(gè)容量為6的樣本，從樣本中任意取兩個(gè)，求至少有一個(gè)拔尖工的概率．
解　(1)根據(jù)題意知，(0.002 4＋0.003 6＋x＋0.004 4＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，
解得x＝0.006 0.
(2)由題意知拔尖工共有50×0.001 2×50＝3(人)，熟練工共有50×0.002 4×50＝6(人)．
抽取容量為6的樣本，則拔尖工應(yīng)抽取6×＝2(人)，熟練工應(yīng)抽取6×＝4(人)．
設(shè)拔尖工為A1，A2，熟練工為B1，B2，B3，B4.
則從中任抽兩個(gè)的所有可能情況有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A1，A2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共15種，
其中，至少有一個(gè)拔尖工的情況有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A1，A2)，共9種，
由古典概型概率公式可得，至少有一個(gè)拔尖工的概率是＝.
19．(12分)盒子中裝有編號(hào)為1,2,3,4,5,6的六個(gè)球．
(1)從中任意取出兩個(gè)球，求這兩個(gè)球的編號(hào)之和為偶數(shù)的概率；
(2)從中任意取出三個(gè)球，記X為編號(hào)為偶數(shù)的球的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
解　(1)從編號(hào)為1,2,3,4,5,6的六個(gè)球中任意取出兩個(gè)球，共有C＝15(種)可能，
取出的兩球編號(hào)之和為偶數(shù)包含的基本事件有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)，共6個(gè)基本事件，
因此從六個(gè)球中任意取出兩個(gè)球，這兩個(gè)球的編號(hào)之和為偶數(shù)的概率為P＝＝.
(2)由題意，X的可能取值為0,1,2,3，
則P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列為
X
0
1
2
3
P





數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
20．(12分)2020年歲末年初，“新冠肺炎”疫情以其洶洶襲來之勢(shì)席卷了我國的武漢，在這關(guān)鍵的時(shí)刻，在黨中央的正確指導(dǎo)下，以巨大的魄力，驚人的壯舉，勇敢的付出，及時(shí)阻斷了疫情的傳播，讓這片土地成為了世界上最溫暖的家園；通過全國人民的齊心協(xié)力，特別是全體一線醫(yī)護(hù)人員的奮力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．如表統(tǒng)計(jì)了2月12日到2月18日連續(xù)七天全國的治愈人數(shù)：(單位：例)
日期
12
13
14
15
16
17
18
治愈人數(shù)
1 171
1 081
1 373
1 323
1 425
1 701
1 824

請(qǐng)根據(jù)以上信息，回答下列問題：
(1)記前四天治愈人數(shù)的平均數(shù)和方差分別為1和s，后三天治愈人數(shù)的平均數(shù)和方差分別為2和s，判斷1與2，s與s的大小(直接寫出結(jié)論)；
(2)從這七天中任取連續(xù)的兩天，則后一天的治愈人數(shù)比前一天的治愈人數(shù)多于200例的概率；
(3)設(shè)集合M＝{(xi，xi＋1)|xi表示2月i日的治愈人數(shù)，i＝12,13，…，17}，從集合M中任取兩個(gè)元素，設(shè)其中滿足xi

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