單元檢測(cè)十三　計(jì)數(shù)原理(時(shí)間：120分鐘　滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．2020年初，我國(guó)向相關(guān)國(guó)家派出了由醫(yī)療專家組成的醫(yī)療小組．現(xiàn)有四個(gè)醫(yī)療小組和4個(gè)需要援助的國(guó)家，每個(gè)醫(yī)療小組只去一個(gè)國(guó)家，且4個(gè)醫(yī)療小組去的國(guó)家各不相同，則不同的分配方法有(　　)A．64種  B．48種  C．24種  D．12種答案　C解析　4個(gè)醫(yī)療小組全排列后按順序到四個(gè)國(guó)家即可，共有A＝24(種)方法．2．在5的二項(xiàng)展開式中x2的系數(shù)為(　　)A．40  B．－40  C．80  D．－80答案　D解析　因?yàn)?/span>5展開式的第k＋1項(xiàng)為Tk＋1＝C(2x)5－k(－1)kx－2k＝C(－1)k25－kx5－3k，令5－3k＝2，則k＝1，所以5的二項(xiàng)展開式中x2的系數(shù)為C×(－1)×24＝－80.3．(2020·北京市通州區(qū)期末)甲、乙、丙、丁四名同學(xué)和一名老師站成一排合影留念．若老師站在正中間，甲同學(xué)不與老師相鄰，乙同學(xué)與老師相鄰，則不同站法種數(shù)為(　　)A．24  B．12  C．8  D．6答案　C解析　由題：老師站中間，第一步：排乙，乙與老師相鄰，2種排法；第二步：排甲，此時(shí)甲有兩個(gè)位置可以站，2種排法；第三步：排剩下兩位同學(xué)，2種排法，所以共2×2×2＝8(種)．4.6展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為(　　)A．26  B．36  C．46  D．1答案　A解析　令x＝1，得6展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為(3－1)6＝26.5.如圖，用四種不同的顏色給圖中的A，B，C，D，E，F六個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同的顏色，而且四種不同的顏色要全部用完，則不同的涂色方法共有(　　)A．144種  B．216種  C．264種  D．360種答案　B解析　由題意，4種顏色都用到，先給A，B，C三點(diǎn)涂色，有A種涂法，再給D，E，F涂色，因?yàn)?/span>D，E，F中必有一點(diǎn)用到第4種顏色，有C種涂法，所以另外兩點(diǎn)用到A，B，C三點(diǎn)所用顏色中的兩種，有C種涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得ACC＝216(種)．6．在(2－x)6(x＋1)展開式中，含x4的項(xiàng)的系數(shù)是(　　)A．220  B．－220  C．100  D．－100答案　D解析　由題意知，含x4的項(xiàng)有兩部分，即C23(－x)3·x＋C22(－x)4，所以含x4的項(xiàng)的系數(shù)是－C23＋C22＝－100.7．若用0,1,2,3,4,5這6個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字且奇數(shù)數(shù)字互不相鄰的六位數(shù)，則這樣的六位數(shù)共有(　　)A．120個(gè)  B．132個(gè)  C．144個(gè)  D．156個(gè)答案　B解析　先排0,2,4，再讓1,3,5插空．總的排法共A·A＝144.其中0在排頭，將1,3,5插在后三個(gè)空的排法共A·A＝12，此時(shí)構(gòu)不成六位數(shù)，故總的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為144－12＝132.8．設(shè)常數(shù)a∈R.若5的二項(xiàng)展開式中含x7的項(xiàng)的系數(shù)為－15，則a等于(　　)A．－2  B．2  C．3  D．－3答案　D解析　5的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為Tk＋1＝C·(x2)5－k·k＝ak·C·x10－3k，k＝0,1,2,3,4,5.令10－3k＝7，得k＝1，所以展開式中含x7的項(xiàng)的系數(shù)為a·C＝－15，解得a＝－3.9．(2020·北京市昌平區(qū)新學(xué)道臨川學(xué)校期末)在6的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)為(　　)A．－  B.  C．－20  D．20答案　C解析　因?yàn)?/span>Tk＋1＝C·6－k·k＝(－1)k22k－6Cx3－k，所以可得當(dāng)k＝3時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為－20，C正確．10．疫情期間，上海某醫(yī)院安排5名專家到3個(gè)不同的區(qū)級(jí)醫(yī)院支援，每名專家只去一個(gè)區(qū)級(jí)醫(yī)院，每個(gè)區(qū)級(jí)醫(yī)院至少安排一名專家，則不同的安排方法共有(　　)A．60種  B．90種  C．150種  D．240種答案　C解析　5名專家到3個(gè)不同的區(qū)級(jí)醫(yī)院，分為1,2,2和1,1,3兩種情況，分為1,2,2時(shí)，有A種安排方法；分為1,1,3時(shí)，有A種安排方法．所以一共有A＋A＝150種安排方法．11．(2021·溫州模擬)本次模擬考試結(jié)束后，班級(jí)要排一張語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物六科試卷講評(píng)順序表，若化學(xué)排在生物前面，數(shù)學(xué)與物理不相鄰且都不排在最后，則不同的排表方法共有(　　)A．72種  B．144種  C．288種  D．360種答案　B解析　第一步排語(yǔ)文，英語(yǔ)，化學(xué)，生物4種，且化學(xué)排在生物前面，有A＝12(種)排法；第二步將數(shù)學(xué)和物理分別插入前4科除最后位置外的4個(gè)空中，有A＝12種排法，所以不同的排表方法共有12×12＝144(種)．12．(2021·廣州模擬)若(1＋x)20＝a0＋a1x＋…＋a19x19＋a20x20，則a0＋a1＋…＋a9＋a10的值為(　　)A．219   B．219－CC．219＋C   D．219＋C答案　C解析　(1＋x)20展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Cxk，故an＝C，(1＋x)20＝a0＋a1x＋…＋a19x19＋a20x20，令x＝1，得a0＋a1＋…＋a19＋a20＝220，∵a0＋a1＋…＋a9＝a11＋a12＋…＋a19＋a20，a10＝C，∴a0＋a1＋…＋a9＝＝219－C，∴a0＋a1＋…＋a9＋a10＝219＋C.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．(2021·嘉興模擬)將A，B，C，D，E，F六個(gè)字母排成一排，若A，B，C均互不相鄰且A，B在C的同一側(cè)，則不同的排法有________種．(用數(shù)字作答)答案　96解析　先排D，E，F，有A種排法；再利用插空法排A，B，C且C只能插在A，B的同側(cè)，有CCA種排法，所以共有ACCA＝96(種)排法．14．(2020·北京市昌平區(qū)新學(xué)道臨川學(xué)校月考)(x＋2y)·(x＋y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為________．答案　30解析　因?yàn)?/span>(x＋2y)(x＋y)5＝(x＋2y)(Cx5＋Cx4y＋…＋Cy5)，所以它的展開式中含x3y3的項(xiàng)有Cx3y3和2Cx3y3，所以x3y3的系數(shù)為C＋2C＝30.15．早在11世紀(jì)中葉，我國(guó)宋代數(shù)學(xué)家賈憲在其著作《釋鎖算數(shù)》中就給出了二、三、四、五、六次冪的二項(xiàng)式系數(shù)表．已知(ax－1)6的展開式中x3的系數(shù)為－160，則實(shí)數(shù)a＝________.答案　2解析　由題可知，T4＝C(－1)3(ax)3＝－160x3，則20a3＝160，故a＝2.16．(2020·紹興模擬)某地區(qū)有3個(gè)不同的值班地點(diǎn)，每個(gè)值班地點(diǎn)需配一名醫(yī)務(wù)人員和兩名警察，現(xiàn)將3名醫(yī)務(wù)人員(1男2女)和6名警察(4男2女)分配到這3個(gè)地點(diǎn)去值班，要求每個(gè)值班地點(diǎn)至少有一名女性，則共有________種不同的分配方案．(用具體數(shù)字作答)答案　324解析　根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將9人分成3組，每組一名醫(yī)務(wù)人員和兩名警察，要求每一組至少有1名女性，將9人分成3組，有A×種情況，其中存在某組沒有女性即全部為男性的情況有CC種，則有A×－CC＝90－36＝54(種)分組方法，②將分好的三組全排列，對(duì)應(yīng)三個(gè)值班地點(diǎn)，有A＝6(種)情況，則有54×6＝324(種)不同的分配方案．三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(10分)(1)解不等式A<6A(x∈N且x≥3)；(2)已知－＝，求m.解　(1)原不等式即<6·，也就是<，因?yàn)?/span>3≤x≤9，且x∈N，化簡(jiǎn)得x2－21x＋104<0，解得8<x<13，所以x＝9，所以原不等式的解集為{9}．(2)依題意，m的取值范圍是{m|0≤m≤5，m∈N*}，原等式化為－＝，化簡(jiǎn)得m2－23m＋42＝0，解得m＝21或m＝2，因?yàn)?/span>0≤m≤5，m∈N*，所以m＝21應(yīng)舍去，所以m＝2.18．(12分)從7名男生和5名女生中選取5人，分別求符合下列條件的選法有多少種？(1)其中的A，B必須當(dāng)選；(2)A，B恰有一人當(dāng)選；(3)選取3名男生和2名女生分別擔(dān)任班長(zhǎng)、體育委員等5種不同職務(wù)，但體育委員必須由男生擔(dān)任，班長(zhǎng)必須由女生擔(dān)任．解　(1)根據(jù)題意，先選出A，B，再?gòu)氖Ｏ碌?/span>10人中選3人，共有CC＝120(種)選法．(2)根據(jù)題意，先選出A，B中1人，再?gòu)氖Ｏ碌?/span>10人中選4人，共有CC＝420(種)選法．(3)選出一名男生擔(dān)任體育委員共有C種情況，選出一名女生擔(dān)任班長(zhǎng)共有C種情況，剩下6名男生再選2人，4名女生再選1人，擔(dān)任其他3個(gè)班委，共有CCA種情況，所以共有CCCCA＝12 600(種)選法．19．(12分)已知A＝30C，設(shè)f(x)＝n.(1)求n的值；(2)求f(x)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)．解　(1)由已知A＝30C得＝，＝，解得n＝8.(2)8展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Cx8－kk＝，令8－＝0，得k＝6，即f(x)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為T7＝28.20．(12分)一個(gè)口袋內(nèi)有4個(gè)不同的紅球，6個(gè)不同的白球，(1)從中任取4個(gè)球，紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法有多少種？(2)若取一個(gè)紅球記2分，取一個(gè)白球記1分，從中任取5個(gè)球，使總分不少于7分的取法有多少種？解　(1)從中任取4個(gè)球，紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法，紅球4個(gè)，紅球3個(gè)和白球1個(gè)，紅球2個(gè)和白球2個(gè)，紅球4個(gè)，取法有1種；紅球3個(gè)和白球1個(gè)，取法有C·C＝24種；紅球2個(gè)和白球2個(gè)，取法有C·C＝90種；根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法有1＋24＋90＝115(種)．(2)使總分不少于7分的情況有三種，4紅1白，3紅2白，2紅3白．第一種，4紅1白，取法有CC＝6(種)；第二種，3紅2白，取法有C·C＝60(種)，第三種，2紅3白，取法有C·C＝120(種)，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，總分不少于7分的取法共有6＋60＋120＝186(種)．21．(12分)設(shè)二項(xiàng)式n，若其展開式中，奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為47，是否存在整數(shù)k，使得Tk是展開式中的常數(shù)項(xiàng)？解　因?yàn)槠鏀?shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為47，∴2n－1＝47＝214，∴n＝15.∴Tk＝C·()16－k·k－1＝3k－1·C·.由22－7k＝0，得k＝?Z.即不存在整數(shù)k，使得Tk是展開式中的常數(shù)項(xiàng)．22．(12分)已知(2x－1)n＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n∈N*)，若(2x－1)n的展開式中，只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．(1)求n的值；(2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|的值．解　(1)若(2x－1)n的展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則＝5，∴n＝10.(2)由(1)知n＝10，則(2x－1)10＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋a10x10，令x＝0，得a0＝1，令x＝－1，則310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝1＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|，∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|＝310－1.

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